Distribución uniforme circular

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución circular uniforme es una distribución de probabilidad en el círculo unitario cuya densidad es uniforme para todos los ángulos.

Descripción

Definición

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución circular uniforme, p. ej. con , es: ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$

${\displaystyle f_{UC}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$

Momentos respecto a una parametrización

Consideramos la variable circular con un ángulo de base . En estos términos, los momentos circulares de la distribución circular uniforme son todos cero, excepto : ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\delta _{n}}$

¿Dónde está el símbolo delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{n}}$

Estadísticas descriptivas

Aquí el ángulo medio no está definido y la longitud de la resultante media es cero.

${\displaystyle R=|\langle z^{n}\rangle |=0\,}$

Distribución de la media

Una simulación de Monte Carlo de 10 000 puntos de la distribución de la media de la muestra de una distribución circular uniforme para  N  = 3

Densidades de probabilidad para valores pequeños de . Las densidades para están normalizadas a la densidad máxima, aquellas para y están escaladas para facilitar la visibilidad. ${\displaystyle P_{N}({\bar {R}})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N>3}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle 2}$

La media muestral de un conjunto de N mediciones extraídas de una distribución circular uniforme se define como: ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}={\overline {C}}+i{\overline {S}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

donde el seno y el coseno promedio son: ^[1]

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad {\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

y la longitud resultante media es:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}=|{\overline {z}}|^{2}={\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}$

y el ángulo medio es:

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

La media de la muestra para la distribución uniforme circular estará concentrada alrededor de cero, y se volverá más concentrada a medida que N aumenta. La distribución de la media de la muestra para la distribución uniforme está dada por: ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}}$

donde consta de intervalos de en las variables, sujetas a la restricción de que y son constantes, o, alternativamente, que y son constantes. La distribución del ángulo es uniforme ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle P({\overline {\theta }})}$

${\displaystyle P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}}$

y la distribución de está dada por: ^[2] ${\displaystyle {\overline {R}}}$

${\displaystyle P_{N}({\overline {R}})=N^{2}{\overline {R}}\int _{0}^{\infty }J_{0}(N{\overline {R}}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt}$

donde es la función de Bessel de orden cero. No se conoce ninguna solución analítica general para la integral anterior y es difícil de evaluar debido a la gran cantidad de oscilaciones en el integrando. En la figura se muestra una simulación de Monte Carlo de 10 000 puntos de la distribución de la media para N=3. ${\displaystyle J_{0}}$

Para ciertos casos especiales, la integral anterior se puede evaluar:

${\displaystyle P_{2}({\overline {R}})={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-{\overline {R}}^{2}}}}}.}$

Para valores grandes de N , la distribución de la media se puede determinar a partir del teorema del límite central para estadísticas direccionales . Como los ángulos están distribuidos de manera uniforme, los senos y cosenos individuales de los ángulos se distribuirán de la siguiente manera:

${\displaystyle P(u)du={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}}$

donde o . Se deduce que tendrán media cero y una varianza de 1/2. Por el teorema del límite central, en el límite de N grande , y , al ser la suma de un gran número de iid , se distribuirán normalmente con media cero y varianza . La longitud resultante media , al ser la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de dos variables independientes distribuidas normalmente, se distribuirá según Chi con dos grados de libertad (es decir, se distribuirá según Rayleigh ) y varianza : ${\displaystyle u=\cos \theta _{n}\,}$ ${\displaystyle \sin \theta _{n}\,}$ ${\displaystyle {\overline {C}}\,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}\,}$ ${\displaystyle 1/2N}$ ${\displaystyle {\overline {R}}\,}$ ${\displaystyle 1/2N}$

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }P_{N}({\overline {R}})=2N{\overline {R}}\,e^{-N{\overline {R}}^{2}}.}$

Entropía

La entropía de información diferencial de la distribución uniforme es simplemente

${\displaystyle H_{U}=-\int _{\Gamma }{\frac {1}{2\pi }}\ln \left({\frac {1}{2\pi }}\right)\,d\theta =\ln(2\pi )}$

donde es cualquier intervalo de longitud . Esta es la entropía máxima que puede tener cualquier distribución circular. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Véase también

• Distribución envuelta

Referencias

1. "Formación de haz de transmisión para aplicaciones de radar utilizando matrices aleatorias cónicas circulares - Publicación de la conferencia IEEE". doi :10.1109/RADAR.2017.7944181. S2CID  38429370. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Temas de estadística circular . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3778-3.