En lógica , la lógica temporal es cualquier sistema de reglas y simbolismo para representar y razonar sobre proposiciones calificadas en términos de tiempo (por ejemplo, " siempre tengo hambre", " eventualmente tendré hambre" o "tendré hambre"). hasta que coma algo"). A veces también se utiliza para referirse a la lógica tensa , un sistema de lógica temporal basado en la lógica modal introducido por Arthur Prior a finales de la década de 1950, con importantes contribuciones de Hans Kamp . Ha sido desarrollado aún más por científicos informáticos , en particular Amir Pnueli , y lógicos .
La lógica temporal ha encontrado una aplicación importante en la verificación formal , donde se utiliza para indicar los requisitos de los sistemas de hardware o software. Por ejemplo, se podría decir que cada vez que se realiza una solicitud, finalmente se concede acceso a un recurso, pero nunca se concede a dos solicitantes simultáneamente. Semejante afirmación puede expresarse convenientemente en una lógica temporal.
Considere la afirmación "Tengo hambre". Aunque su significado es constante en el tiempo, el valor de verdad de la afirmación puede variar con el tiempo. A veces es verdad y otras falso, pero nunca simultáneamente verdadero y falso. En una lógica temporal, un enunciado puede tener un valor de verdad que varía en el tiempo, en contraste con una lógica atemporal, que se aplica sólo a enunciados cuyos valores de verdad son constantes en el tiempo. Este tratamiento del valor de verdad a lo largo del tiempo diferencia la lógica temporal de la lógica verbal computacional.
La lógica temporal siempre tiene la capacidad de razonar sobre una línea de tiempo. La llamada lógica del "tiempo lineal" se limita a este tipo de razonamiento. Sin embargo, las lógicas de tiempo de ramificación pueden razonar sobre múltiples líneas de tiempo. Esto permite, en particular, tratar entornos que pueden actuar de forma impredecible. Para continuar con el ejemplo, en una lógica de tiempo ramificado podemos afirmar que "existe la posibilidad de que siga teniendo hambre para siempre" y que "existe la posibilidad de que eventualmente ya no tenga hambre". Si no sabemos si alguna vez seré alimentado o no, ambas afirmaciones pueden ser ciertas.
Aunque la lógica de Aristóteles se ocupa casi por completo de la teoría del silogismo categórico , hay pasajes en su obra que ahora se consideran anticipaciones de la lógica temporal y pueden implicar una forma temprana, parcialmente desarrollada, de lógica bivalente modal temporal de primer orden. . Aristóteles estaba particularmente preocupado por el problema de los contingentes futuros , donde no podía aceptar que el principio de bivalencia se aplicara a enunciados sobre eventos futuros, es decir, que podamos decidir en el presente si un enunciado sobre un evento futuro es verdadero o falso, como por ejemplo "hay "Mañana habrá una batalla naval". [1]
Hubo poco desarrollo durante milenios, señaló Charles Sanders Peirce en el siglo XIX: [2]
Los lógicos suelen considerar que el tiempo es lo que se llama materia "extralógica". Nunca he compartido esta opinión. Pero he pensado que la lógica aún no había alcanzado el estado de desarrollo en el que la introducción de modificaciones temporales de sus formas no resultaría en gran confusión; y todavía soy muy de esa manera de pensar.
Sorprendentemente para Peirce , el primer sistema de lógica temporal se construyó, hasta donde sabemos, en la primera mitad del siglo XX. Aunque Arthur Prior es ampliamente conocido como fundador de la lógica temporal, la primera formalización de dicha lógica fue proporcionada en 1947 por el lógico polaco Jerzy Łoś . [3] En su obra Podstawy Analizy Metodologicznej Kanonów Milla ( Los fundamentos de un análisis metodológico de los métodos de Mill ) presentó una formalización de los cánones de Mill . En el enfoque de Łoś se hizo hincapié en el factor tiempo. Así, para alcanzar su objetivo, tuvo que crear una lógica que pudiera proporcionar medios para la formalización de las funciones temporales. La lógica podría verse como un subproducto del objetivo principal de Łoś , [4] aunque fue la primera lógica posicional que, como marco, se utilizó más tarde para las invenciones de Łoś en lógica epistémica . La lógica en sí tiene una sintaxis muy diferente a la lógica tensa de Prior, que utiliza operadores modales. El lenguaje de la lógica de Łoś utiliza más bien un operador de realización, específico de la lógica posicional, que vincula la expresión con el contexto específico en el que se considera su valor de verdad. En la obra de Łoś este contexto considerado era sólo temporal, por lo que las expresiones estaban ligadas a momentos o intervalos de tiempo específicos.
