En matemáticas recreativas , un polihexágono es una poliforma con un hexágono regular (o 'hex' para abreviar) como forma base, construida uniendo uno o más hexágonos. Las formas específicas se nombran por su número de hexágonos: monohexágono , dihexágono , trihexágono , tetrahexágono , etc. Fueron nombradas por David Klarner, quien las investigó.
Cada mosaico polihexagonal individual y cada teselación polihexagonal se puede dibujar sobre un mosaico hexagonal regular .
Las reglas para unir hexágonos pueden variar. Sin embargo, en general se aplican las siguientes reglas:
Todos los polihexágonos con menos de cinco hexágonos pueden formar al menos una teselación plana regular.
Además, las teselaciones planas del dihexágono y de los polihexágonos rectos son invariantes bajo una rotación de 180 grados o una reflexión paralela o perpendicular al eje largo del dihexágono (simetría rotacional de orden 2 y de reflexión de orden 4), y las teselaciones hexagonales y algunos otros polihexágonos (como el hexahexo con un agujero, a continuación) son invariantes bajo una rotación de 60, 120 o 180 grados (simetría rotacional y de reflexión de orden 6).
Además, el hexágono es un hexágono , por lo que todos los polihexágonos son también polihexágonos distintos . Además, como un triángulo equilátero es un hexágono y tres triángulos equiláteros más pequeños, es posible superponer un polihexágono grande sobre cualquier polihexágono, dando dos polihexágonos correspondientes a cada polihexágono. Esto se utiliza como base para una división infinita de un hexágono en hexágonos cada vez más pequeños (un teselado irrep-talado) o en hexágonos y triángulos.
Al igual que con los poliominós , los polihexágonos pueden enumerarse como polihexágonos libres (donde las rotaciones y reflexiones cuentan como la misma forma), polihexágonos fijos (donde las diferentes orientaciones cuentan como distintas) y polihexágonos de un solo lado (donde las imágenes especulares cuentan como distintas pero las rotaciones cuentan como idénticas). También pueden distinguirse según si pueden contener agujeros. El número de n -hexágonos libres para n = 1, 2, 3, … es 1, 1, 3, 7, 22, 82, 333, 1448, … (secuencia A000228 en la OEIS ); el número de polihexágonos libres con agujeros viene dado por la OEIS : A038144 ; el número de polihexágonos libres sin agujeros viene dado por la OEIS : A018190 ; el número de polihexágonos de un solo lado viene dado por la OEIS : A006535 ; El número de polihexágonos fijos se proporciona mediante OEIS : A001207 . [1] [2]
De los polihexágonos hasta los hexahexágonos, 2 tienen simetría de reflexión y rotación séxtuple (por lo tanto, también simetría de 3 y 2 pliegues), el monohexágono y el hexahexágono con un agujero, otros 3 tienen rotación triple (el trihexágono compacto, el tetrahexágono de hélice y el hexahexágono que parece un triángulo equilátero) y simetría de reflexión triple, otros 9 tienen rotación y reflexión dobles, 8 tienen solo rotación doble, 16 solo tienen reflexión doble y los otros 78 (la mayoría de los tetrahexágonos, pentahexes o hexahexágonos) son asimétricos. Las teselaciones de la mayoría de los polihexágonos con simetría de reflexión también son invariantes bajo reflexiones de deslizamiento del mismo orden por la longitud del polihexágono.
Hay un monohexágono que recubre el plano como un mosaico hexagonal regular .
Hay un dihex libre:
Hay 3 trihexágonos libres y de dos lados:
Hay 7 tetrahexágonos libres y de dos lados. Se les dan nombres, en el orden indicado: barra, gusano, pistola, hélice, arco, abeja y ola. [3]
Hay 22 pentahexes libres y de dos caras:
Hay 82 hexahexágonos libres y de dos lados:
