Espacio de Berkovich

En matemáticas , un espacio de Berkovich , introducido por Berkovich  (1990), es una versión de un espacio analítico sobre un cuerpo no arquimediano (por ejemplo, un cuerpo p -ádico ), que refina la noción de Tate de un espacio analítico rígido .

Motivación

En el caso complejo , la geometría algebraica comienza definiendo el espacio afín complejo como Para cada definimos el anillo de funciones analíticas en como el anillo de funciones holomorfas , es decir, funciones en que pueden escribirse como una serie de potencias convergentes en un entorno de cada punto. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Luego definimos un espacio de modelo local para ser ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}}$

${\displaystyle X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}}$

Un espacio analítico complejo es un espacio anillado localmente que es localmente isomorfo a un espacio modelo local. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

Cuando es un cuerpo no arquimediano completo , tenemos que es totalmente desconectado . En tal caso, si continuamos con la misma definición que en el caso complejo, no obtendríamos una buena teoría analítica. Berkovich dio una definición que da buenos espacios analíticos sobre tales , y también devuelve la definición habitual sobre ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Además de definir funciones analíticas sobre cuerpos no arquimedianos, los espacios de Berkovich también tienen un bonito espacio topológico subyacente .

Espectro de Berkovich

Una seminorma en un anillo es una función no constante tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}}$

para todos . Se llama multiplicativo si y se llama norma si implica . ${\displaystyle f,g\in A}$ ${\displaystyle |fg|=|f||g|}$ ${\displaystyle |f|=0}$ ${\displaystyle f=0}$

Si es un anillo normado con norma entonces el espectro de Berkovich de , denotado , es el conjunto de seminomas multiplicativas en que están acotadas por la norma de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\!-\!\|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

El espectro de Berkovich está equipado con la topología más débil, de modo que para cualquier mapa ${\displaystyle f\in A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}}$

es continua​

El espectro de Berkovich de un anillo normado no está vacío si es distinto de cero y es compacto si es completo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Si es un punto del espectro de entonces los elementos con forman un ideal primo de . El cuerpo de fracciones del cociente por este ideal primo es un cuerpo normado, cuya completitud es un cuerpo completo con norma multiplicativa; este cuerpo se denota por y la imagen de un elemento se denota por . El cuerpo es generado por la imagen de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|_{x}=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ ${\displaystyle A}$

Por el contrario, una función acotada de a un cuerpo normado completo con una norma multiplicativa generada por la imagen de da un punto en el espectro de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

El radio espectral de ${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}}$

es igual a

${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {M}}(A)}|f|_{x}.}$

Ejemplos

• El espectro de un campo completo con respecto a una valoración es un único punto correspondiente a su valoración.
• Si es un C*-álgebra conmutativa , entonces el espectro de Berkovich es el mismo que el espectro de Gelfand . Un punto del espectro de Gelfand es esencialmente un homomorfismo de , y su valor absoluto es la seminorma correspondiente en el espectro de Berkovich. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• El teorema de Ostrowski muestra que el espectro de Berkovich de los números enteros (con la norma usual) consiste en las potencias de la valuación usual, para un primo o . Si es un primo entonces y si entonces Cuando todos estos coinciden con la valuación trivial que está en todos los elementos no cero. Para cada (primo o infinito) obtenemos una rama que es homeomorfa a un intervalo real , las ramas se encuentran en el punto correspondiente a la valuación trivial. Los vecindarios abiertos de las valuaciones triviales son tales que contienen todas las ramas excepto un número finito, y su intersección con cada rama es abierta. ${\displaystyle |f|_{p}^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant \infty ,}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant 1.}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$

Espacio afín de Berkovich

Si es un campo con una valoración , entonces el espacio afín de Berkovich n -dimensional sobre , denotado , es el conjunto de seminomas multiplicativas en que extienden la norma en . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k}$

El espacio afín de Berkovich está equipado con la topología más débil, de modo que para cualquier función que tome es continua. No se trata de un espectro de Berkovich, sino de una unión creciente de los espectros de Berkovich de anillos de series de potencias que convergen en alguna bola (por lo que es localmente compacto). ${\displaystyle f\in k}$ ${\displaystyle \varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$

Definimos una función analítica en un subconjunto abierto como una función ${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{n}}$

${\displaystyle f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)}$

con , que es un límite local de funciones racionales, es decir, tal que cada punto tiene un vecindario abierto con la siguiente propiedad: ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {H}}(x)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle U'\subset U}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).}$

Continuando con las mismas definiciones que en el caso complejo, se puede definir el anillo de funciones analíticas, el espacio de modelos locales y los espacios analíticos sobre cualquier cuerpo con una valoración (también se pueden definir objetos similares sobre anillos normalizados). Esto da objetos razonables para cuerpos completos con respecto a una valoración no trivial y el anillo de números enteros. ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

En el caso de que esto dé los mismos objetos que se describen en la sección de motivación. ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,}$

Estos espacios analíticos no son todos espacios analíticos sobre cuerpos no arquimedianos.

Línea afín de Berkovich

El espacio afín de Berkovich unidimensional se denomina línea afín de Berkovich . Cuando es un cuerpo no arquimediano algebraicamente cerrado , completo respecto de su valoración, se pueden describir todos los puntos de la línea afín. ${\displaystyle k}$

Hay una incrustación canónica . ${\displaystyle k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}}$

El espacio es un espacio topológico localmente compacto, de Hausdorff y conexo por caminos único, que contiene un subespacio denso . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

También se puede definir la línea proyectiva de Berkovich uniendo a , de manera adecuada, un punto en el infinito. El espacio resultante es un espacio topológico compacto, de Hausdorff y conexo por caminos únicos que contiene como un subespacio denso. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$

Referencias

• Baker, Matthew; Conrad, Brian ; Dasgupta, Samit ; Kedlaya, Kiran S .; Teitelbaum, Jeremy (2008), Thakur, Dinesh S .; Savitt, David (eds.), geometría p-ádica, University Lecture Series, vol. 45, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4468-7, Sr.  2482343
• Baker, Matthew; Rumely, Robert (2010), Teoría del potencial y dinámica en la línea proyectiva de Berkovich, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 159, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4924-8, Sr.  2599526
• Berkovich, Vladimir G. (1990), Teoría espectral y geometría analítica sobre campos no arquimedianos, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 33, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1534-2, Sr.  1070709
• Berkovich, Vladimir G. (1993), "Étale cohomología para espacios analíticos no arquimedianos", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161, ISSN  1618-1913, SEÑOR  1259429

Enlaces externos

• El espacio Berkovich en el n Lab
• Escuela de Verano del Institut de Mathématiques de Jussieu «Espacios Berkovich» 2010