En los años siguientes se inició la investigación de la lógica temporal por parte de Arthur Prior . [4] Le preocupaban las implicaciones filosóficas del libre albedrío y la predestinación . Según su esposa, consideró por primera vez formalizar la lógica temporal en 1953. Los resultados de su investigación se presentaron por primera vez en la conferencia de Wellington en 1954. [4] El sistema presentado por Prior era sintácticamente similar a la lógica de Łoś , aunque no fue hasta 1955 que lo hizo. se refiere explícitamente al trabajo de Łoś , en la última sección del Apéndice 1 de la Lógica formal de Prior . [4]
Prior dio conferencias sobre el tema en la Universidad de Oxford en 1955-6, y en 1957 publicó un libro, Time and Modality , en el que introdujo una lógica modal proposicional con dos conectivos temporales ( operadores modales ), F y P, correspondientes a "en algún momento del futuro" y "en algún momento del pasado". En estos primeros trabajos, Prior consideraba que el tiempo era lineal. Sin embargo, en 1958 recibió una carta de Saul Kripke , quien señalaba que esta suposición quizás no esté justificada. En un desarrollo que presagiaba uno similar en informática, Prior tomó esto en cuenta y desarrolló dos teorías del tiempo de ramificación, a las que llamó "ockhamista" y "peirceana". [2] [ se necesita aclaración ] Entre 1958 y 1965, Prior también mantuvo correspondencia con Charles Leonard Hamblin , y varios de los primeros desarrollos en el campo se pueden atribuir a esta correspondencia, por ejemplo, las implicaciones de Hamblin. Prior publicó su trabajo más maduro sobre el tema, el libro Pasado, presente y futuro en 1967. Murió dos años después. [5]
Junto con la lógica tensa, Prior construyó algunos sistemas de lógica posicional, que heredaron sus ideas principales de Łoś . [6] Nicholas Rescher continuó el trabajo en lógica temporal posicional en los años 60 y 70. En obras como Nota sobre lógica cronológica (1966), Sobre la lógica de las proposiciones cronológicas (1968) , Lógica topológica (1968) y Lógica temporal (1971), investigó las conexiones entre los sistemas de Łoś y Prior . Además, demostró que los operadores de tiempo de Prior podían definirse utilizando un operador de realización en lógicas posicionales específicas. [6] Rescher , en su obra, también creó sistemas más generales de lógica posicional. Aunque los primeros se construyeron para usos puramente temporales, propuso el término lógica topológica para las lógicas que debían contener un operador de realización pero que no tenían axiomas temporales específicos, como el axioma del reloj.
Los operadores temporales binarios Desde y Hasta fueron introducidos por Hans Kamp en su doctorado de 1968. tesis, [7] que también contiene un resultado importante que relaciona la lógica temporal con la lógica de primer orden , un resultado ahora conocido como teorema de Kamp. [8] [2] [9]
Dos de los primeros contendientes en las verificaciones formales fueron la lógica temporal lineal , una lógica de tiempo lineal de Amir Pnueli , y la lógica de árbol de cálculo (CTL), una lógica de tiempo de ramificación de Mordejai Ben-Ari , Zohar Manna y Amir Pnueli. Casi al mismo tiempo, EM Clarke y EA Emerson sugirieron un formalismo casi equivalente al CTL . El hecho de que la segunda lógica pueda decidirse de manera más eficiente que la primera no refleja las lógicas de tiempo lineal y de ramificación en general, como a veces se ha argumentado. Más bien, Emerson y Lei muestran que cualquier lógica de tiempo lineal puede extenderse a una lógica de tiempo de ramificación que puede decidirse con la misma complejidad.
