En geometría , una equidisección es una partición de un polígono en triángulos de igual área . El estudio de las equidisecciones comenzó a fines de la década de 1960 con el teorema de Monsky , que establece que un cuadrado no puede ser equidisecado en un número impar de triángulos. [1] De hecho, la mayoría de los polígonos no pueden ser equidisecados en absoluto. [2]
Gran parte de la literatura está orientada a generalizar el teorema de Monsky a clases más amplias de polígonos. La pregunta general es: ¿Qué polígonos se pueden dividir equitativamente en cuántas piezas? Se ha prestado especial atención a los trapecios , las cometas , los polígonos regulares , los polígonos con simetría central , los poliominos y los hipercubos . [3]
Las equidisecciones no tienen muchas aplicaciones directas. [4] Se consideran interesantes porque los resultados son contraintuitivos al principio y, para un problema de geometría con una definición tan simple, la teoría requiere algunas herramientas algebraicas sorprendentemente sofisticadas. Muchos de los resultados se basan en la extensión de las valoraciones p -ádicas a los números reales y la extensión del lema de Sperner a gráficos coloreados más generales . [5]
Una disección de un polígono P es un conjunto finito de triángulos que no se superponen y cuya unión es todo P . Una disección en n triángulos se llama n -disección, y se clasifica como disección par o disección impar según si n es par o impar . [5]
Una equidisección es una disección en la que todos los triángulos tienen la misma área. Para un polígono P , el conjunto de todos los n para los que existe una n -equidisección de P se denomina espectro de P y se denota S ( P ). Un objetivo teórico general es calcular el espectro de un polígono dado. [6]
Una disección se denomina simplicial si los triángulos se encuentran solo a lo largo de los bordes comunes. Algunos autores limitan su atención a las disecciones simpliciales, especialmente en la literatura secundaria, ya que son más fáciles de trabajar. Por ejemplo, el enunciado habitual del lema de Sperner se aplica solo a las disecciones simpliciales. A menudo, las disecciones simpliciales se denominan triangulaciones , aunque los vértices de los triángulos no están restringidos a los vértices o bordes del polígono. Por lo tanto, las equidisecciones simpliciales también se denominan triangulaciones de áreas iguales . [7]
Los términos se pueden extender a politopos de dimensiones superiores : una equidisección es un conjunto de símplex que tienen el mismo volumen n . [8]
Es fácil encontrar una n -equidisección de un triángulo para todo n . Como resultado, si un polígono tiene una m -equidisección, entonces también tiene una mn -equidisección para todo n . De hecho, a menudo el espectro de un polígono consiste precisamente en los múltiplos de algún número m ; en este caso, tanto el espectro como el polígono se denominan principales y el espectro se denota . [2] Por ejemplo, el espectro de un triángulo es . Un ejemplo simple de un polígono no principal es el cuadrilátero con vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); su espectro incluye 2 y 3 pero no 1. [9]
Las transformaciones afines del plano son útiles para estudiar equidisecciones, incluidas las traslaciones , el escalado uniforme y no uniforme , las reflexiones , las rotaciones , las cizallas y otras similitudes y aplicaciones lineales . Dado que una transformación afín conserva las líneas rectas y las proporciones de las áreas, envía las equidisecciones a las equidisecciones. Esto significa que uno es libre de aplicar cualquier transformación afín a un polígono que pueda darle una forma más manejable. Por ejemplo, es común elegir coordenadas tales que tres de los vértices de un polígono sean (0, 1), (0, 0) y (1, 0). [10]
El hecho de que las transformaciones afines conserven las equidisecciones también significa que ciertos resultados pueden generalizarse fácilmente. Todos los resultados indicados para un polígono regular también son válidos para polígonos afines-regulares ; en particular, los resultados relativos al cuadrado unitario también se aplican a otros paralelogramos, incluidos los rectángulos y los rombos . Todos los resultados indicados para polígonos con coordenadas enteras también se aplican a polígonos con coordenadas racionales o polígonos cuyos vértices caen sobre cualquier otro retículo . [11]
El teorema de Monsky establece que un cuadrado no tiene equidisecciones impares, por lo que su espectro es . [1] De manera más general, se sabe que los polígonos y poliominos con simetría central no tienen equidisecciones impares. [12] Una conjetura de Sherman K. Stein propone que ningún polígono especial tiene una equidisección impar, donde un polígono especial es aquel cuyas clases de equivalencia de aristas paralelas suman cada una el vector cero . Los cuadrados, los polígonos con simetría central , los poliominos y los polihexágonos son todos polígonos especiales. [13]
Para n > 4, el espectro de un n -gono regular es . [14] Para n > 1, el espectro de un cubo n -dimensional es , donde n ! es el factorial de n . [15] y el espectro de un politopo cruzado n -dimensional es . Esto último se deduce mutatis mutandis de la prueba para el octaedro en [2]
Sea T ( a ) un trapezoide donde a es la razón de las longitudes de los lados paralelos. Si a es un número racional , entonces T ( a ) es principal. De hecho, si r / s es una fracción en términos mínimos, entonces . [16] De manera más general, todos los polígonos convexos con coordenadas racionales pueden ser equidisecados, [17] aunque no todos ellos son principales; véase el ejemplo anterior de una cometa con un vértice en (3/2, 3/2).
