Derivación (álgebra diferencial)

Generalización algebraica de la derivada

En matemáticas , una derivación es una función de un álgebra que generaliza ciertas características del operador derivada . En concreto, dada un álgebra A sobre un anillo o un cuerpo K , una K -derivación es una función K - lineal D  : A → A que satisface la ley de Leibniz :

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

En términos más generales, si M es un A - bimódulo , una función K -lineal D  : A → M que satisface la ley de Leibniz también se denomina derivación. La colección de todas las K -derivaciones de A respecto de sí misma se denota por Der _K ( A ). La colección de K -derivaciones de A en un A -módulo M se denota por Der _K ( A , M ) .

Las derivaciones ocurren en muchos contextos diferentes en diversas áreas de las matemáticas. La derivada parcial con respecto a una variable es una R -derivación del álgebra de funciones diferenciables de valor real en R ⁿ . La derivada de Lie con respecto a un campo vectorial es una R -derivación del álgebra de funciones diferenciables en una variedad diferenciable ; más generalmente es una derivación del álgebra tensorial de una variedad. De ello se deduce que la representación adjunta de un álgebra de Lie es una derivación de esa álgebra. La derivada de Pincherle es un ejemplo de una derivación en álgebra abstracta . Si el álgebra A es no conmutativa, entonces el conmutador con respecto a un elemento del álgebra A define un endomorfismo lineal de A consigo mismo, que es una derivación sobre K . Es decir,

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N],}$

donde es el conmutador con respecto a . Un álgebra A equipada con una derivación distinguida d forma un álgebra diferencial , y es en sí misma un objeto de estudio significativo en áreas como la teoría diferencial de Galois . ${\displaystyle [\cdot ,N]}$ ${\displaystyle N}$

Propiedades

Si A es una K -álgebra, para K un anillo, y D : A → A es una K -derivación, entonces

• Si A tiene una unidad 1, entonces D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1), de modo que D (1) = 0. Por lo tanto, por K -linealidad, D ( k ) = 0 para todo k ∈ K .
• Si A es conmutativa, D ( x ² ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ), y D ( x ⁿ ) = nx ^{n −1} D ( x ), por la regla de Leibniz.
• De manera más general, para cualquier x ₁ , x ₂ , …, x _n ∈ A , se deduce por inducción que

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

que es si para todo i , D ( x _i ) conmuta con . ${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$

• Para n > 1, D ⁿ no es una derivación, sino que satisface una regla de Leibniz de orden superior:

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).}$

Además, si M es un A -bimódulo, escribe

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

para el conjunto de K - derivaciones de A a M.

• El _K ( A , M ) es un módulo sobre K .
• Der _K ( A ) es un álgebra de Lie con corchete de Lie definido por el conmutador :

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

ya que se verifica fácilmente que el conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación.

• Existe un módulo A Ω _{A / K} (llamado diferencial de Kähler ) con una derivación K d : A → Ω _{A / K} a través del cual se factoriza cualquier derivación D : A → M. Es decir, para cualquier derivación D existe una función de módulo A φ con

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

La correspondencia es un isomorfismo de módulos A : ${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• Si k ⊂ K es un subanillo , entonces A hereda una estructura de k -álgebra, por lo que hay una inclusión

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

ya que cualquier K -derivación es a fortiori una k -derivación.

Derivaciones graduadas

Dada un álgebra graduada A y una función lineal homogénea D de grado | D | en A , D es una derivación homogénea si

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

para cada elemento homogéneo a y cada elemento b de A para un factor conmutador ε = ±1 . Una derivación graduada es la suma de derivaciones homogéneas con el mismo ε .

Si ε = 1 , esta definición se reduce al caso habitual. Sin embargo, si ε = −1 , entonces

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}$

para impar | D |, y D se llama antiderivada .

Ejemplos de antiderivaciones incluyen la derivada exterior y el producto interior que actúan sobre formas diferenciales .

Las derivaciones graduadas de superálgebras (es decir, álgebras graduadas Z ₂ ) a menudo se denominan superderivaciones .

Nociones relacionadas

Las derivaciones de Hasse-Schmidt son homomorfismos del K -álgebra

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

Siguiendo con la composición del mapa que envía una serie de potencia formal al coeficiente se obtiene una derivación. ${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Véase también

• En geometría diferencial las derivaciones son vectores tangentes
• Diferencial Kähler
• Derivado de Hasse
• p -derivación
• Derivados de Wirtinger
• Derivada del mapa exponencial

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Elementos de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Eisenbud, David (1999), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica (3.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa , serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial, Springer-Verlag.