Derivado de Hasse

Concepto matemático

En matemáticas, la derivada de Hasse es una generalización de la derivada que permite la formulación del teorema de Taylor en anillos de coordenadas de variedades algebraicas .

Definición

Sea k [ X ] un anillo polinomial sobre un cuerpo k . La derivada de Hasse r -ésima de X ⁿ es

${\displaystyle D^{(r)}X^{n}={\binom {n}{r}}X^{n-r},}$

si n ≥ r y cero en caso contrario. ^[1] En la característica cero tenemos

${\displaystyle D^{(r)}={\frac {1}{r!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} X}}\right)^{r}\ .}$

Propiedades

La derivada de Hasse es una derivación generalizada en k [ X ] y se extiende a una derivación generalizada en el cuerpo de funciones k ( X ), ^[1] satisfaciendo un análogo de la regla del producto

${\displaystyle D^{(r)}(fg)=\sum _{i=0}^{r}D^{(i)}(f)D^{(r-i)}(g)}$

y un análogo de la regla de la cadena. ^[2] Nótese que no son en sí mismas derivaciones en general, pero están estrechamente relacionadas. ${\displaystyle D^{(r)}}$

Una forma del teorema de Taylor se cumple para una función f definida en términos de un parámetro local t en una variedad algebraica: ^[3]

${\displaystyle f=\sum _{r}D^{(r)}(f)\cdot t^{r}\ .}$

Notas

1. Goldschmidt (2003) pág. 28
2. Goldschmidt (2003) pág. 29
3. Goldschmidt (2003) pág. 64

Referencias

• Goldschmidt, David M. (2003). Funciones algebraicas y curvas proyectivas. Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 215. Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95432-5.Zbl 1034.14011  .