En el otro extremo, si a es un número trascendental , entonces T ( a ) no tiene equidisección. En términos más generales, ningún polígono cuyas coordenadas de vértice sean algebraicamente independientes tiene una equidisección. [18] Esto significa que casi todos los polígonos con más de tres lados no pueden ser equidisecados. Aunque la mayoría de los polígonos no pueden cortarse en triángulos de áreas iguales, todos los polígonos pueden cortarse en cuadriláteros de áreas iguales. [19]
Si a es un número irracional algebraico , entonces T ( a ) es un caso más complicado. Si a es algebraico de grado 2 o 3 ( cuadrático o cúbico), y todos sus conjugados tienen partes reales positivas , entonces S ( T ( a )) contiene todos los n suficientemente grandes tales que n /(1 + a ) es un entero algebraico . [20] Se conjetura que una condición similar que involucra polinomios estables puede determinar si el espectro está vacío o no para números algebraicos a de todos los grados. [21]
La idea de una equidisección parece ser el tipo de concepto geométrico elemental que debería ser bastante antiguo. Aigner y Ziegler (2010) comentan sobre el teorema de Monsky: "uno podría haber adivinado que seguramente la respuesta debe haber sido conocida desde hace mucho tiempo (si no por los griegos)". [22] Pero el estudio de las equidisecciones no comenzó hasta 1965, cuando Fred Richman estaba preparando un examen de maestría en la Universidad Estatal de Nuevo México .
Richman quería incluir una pregunta de geometría en el examen, y se dio cuenta de que era difícil encontrar (lo que ahora se llama) una equidisección impar de un cuadrado. Richman demostró por sí mismo que era imposible para 3 o 5, que la existencia de una n -equidisección implica la existencia de una ( n + 2) -disección, y que ciertos cuadriláteros arbitrariamente cercanos a ser cuadrados tienen equidisecciones impares. [23] Sin embargo, no resolvió el problema general de las equidisecciones impares de los cuadrados, y lo dejó fuera del examen. El amigo de Richman, John Thomas, se interesó en el problema; en su recuerdo,
Thomas demostró que una equidisección impar era imposible si las coordenadas de los vértices eran números racionales con denominadores impares. Envió esta prueba a la revista Mathematics Magazine , pero quedó en suspenso:
La pregunta fue presentada como un problema avanzado en la revista American Mathematical Monthly (Richman y Thomas, 1967). Cuando nadie más presentó una solución, la prueba se publicó en Mathematics Magazine (Thomas, 1968), tres años después de que se escribió. Monsky (1970) se basó entonces en el argumento de Thomas para demostrar que no existen equidisecciones impares de un cuadrado, sin ningún supuesto de racionalidad. [25]
La prueba de Monsky se apoya en dos pilares: un resultado combinatorio que generaliza el lema de Sperner y un resultado algebraico , la existencia de una valoración 2-ádica de los números reales. Una coloración inteligente del plano implica entonces que en todas las disecciones del cuadrado, al menos un triángulo tiene un área con lo que equivale a un denominador par, y por lo tanto todas las equidisecciones deben ser pares. La esencia del argumento se encuentra ya en Thomas (1968), pero Monsky (1970) fue el primero en utilizar una valoración 2-ádica para cubrir disecciones con coordenadas arbitrarias. [26]
La primera generalización del teorema de Monsky fue la de Mead (1979), quien demostró que el espectro de un cubo n -dimensional es . La prueba fue revisada por Bekker y Netsvetaev (1998).
