formalismo HPO

El formalismo del operador de proyección histórica (HPO) es un enfoque de la lógica cuántica temporal desarrollado por Chris Isham . Se trata de la estructura lógica de las proposiciones de la mecánica cuántica afirmadas en diferentes momentos.

Introducción

En la mecánica cuántica estándar, un sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert . Los estados del sistema en un tiempo fijo están representados por vectores normalizados en el espacio y los observables físicos están representados por operadores hermitianos . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Una proposición física sobre el sistema en un tiempo fijo puede representarse mediante un operador de proyección ortogonal en (Ver lógica cuántica ). Esta representación vincula las operaciones de red en la red de proposiciones lógicas y la red de operadores de proyección en un espacio de Hilbert (ver lógica cuántica ). ${\displaystyle \,P}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

El formalismo HPO es una extensión natural de estas ideas a proposiciones sobre el sistema que se refieren a más de una vez.

Proposiciones de historia

Historias homogéneas

Una proposición histórica homogénea es una secuencia de proposiciones de un solo tiempo especificadas en diferentes momentos . Estos tiempos se llaman el soporte temporal de la historia. Denotaremos la proposición como y la leeremos como ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$ ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$ ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

" en el momento es verdadero y luego en el momento es verdadero y luego y luego en el momento es verdadero" ${\displaystyle \alpha _{t_{1}}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{t_{2}}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle \alpha _{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{n}}$

Historias no homogéneas

No todas las proposiciones históricas pueden representarse mediante una secuencia de proposiciones de un solo tiempo en diferentes momentos. Éstas se denominan proposiciones históricas no homogéneas . Un ejemplo es la proposición O para dos historias homogéneas . ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \,\beta }$ ${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$

Operadores de proyección histórica

La observación clave del formalismo HPO es representar proposiciones históricas mediante operadores de proyección en un espacio histórico de Hilbert . De aquí proviene el nombre "Operador de proyección histórica" ​​(HPO).

Para una historia homogénea podemos usar el producto tensorial para definir un proyector. ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}:={\hat {\alpha }}_{t_{1}}\otimes {\hat {\alpha }}_{t_{2}}\otimes \ldots \otimes {\hat {\alpha }}_{t_{n}}}$

¿Dónde está el operador de proyección que representa la proposición en el momento ? ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$ ${\displaystyle t_{i}}$

Este es un operador de proyección sobre el producto tensor "historia del espacio de Hilbert". ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle H={\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}}$

No todos los operadores de proyección se pueden escribir como la suma de productos tensoriales de la forma . Estos otros operadores de proyección se utilizan para representar historias no homogéneas aplicando operaciones de red a historias homogéneas. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Lógica cuántica temporal

La representación de proposiciones históricas mediante proyectores en el espacio histórico de Hilbert codifica naturalmente la estructura lógica de las proposiciones históricas. Las operaciones de red en el conjunto de operaciones de proyección en el espacio de Hilbert histórico se pueden aplicar para modelar la red de operaciones lógicas en proposiciones históricas. ${\displaystyle H}$

Si dos historias homogéneas y no comparten el mismo soporte temporal se pueden modificar para que lo hagan. Si está en el soporte temporal de pero no (por ejemplo), entonces se puede formar una nueva proposición histórica homogénea que se diferencia de incluir la proposición "siempre verdadera" en cada momento . De esta manera siempre se pueden unir los soportes temporales de. Por tanto, asumiremos que todas las historias homogéneas comparten el mismo soporte temporal. ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \,\beta }$ ${\displaystyle \,t_{i}}$ ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \,\beta }$ ${\displaystyle \,\beta }$ ${\displaystyle \,t_{i}}$ ${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$

Ahora presentamos las operaciones lógicas para proposiciones históricas homogéneas y tales que ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \,\beta }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}}$

Conjunción (Y)

Si y son dos historias homogéneas, entonces la proposición histórica " y " también es una historia homogénea. Está representado por el operador de proyección. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \,\beta }$

${\displaystyle {\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle (={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }})}$

Disyunción (O)

Si y son dos historias homogéneas, entonces la proposición histórica " o " no es en general una historia homogénea. Está representado por el operador de proyección. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \,\alpha }$ ${\displaystyle \,\beta }$

${\displaystyle {\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$

Negación (NO)

La operación de negación en la red de operadores de proyección lleva a ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle \neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}}$

¿Dónde está el operador identidad en el espacio de Hilbert? Así, el proyector utilizado para representar la proposición (es decir, "no ") es ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ${\displaystyle \neg \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}.}$

Ejemplo: historia de dos tiempos

Como ejemplo, consideremos la negación de la proposición de historia homogénea en dos tiempos . El proyector para representar la proposición es ${\displaystyle \,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\displaystyle \neg \alpha }$

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1}\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$ ${\displaystyle =(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}+{\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$

Los términos que aparecen en esta expresión:

• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$
• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$.

cada uno puede interpretarse de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es falso y es verdadero ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$
• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es verdadero y es falso ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$
• ambos son falsos y son falsos ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$

Estas tres historias homogéneas, unidas a la operación OR, incluyen todas las posibilidades de cómo la proposición " y luego " puede ser falsa. Por lo tanto vemos que la definición de concuerda con lo que debería significar la proposición. ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}}$ ${\displaystyle \neg \alpha }$

Referencias

• CJ Isham, Lógica cuántica y el enfoque histórico de la teoría cuántica, J. Math. Física. 35 (1994) 2157–2185, arXiv:gr-qc/9308006v1