Espacio T1

Espacio topológico en el que todos los conjuntos singleton están cerrados

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio T ₁ es un espacio topológico en el que, para cada par de puntos distintos, cada uno tiene un entorno que no contiene al otro punto. ^[1] Un espacio R ₀ es uno en el que esto se cumple para cada par de puntos topológicamente distinguibles . Las propiedades T ₁ y R ₀ son ejemplos de axiomas de separación .

Definiciones

Sea X un espacio topológico y sean x e y puntos en X. Decimos que x e y están separados si cada uno se encuentra en un entorno que no contiene al otro punto.

• X se denomina espacio T ₁ si dos puntos distintos en X están separados.
• X se denomina espacio R ₀ si dos puntos topológicamente distinguibles en X están separados.

El espacio AT ₁ también se denomina espacio accesible o espacio con topología de Fréchet y un espacio R ₀ también se denomina espacio simétrico . (El término espacio de Fréchet también tiene un significado completamente diferente en el análisis funcional . Por esta razón, se prefiere el término espacio T _1. También existe la noción de espacio de Fréchet-Urysohn como un tipo de espacio secuencial . El término espacio simétrico también tiene otro significado ).

Un espacio topológico es un espacio T ₁ si y solo si es a la vez un espacio R ₀ y un espacio de Kolmogorov (o T ₀ ) (es decir, un espacio en el que puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es un espacio R ₀ si y solo si su cociente de Kolmogorov es un espacio T _{1 .}

Propiedades

Si es un espacio topológico entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio _{T1 .}
2. ${\displaystyle X}$es un espacio T 0 y un espacio R _{0 .}
3. Los puntos están cerrados en ; es decir, para cada punto el conjunto singleton es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$
4. Cada subconjunto de es la intersección de todos los conjuntos abiertos que lo contienen. ${\displaystyle X}$
5. Todo conjunto finito es cerrado. ^[2]
6. Todo conjunto cofinito de es abierto. ${\displaystyle X}$
7. Para cada ultrafiltro fijo en converge solo a ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
8. Para cada subconjunto de y cada punto es un punto límite de si y sólo si cada vecindad abierta de contiene infinitos puntos de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$
9. Cada mapa del espacio de Sierpiński es trivial. ${\displaystyle X}$
10. La función del espacio de Sierpiński hacia el punto único tiene la propiedad de elevación con respecto a la función hacia el punto único. ${\displaystyle X}$

Si es un espacio topológico entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^[3] (donde denota el cierre de ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio R _{0 .}
2. Dado cualquier cierre de contiene sólo los puntos que son topológicamente indistinguibles de ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$
3. El cociente de Kolmogorov de es T ₁ . ${\displaystyle X}$
4. Porque cualquiera está en la clausura de si y sólo si está en la clausura de ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
5. El preorden de especialización en es simétrico (y por lo tanto una relación de equivalencia ). ${\displaystyle X}$
6. Los conjuntos forman una partición de (es decir, dos conjuntos cualesquiera son idénticos o disjuntos). ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$
7. Si es un conjunto cerrado y es un punto no en , entonces ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .}$
8. Cada vecindad de un punto contiene ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}.}$
9. Todo conjunto abierto es una unión de conjuntos cerrados .
10. Para cada ultrafiltro fijo en converge solo a los puntos que son topológicamente indistinguibles de ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

En cualquier espacio topológico tenemos, como propiedades de cualesquiera dos puntos, las siguientes implicaciones

separado topológicamente distinguible distinto ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Si la primera flecha se puede invertir, el espacio es R ₀ . Si la segunda flecha se puede invertir, el espacio es T 0 . Si la flecha compuesta se puede invertir, el espacio es T ₁ . Un espacio es T ₁ si y solo si es R ₀ y T ₀ .

Un espacio finito T ₁ es necesariamente discreto (ya que cada conjunto es cerrado).

Un espacio que es localmente T ₁ , en el sentido de que cada punto tiene un entorno T ₁ (cuando se da la topología del subespacio), también es T ₁ . ^[4] De manera similar, un espacio que es localmente R ₀ también es R ₀ . Por el contrario, la afirmación correspondiente no se cumple para espacios T ₂ . Por ejemplo, la línea con dos orígenes no es un espacio de Hausdorff , pero es localmente Hausdorff.