La generalización a los polígonos regulares llegó en 1985, durante un seminario de geometría dirigido por GD Chakerian en UC Davis . Elaine Kasimatis , una estudiante de posgrado, "estaba buscando algún tema algebraico que pudiera introducir" en el seminario. [6] Sherman Stein sugirió disecciones del cuadrado y el cubo: "un tema que Chakerian admitió a regañadientes que era geométrico". [6] Después de su charla, Stein preguntó sobre pentágonos regulares. Kasimatis respondió con Kasimatis (1989), demostrando que para n > 5, el espectro de un n -gono regular es . Su prueba se basa en la prueba de Monsky, extendiendo la valoración p -ádica a los números complejos para cada divisor primo de n y aplicando algunos resultados elementales de la teoría de campos ciclotómicos . También es la primera prueba que utiliza explícitamente una transformación afín para establecer un sistema de coordenadas conveniente. [27] Kasimatis y Stein (1990) luego formularon el problema de encontrar el espectro de un polígono general, introduciendo los términos espectro y principal . [6] Demostraron que casi todos los polígonos carecen de equidisecciones y que no todos los polígonos son principales. [2]
Kasimatis y Stein (1990) comenzaron el estudio de los espectros de dos generalizaciones particulares de cuadrados: trapecios y cometas. Los trapecios han sido estudiados más a fondo por Jepsen (1996), Monsky (1996) y Jepsen y Monsky (2008). Las cometas han sido estudiadas más a fondo por Jepsen, Sedberry y Hoyer (2009). Los cuadriláteros generales han sido estudiados por Su y Ding (2003). Se han escrito varios artículos en la Universidad Normal de Hebei , principalmente por el profesor Ding Ren y sus estudiantes Du Yatao y Su Zhanjun. [28]
En un intento de generalizar los resultados para n -gonos regulares para n pares , Stein (1989) conjeturó que ningún polígono con simetría central tiene una equidisección impar, y demostró los casos n = 6 y n = 8. La conjetura completa fue demostrada por Monsky (1990). Una década después, Stein hizo lo que él describe como "un avance sorprendente", al conjeturar que ningún poliominó tiene una equidisección impar. Demostró el resultado de un poliominó con un número impar de cuadrados en Stein (1999). La conjetura completa fue demostrada cuando Praton (2002) trató el caso par.
El tema de las equidisecciones se ha popularizado recientemente con tratamientos en The Mathematical Intelligencer (Stein 2004), un volumen de Carus Mathematical Monographs (Stein & Szabó 2008) y la cuarta edición de Proofs from THE BOOK (Aigner & Ziegler 2010).
Sakai, Nara y Urrutia (2005) consideran una variación del problema: Dado un polígono convexo K , ¿cuánto de su área puede ser cubierta por n triángulos no superpuestos de igual área dentro de K ? La relación entre el área de la mejor cobertura posible y el área de K se denota t n ( K ). Si K tiene una n -equidisección, entonces t n ( K ) = 1; de lo contrario es menor que 1. Los autores muestran que para un cuadrilátero K , t n ( K ) ≥ 4 n /(4 n + 1), con t 2 ( K ) = 8/9 si y solo si K es afínmente congruente con el trapezoide T (2/3). Para un pentágono, t 2 ( K ) ≥ 2/3, t 3 ( K ) ≥ 3/4 y t n ( K ) ≥ 2 n /(2 n + 1) para n ≥ 5.
Günter M. Ziegler planteó el problema inverso en 2003: Dada una disección de la totalidad de un polígono en n triángulos, ¿cuán cerca pueden estar de ser iguales las áreas de los triángulos? En particular, ¿cuál es la diferencia más pequeña posible entre las áreas de los triángulos más pequeños y más grandes? Sea M ( n ) la diferencia más pequeña para un cuadrado y M ( a , n ) para el trapezoide T ( a ). Entonces M ( n ) es 0 para n par y mayor que 0 para n impar . Mansow (2003) dio el límite superior asintótico M ( n ) = O(1/ n 2 ) (ver notación Big O ). [29] Schulze (2011) mejora el límite a M ( n ) = O(1/ n 3 ) con una mejor disección, y demuestra que existen valores de a para los que M ( a , n ) decrece arbitrariamente rápido. Labbé, Rote y Ziegler (2018) obtienen un límite superior superpolinomial, derivado de una construcción explícita que utiliza la secuencia de Thue-Morse .
