En geometría , los focos o focos ( / ˈf oʊ k aɪ / ; sg.: foco ) son puntos especiales con referencia a los cuales se construye cualquiera de una variedad de curvas . Por ejemplo, se pueden utilizar uno o dos focos para definir secciones cónicas , cuyos cuatro tipos son círculo , elipse , parábola e hipérbola . Además, se utilizan dos focos para definir el óvalo de Cassini y el óvalo cartesiano , y se utilizan más de dos focos para definir una n -elipse .
Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de puntos para los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es constante.
Un círculo es el caso especial de una elipse en la que los dos focos coinciden entre sí. Por tanto, un círculo puede definirse de forma más sencilla como el lugar geométrico de puntos, cada uno de los cuales está a una distancia fija de un único foco determinado. Un círculo también puede definirse como el círculo de Apolonio , en términos de dos focos diferentes, como el lugar geométrico de puntos que tienen una relación fija de distancias a los dos focos.
Una parábola es un caso límite de una elipse en la que uno de los focos es un punto en el infinito .
Una hipérbola se puede definir como el lugar geométrico de puntos para los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es constante.
También es posible describir todas las secciones cónicas en términos de un solo foco y una sola directriz , que es una línea dada que no contiene el foco. Una cónica se define como el lugar geométrico de puntos para cada uno de los cuales la distancia al foco dividida por la distancia a la directriz es una constante positiva fija, llamada excentricidad e . Si 0 < e < 1 la cónica es una elipse, si e = 1 la cónica es una parábola y si e > 1 la cónica es una hipérbola. Si la distancia al foco es fija y la directriz es una recta en el infinito , entonces la excentricidad es cero, entonces la cónica es un círculo.
También es posible describir todas las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos que están equidistantes de un único foco y de una única directriz circular. Para la elipse, tanto el foco como el centro del círculo directriz tienen coordenadas finitas y el radio del círculo directriz es mayor que la distancia entre el centro de este círculo y el foco; por tanto, el foco está dentro del círculo directriz. La elipse así generada tiene su segundo foco en el centro del círculo directriz y la elipse se encuentra completamente dentro del círculo.
Para la parábola, el centro de la directriz se mueve hasta el punto del infinito (ver Geometría proyectiva ). El "círculo" de la directriz se convierte en una curva con curvatura cero, indistinguible de una línea recta. Los dos brazos de la parábola se vuelven cada vez más paralelos a medida que se extienden, y "en el infinito" se vuelven paralelos; Utilizando los principios de la geometría proyectiva, los dos paralelos se cruzan en el punto del infinito y la parábola se convierte en una curva cerrada (proyección elíptica).
Para generar una hipérbola, se elige que el radio del círculo directriz sea menor que la distancia entre el centro de este círculo y el foco; por tanto, el foco está fuera del círculo directriz. Los brazos de la hipérbola se acercan a líneas asintóticas y el brazo "derecho" de una rama de una hipérbola se encuentra con el brazo "izquierdo" de la otra rama de una hipérbola en el punto del infinito; esto se basa en el principio de que, en geometría proyectiva, una sola línea se encuentra en un punto del infinito. Las dos ramas de una hipérbola son, por tanto, las dos mitades (retorcidas) de una curva cerrada en el infinito.
En geometría proyectiva, todas las cónicas son equivalentes en el sentido de que todo teorema que puede enunciarse para una puede serlo para las demás.
En el problema gravitacional de dos cuerpos , las órbitas de los dos cuerpos entre sí se describen mediante dos secciones cónicas superpuestas, siendo uno de los focos de uno coincidente con uno de los focos del otro en el centro de masa ( baricentro ) de los dos cuerpos.
Así, por ejemplo, Caronte , la luna más grande del planeta menor Plutón, tiene una órbita elíptica que tiene un foco en el baricentro del sistema Plutón-Caronte, que es un punto que se encuentra en el espacio entre los dos cuerpos; y Plutón también se mueve en una elipse con uno de sus focos en ese mismo baricentro entre los cuerpos. La elipse de Plutón está completamente dentro de la elipse de Caronte, como se muestra en esta animación del sistema.
En comparación, la Luna de la Tierra se mueve en una elipse con uno de sus focos en el baricentro de la Luna y la Tierra , estando este baricentro dentro de la propia Tierra, mientras que la Tierra (más precisamente, su centro) se mueve en una elipse con un foco. en ese mismo baricentro dentro de la Tierra. El baricentro está aproximadamente a tres cuartos de la distancia desde el centro de la Tierra hasta su superficie.
Además, el sistema Plutón-Caronte se mueve en una elipse alrededor de su baricentro con el Sol , al igual que el sistema Tierra-Luna (y cualquier otro sistema planeta-luna o planeta sin luna del sistema solar). En ambos casos, el baricentro se encuentra dentro del cuerpo del Sol.
Dos estrellas binarias también se mueven en elipses compartiendo un foco en su baricentro; para ver una animación, consulte aquí .
Un óvalo cartesiano es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma ponderada de las distancias a dos focos dados es constante. Si los pesos son iguales, se produce el caso especial de una elipse.
Un óvalo de Cassini es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el producto de las distancias a dos focos dados es constante.
Una n -elipse es el conjunto de puntos que tienen todos la misma suma de distancias a n focos (siendo el caso n = 2 la elipse convencional).
El concepto de foco se puede generalizar a curvas algebraicas arbitrarias . Sea C una curva de clase m y sean I y J los puntos circulares en el infinito . Dibuja las m tangentes a C a través de I y J. Hay dos conjuntos de m líneas que tendrán m 2 puntos de intersección, con excepciones en algunos casos debido a singularidades, etc. Estos puntos de intersección se definen como los focos de C. En otras palabras, un punto P es un foco si tanto PI como PJ son tangentes a C. Cuando C es una curva real, sólo las intersecciones de pares conjugados son reales, por lo que hay m en focos reales y m 2 − m focos imaginarios. Cuando C es una cónica , los focos reales definidos de esta manera son exactamente los focos que pueden usarse en la construcción geométrica de C.
Sean P 1 , P 2 , …, P m como focos de una curva C de clase m . Sea P el producto de las ecuaciones tangenciales de estos puntos y Q el producto de las ecuaciones tangenciales de los puntos circulares en el infinito. Entonces todas las rectas que son tangentes comunes a P = 0 y Q = 0 son tangentes a C. Entonces, según el teorema AF+BG , la ecuación tangencial de C tiene la forma HP + KQ = 0 . Dado que C tiene clase m , H debe ser una constante y K pero tener un grado menor o igual a m − 2 . El caso H = 0 puede eliminarse como degenerado, por lo que la ecuación tangencial de C puede escribirse como P + fQ = 0 donde f es un polinomio arbitrario de grado 2 m . [1]
Por ejemplo, sea m = 2 , P 1 = (1, 0) y P 2 = (−1, 0) . Las ecuaciones tangenciales son
entonces P = X 2 − 1 = 0 . Las ecuaciones tangenciales para los puntos circulares en el infinito son
entonces Q = X 2 + Y 2 . Por lo tanto, la ecuación tangencial para una cónica con los focos dados es
o
donde c es una constante arbitraria. En coordenadas puntuales esto se convierte en