La lógica de Łoś se publicó como su tesis de maestría de 1947 Podstawy Analizy Metodologicznej Kanonów Milla ( Los fundamentos de un análisis metodológico de los métodos de Mill ). [10] Sus conceptos filosóficos y formales podrían verse como continuaciones de los de la Escuela de Lógica de Lviv-Varsovia , ya que su supervisor fue Jerzy Słupecki , discípulo de Jan Łukasiewicz . El artículo no se tradujo al inglés hasta 1977, aunque Henryk Hiż presentó en 1951 una reseña breve pero informativa en el Journal of Symbolic Logic . Esta revisión contenía conceptos centrales del trabajo de Łoś y fue suficiente para popularizar sus resultados entre la comunidad lógica. El objetivo principal de este trabajo fue presentar los cánones de Mill en el marco de la lógica formal. Para lograr este objetivo, el autor investigó la importancia de las funciones temporales en la estructura del concepto de Mill. Teniendo eso en cuenta, proporcionó su sistema axiomático de lógica que encajaría como marco para los cánones de Mill junto con sus aspectos temporales.
El lenguaje de la lógica publicado por primera vez en Podstawy Analizy Metodologicznej Kanonów Milla ( Los fundamentos de un análisis metodológico de los métodos de Mill ) consistía en: [3]
El conjunto de términos (denotado por S) se construye de la siguiente manera:
El conjunto de fórmulas (indicado por For) se construye de la siguiente manera: [10]
La lógica de tiempo oracional introducida en Tiempo y Modalidad tiene cuatro operadores modales (no funcionales de verdad ) (además de todos los operadores funcionales de verdad habituales en la lógica proposicional de primer orden ). [11]
Estos se pueden combinar si dejamos que π sea un camino infinito: [12]
A partir de P y F se puede definir G y H , y viceversa:
Se especifica una sintaxis mínima para TL con la siguiente gramática BNF :
donde a es alguna fórmula atómica . [13]
Los modelos de Kripke se utilizan para evaluar la verdad de oraciones en TL. Un par ( T , <) de un conjunto T y una relación binaria < en T (llamada "precedencia") se llama marco . Un modelo está dado por la tripleta ( T , <, V ) de un marco y una función V llamada valoración que asigna a cada par ( a , u ) de una fórmula atómica y un valor temporal algún valor de verdad. La noción " ϕ es verdadera en un modelo U = ( T , <, V ) en el momento u " se abrevia U ⊨ ϕ [ u ]. Con esta notación, [14]
Dada una clase F de marcos, una oración ϕ de TL es
Muchas oraciones sólo son válidas para una clase limitada de marcos. Es común restringir la clase de marcos a aquellos con una relación < que sea transitiva , antisimétrica , reflexiva , tricotómica , irreflexiva , total , densa o alguna combinación de estas.
Burgess describe una lógica que no hace suposiciones sobre la relación <, pero permite deducciones significativas, basándose en el siguiente esquema de axioma: [15]
con las siguientes reglas de deducción:
Se pueden derivar las siguientes reglas:
Burgess ofrece una traducción de Meredith de declaraciones en TL a declaraciones en lógica de primer orden con una variable libre x 0 (que representa el momento presente). Esta traducción M se define recursivamente de la siguiente manera: [16]
donde es la oración con todos los índices variables incrementados en 1 y es un predicado de un solo lugar definido por .
La lógica temporal tiene dos tipos de operadores: operadores lógicos y operadores modales. [17] Los operadores lógicos son operadores funcionales de verdad habituales ( ). Los operadores modales utilizados en la lógica temporal lineal y la lógica de árbol de cálculo se definen a continuación.
Símbolos alternativos:
Los operadores unarios son fórmulas bien formadas siempre que B( φ ) esté bien formada. Los operadores binarios son fórmulas bien formadas siempre que B( φ ) y C( φ ) estén bien formados.
En algunas lógicas, algunos operadores no se pueden expresar. Por ejemplo, el operador N no se puede expresar en la lógica temporal de acciones .
Las lógicas temporales incluyen:
Una variación, estrechamente relacionada con la lógica temporal, cronológica o tensa, son las lógicas modales basadas en "topología", "lugar" o "posición espacial". [23] [24]
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