Orden denso

Orden parcial donde dos elementos distintos comparables tienen otro elemento entre ellos

En matemáticas , se dice que un orden parcial o un orden total < en un conjunto es denso si, para todo y en para el cual , existe un en tal que . Es decir, para dos elementos cualesquiera, uno menor que el otro, existe otro elemento entre ellos. Para los órdenes totales esto se puede simplificar a "para dos elementos cualesquiera distintos, existe otro elemento entre ellos", ya que todos los elementos de un orden total son comparables . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<z<y}$

Ejemplo

Los números racionales como conjunto ordenado linealmente son un conjunto densamente ordenado en este sentido, al igual que los números algebraicos , los números reales , los racionales diádicos y las fracciones decimales . De hecho, toda extensión del anillo ordenado de Arquímedes de los números enteros es un conjunto densamente ordenado. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Prueba

Para el elemento , debido a la propiedad de Arquímedes, si , existe un entero más grande con , y si , , y existe un entero más grande con . Como resultado, . Para dos elementos cualesquiera con , y . Por lo tanto es denso. ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n<x}$ ${\displaystyle n<x<n+1}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle m=-n-1<-x}$ ${\displaystyle -n-1<-x<-n}$ ${\displaystyle 0<x-n<1}$ ${\displaystyle y,z\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle z<y}$ ${\displaystyle 0<(x-n)(y-z)<y-z}$ ${\displaystyle z<(x-n)(y-z)+z<y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Por otra parte, el ordenamiento lineal de los números enteros no es denso.

Unicidad para pedidos densos totales sin puntos finales

Georg Cantor demostró que cada dos conjuntos numerables densos totalmente ordenados y no vacíos sin límites inferiores o superiores son isomorfos en orden . ^[1] Esto hace que la teoría de órdenes lineales densos sin límites sea un ejemplo de una teoría ω-categórica donde ω es el ordinal límite más pequeño . Por ejemplo, existe un isomorfismo de orden entre los números racionales y otros conjuntos numerables densamente ordenados, incluidos los racionales diádicos y los números algebraicos . Las pruebas de estos resultados utilizan el método de ida y vuelta . ^[2]

La función de signo de interrogación de Minkowski se puede utilizar para determinar los isomorfismos de orden entre los números algebraicos cuadráticos y los números racionales , y entre los racionales y los racionales diádicos .

Generalizaciones

Se dice que cualquier relación binaria R es densa si, para todos los x e y relacionados con R , existe un z tal que x y z y también z e y están relacionados con R. Formalmente:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$Alternativamente, en términos de la composición de R consigo mismo, la condición densa puede expresarse como R ⊆ ( R  ; R ). ^[3]

Las condiciones suficientes para que una relación binaria R en un conjunto X sea densa son:

• R es reflexivo ;
• R es correflexivo ;
• R es cuasireflexivo ;
• R es euclidiana izquierda o derecha ; o
• R es simétrico y semiconexo y X tiene al menos 3 elementos.

Ninguna de ellas es necesaria . Por ejemplo, existe una relación R que no es reflexiva sino densa. Una relación no vacía y densa no puede ser antitransitiva .

Un orden parcial estricto < es un orden denso si y solo si < es una relación densa. Una relación densa que también es transitiva se dice que es idempotente .

Véase también

• Conjunto denso : un subconjunto de un espacio topológico cuyo cierre es todo el espacio.
• Denso en sí mismo : un subconjunto de un espacio topológico que no contiene un punto aislado ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Semántica de Kripke : una relación de accesibilidad densa corresponde al axioma ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

Referencias

1. Roitman, Judith (1990), "Teorema 27, pág. 123", Introducción a la teoría de conjuntos moderna, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 8, John Wiley & Sons, ISBN 9780471635192.
2. Dasgupta, Abhijit (2013), Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales, Springer-Verlag, pág. 161, ISBN 9781461488545.
3. Gunter Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , página 212, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7 

Lectura adicional

• David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, Lógica dinámica , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , pág. 6ff.