Ejemplos

• El espacio de Sierpiński es un ejemplo simple de una topología que es T ₀ pero no es T ₁ y, por lo tanto, tampoco es R ₀ .
• La topología de intervalo superpuesto es un ejemplo simple de una topología que es T ₀ pero no es T ₁ .
• Todo espacio débilmente hausdorffiano es T ₁ pero lo inverso no es cierto en general.
• La topología cofinita en un conjunto infinito es un ejemplo simple de una topología que es T ₁ pero no es Hausdorff (T ₂ ). Esto se deduce porque no hay dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología cofinita que sean disjuntos. Específicamente, sea el conjunto de números enteros , y definamos los conjuntos abiertos como aquellos subconjuntos de que contienen todos menos un subconjunto finito de Entonces, dados números enteros distintos y : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• el conjunto abierto contiene pero no y el conjunto abierto contiene y no ; ${\displaystyle O_{\{x\}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle O_{\{y\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• equivalentemente, cada conjunto singleton es el complemento del conjunto abierto, por lo que es un conjunto cerrado; ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle O_{\{x\}},}$

Por lo tanto, el espacio resultante es T ₁ según cada una de las definiciones anteriores. Este espacio no es T ₂ , porque la intersección de dos conjuntos abiertos cualesquiera y es que nunca está vacío. Alternativamente, el conjunto de los enteros pares es compacto pero no cerrado , lo que sería imposible en un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle O_{B}}$ ${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• El ejemplo anterior se puede modificar ligeramente para crear la topología cofinita de doble punta , que es un ejemplo de un espacio R _{0 que no es ni T 1} ni R ₁ . Sea nuevamente el conjunto de enteros y, utilizando la definición de del ejemplo anterior, defina una subbase de conjuntos abiertos para cualquier entero que sea si es un número par y si es impar. Entonces, la base de la topología está dada por intersecciones finitas de los conjuntos subbásicos: dado un conjunto finito, los conjuntos abiertos de son ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

El espacio resultante no es T ₀ (y por lo tanto no es T ₁ ), porque los puntos y (para cada caso) son topológicamente indistinguibles; pero por lo demás es esencialmente equivalente al ejemplo anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle x}$

• La topología de Zariski sobre una variedad algebraica (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) es T ₁ . Para ver esto, note que el singleton que contiene un punto con coordenadas locales es el conjunto cero de los polinomios . Por lo tanto, el punto es cerrado. Sin embargo, este ejemplo es bien conocido como un espacio que no es de Hausdorff (T ₂ ). La topología de Zariski es esencialmente un ejemplo de una topología cofinita. ${\displaystyle \left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• La topología de Zariski en un anillo conmutativo (es decir, el espectro primo de un anillo ) es T ₀ pero no, en general, T ₁ . ^[5] Para ver esto, note que el cierre de un conjunto de un punto es el conjunto de todos los ideales primos que contienen el punto (y por lo tanto la topología es T ₀ ). Sin embargo, este cierre es un ideal maximal , y los únicos puntos cerrados son los ideales maximal , y por lo tanto no están contenidos en ninguno de los conjuntos abiertos de la topología, y por lo tanto el espacio no satisface el axioma T ₁ . Para aclarar este ejemplo: la topología de Zariski para un anillo conmutativo se da de la siguiente manera: el espacio topológico es el conjunto de todos los ideales primos de La base de la topología está dada por los conjuntos abiertos de ideales primos que no contienen Es sencillo verificar que esto de hecho forma la base: entonces y y Los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos de ideales primos que sí contienen Observe cómo este ejemplo difiere sutilmente del ejemplo de topología cofinita, anterior: los puntos en la topología no están cerrados, en general, mientras que en un espacio T _{1 , los puntos siempre están cerrados.} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle O_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$ ${\displaystyle O_{0}=\varnothing }$ ${\displaystyle O_{1}=X.}$ ${\displaystyle a.}$
• Todo espacio totalmente desconectado es T ₁ , ya que cada punto es un componente conexo y por lo tanto cerrado.

Generalizaciones a otros tipos de espacios

Los términos "T ₁ ", "R ₀ " y sus sinónimos también se pueden aplicar a variaciones de espacios topológicos como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que unifica el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de los ultrafiltros fijos (o redes constantes ) son únicos (para espacios T ₁ ) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios R ₀ ).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre R ₀ , por lo que la condición T _{1 en estos casos se reduce a la condición T 0} . Pero R ₀ por sí solo puede ser una condición interesante en otros tipos de espacios de convergencia, como los espacios pretopológicos .

Véase también

• Propiedad topológica  – Propiedad matemática de un espacio

Citas

1. Arkhangelskii (1990). Véase la sección 2.6.
2. Archangel'skii (1990) Véase la proposición 13, sección 2.6.
3. Schechter 1996, 16.6, pág. 438.
4. "El espacio euclidiano local implica el espacio T1". Mathematics Stack Exchange .
5. Arkhangelskii (1990). Véase el ejemplo 21, sección 2.6.

Bibliografía

• AV Arkhangel'skii, LS Pontryagin (Eds.) Topología general I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 . 
• Folland, Gerald (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2.ª ed.). John Wiley & Sons, Inc., pág. 116. ISBN 0-471-31716-0.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición Dover). 
• Willard, Stephen (1998). Topología general . Nueva York: Dover. Págs. 86-90. ISBN. 0-486-43479-6.