Distribución de Cauchy envuelta

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución de Cauchy envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución de Cauchy alrededor del círculo unitario . La distribución de Cauchy a veces se conoce como distribución lorentziana, y la distribución de Cauchy envuelta a veces puede denominarse distribución lorentziana envuelta.

La distribución de Cauchy envuelta se encuentra a menudo en el campo de la espectroscopia, donde se utiliza para analizar patrones de difracción (por ejemplo, véase el interferómetro de Fabry-Pérot ).

Descripción

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy envuelta es: ^[1]

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}\qquad -\pi <\theta <\pi }$

donde es el factor de escala y es la posición máxima de la distribución "desenrollada". Expresando la función de densidad de probabilidad anterior en términos de la función característica de la distribución de Cauchy se obtiene: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\mu )-|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}}$

La PDF también puede expresarse en términos de la variable circular z = e ^iθ y el parámetro complejo ζ = e ^{i ( μ + iγ )}

${\displaystyle f_{WC}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\zeta |^{2}}}}$

donde, como se muestra a continuación, ζ = ⟨ z ⟩.

En términos de la variable circular, los momentos circulares de la distribución de Cauchy envuelta son la función característica de la distribución de Cauchy evaluada en argumentos enteros: ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e^{in\mu -|n|\gamma }.}$

donde es un intervalo de longitud . El primer momento es entonces el valor medio de z , también conocido como resultante media o vector resultante medio: ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

El ángulo medio es

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

y la longitud de la resultante media es

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }}$

produciendo una varianza circular de 1 − R .

Estimación de parámetros

Se puede utilizar una serie de N mediciones extraídas de una distribución de Cauchy envuelta para estimar ciertos parámetros de la distribución. El promedio de la serie se define como ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

y su valor esperado será solo el primer momento:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

En otras palabras, es un estimador insesgado del primer momento. Si suponemos que la posición máxima se encuentra en el intervalo , entonces Arg será un estimador (sesgado) de la posición máxima . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle ({\overline {z}})}$ ${\displaystyle \mu }$

Considerando el como un conjunto de vectores en el plano complejo, la estadística es la longitud del vector promedio: ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

y su valor esperado es

${\displaystyle \langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.}$

En otras palabras, la estadística

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

será un estimador imparcial de , y será un estimador (sesgado) de . ${\displaystyle e^{-2\gamma }}$ ${\displaystyle \ln(1/R_{e}^{2})/2}$ ${\displaystyle \gamma }$

Entropía

La entropía de información de la distribución de Cauchy envuelta se define como: ^[1]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))\,d\theta }$

donde es cualquier intervalo de longitud . El logaritmo de la densidad de la distribución de Cauchy envuelta se puede escribir como una serie de Fourier en : ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle \ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

dónde

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta }$

Lo cual produce:

${\displaystyle c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)}$

(cf. Gradshteyn y Ryzhik ^[2] 4.224.15) y

${\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0}$

(cf Gradshteyn y Ryzhik ^[2] 4.397.6). La representación de la función característica para la distribución de Cauchy envuelta en el lado izquierdo de la integral es:

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

donde . Sustituyendo estas expresiones en la integral de entropía, intercambiando el orden de integración y suma, y ​​utilizando la ortogonalidad de los cosenos, la entropía puede escribirse: ${\displaystyle \phi _{n}=e^{-|n|\gamma }}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}}$

La serie es simplemente la expansión de Taylor para el logaritmo de, por lo que la entropía puede escribirse en forma cerrada como: ${\displaystyle (1-e^{-2\gamma })}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,}$

Distribución circular de Cauchy

Si X tiene una distribución de Cauchy con una mediana μ y un parámetro de escala γ, entonces la variable compleja

${\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}}$

tiene módulo unitario y se distribuye en el círculo unitario con densidad: ^[3]

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}}$

y ψ expresa los dos parámetros de la distribución de Cauchy lineal asociada para x como un número complejo :

${\displaystyle \psi =\mu +i\gamma \,}$

Se puede observar que la distribución circular de Cauchy tiene la misma forma funcional que la distribución de Cauchy envuelta en z y ζ (es decir, f _WC (z, ζ)). La distribución circular de Cauchy es una distribución de Cauchy envuelta reparametrizada:

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,m,\gamma )=f_{WC}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)}$

La distribución se denomina distribución circular de Cauchy ^{[3] [4]} (también distribución compleja de Cauchy ^[3] ) con parámetros μ y γ. (Véase también la parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy y el núcleo de Poisson para conceptos relacionados). ${\displaystyle f_{CC}(\theta ;\mu ,\gamma )}$

La distribución circular de Cauchy expresada en forma compleja tiene momentos finitos de todos los órdenes

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}$

para entero n ≥ 1. Para |φ| < 1, la transformación

${\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}}$

es holomórfica en el disco unitario, y la variable transformada U ( Z , φ) se distribuye como Cauchy complejo con parámetro U (ζ, φ).

Dada una muestra z ₁ , ..., z _n de tamaño n > 2, la ecuación de máxima verosimilitud

${\displaystyle n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0}$

se puede resolver mediante una simple iteración de punto fijo:

${\displaystyle \zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,}$

comenzando con ζ ⁽⁰⁾ = 0. La secuencia de valores de probabilidad no es decreciente y la solución es única para muestras que contienen al menos tres valores distintos. ^[5]

La estimación de máxima verosimilitud para la mediana ( ) y el parámetro de escala ( ) de una muestra real de Cauchy se obtiene mediante la transformación inversa: ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.}$

Para n ≤ 4, se conocen expresiones de forma cerrada para . ^[6] La densidad del estimador de máxima verosimilitud en t en el disco unitario es necesariamente de la forma: ${\displaystyle {\hat {\zeta }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},}$

dónde

${\displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}}$.

Están disponibles fórmulas para p ₃ y p _4. ^[7]

Véase también

• Distribución envuelta
• Peine de Dirac
• Distribución normal envuelta
• Distribución uniforme circular
• Parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy

Referencias

1. Mardia, Kantilal ; Jupp, Peter E. (1999). Estadísticas direccionales . Wiley. ISBN 978-0-471-95333-3.
2. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich (febrero de 2007). Jeffrey, Alan; Zwillinger, Daniel (eds.). Tabla de integrales, series y productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (7.ª ed.). Academic Press, Inc. ISBN  0-12-373637-4. Número de serie LCCN  2010481177.
3. McCullagh, Peter (junio de 1992). «Inferencia condicional y modelos de Cauchy» (PDF) . Biometrika . 79 (2): 247–259. doi :10.1093/biomet/79.2.247 . Consultado el 26 de enero de 2016 .
4. KV Mardia (1972). Estadísticas de datos direccionales . Academic Press .^{[ página necesaria ]}
5. J. Copas (1975). "Sobre la unimodalidad de la función de verosimilitud para la distribución de Cauchy". Biometrika . 62 (3): 701–704. doi :10.1093/biomet/62.3.701.
6. Ferguson, Thomas S. (1978). "Estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros de la distribución de Cauchy para muestras de tamaño 3 y 4". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 73 (361): 211–213. doi :10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR  2286549.
7. P. McCullagh (1996). "Transformación de Möbius y estimación de parámetros de Cauchy". Anales de Estadística . 24 (2): 786–808. JSTOR  2242674.

• Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la Tierra. Springer . ISBN 978-3-540-43603-4. Consultado el 31 de diciembre de 2009 .
• Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-56890-6. Recuperado el 9 de febrero de 2010 .