Curva de De Rham

Una curva fractal continua obtenida como imagen del espacio de Cantor.

En matemáticas , una curva de De Rham es una curva fractal continua obtenida como imagen del espacio de Cantor o, de manera equivalente, a partir de la expansión en base dos de los números reales en el intervalo unitario. Muchas curvas fractales conocidas, incluida la función de Cantor , la curva de Cesàro-Faber ( curva de Lévy C ), la función del signo de interrogación de Minkowski , la curva de manjar blanco y la curva de Koch son ejemplos de curvas de De Rham. La forma general de la curva fue descrita por primera vez por Georges de Rham en 1957. ^[1]

Construcción

Considere un espacio métrico completo (generalmente ² con la distancia euclidiana habitual) y un par de mapas de contracción en M: ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle d_{0}:\ M\to M}$

${\displaystyle d_{1}:\ M\to M.}$

Según el teorema del punto fijo de Banach , estos tienen puntos fijos y respectivamente. Sea x un número real en el intervalo , con expansión binaria ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {b_{k}}{2^{k}}},}$

donde cada uno es 0 o 1. Considere el mapa ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle c_{x}:\ M\to M}$

definido por

${\displaystyle c_{x}=d_{b_{1}}\circ d_{b_{2}}\circ \cdots \circ d_{b_{k}}\circ \cdots ,}$

donde denota composición de funciones . Se puede demostrar que cada uno mapeará la cuenca de atracción común de y hacia un solo punto en . La colección de puntos , parametrizada por un único parámetro real x , se conoce como curva de Rham. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle c_{x}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{x}}$

Condición de continuidad

La construcción en términos de dígitos binarios se puede entender de dos maneras distintas. Una forma es como un mapeo del espacio de Cantor a distintos puntos del plano. El espacio de Cantor es el conjunto de todas las cadenas infinitamente largas de dígitos binarios. Es un espacio discreto y desconectado . El espacio de Cantor se puede asignar al intervalo real unitario tratando cada cadena como una expansión binaria de un número real. En este mapa, los racionales diádicos tienen dos representaciones distintas como cadenas de dígitos binarios. Por ejemplo, el número real la mitad tiene dos expansiones binarias equivalentes: y Esto es análogo a cómo uno tiene 0,999...=1,000... en expansiones decimales. Los dos puntos y son puntos distintos en el espacio de Cantor, pero ambos están asignados al número real la mitad. De esta forma, los reales del intervalo unitario son una imagen continua del espacio de Cantor. ${\displaystyle h_{1}=0.1000\cdots }$ ${\displaystyle h_{0}=0.01111\cdots }$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$

La misma noción de continuidad se aplica a la curva de De Rham pidiendo que los puntos fijos estén emparejados, de modo que

${\displaystyle d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})}$

Con este emparejamiento, las expansiones binarias de los racionales diádicos siempre se asignan al mismo punto, asegurando así la continuidad en ese punto. Considere el comportamiento a la mitad. Para cualquier punto p en el plano, se tienen dos secuencias distintas:

${\displaystyle d_{0}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ \cdots (p)}$

y

${\displaystyle d_{1}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ \cdots (p)}$

correspondiente a las dos expansiones binarias y . Dado que los dos mapas se contraen, la primera secuencia converge a y la segunda a . Si estos dos son iguales, entonces ambas expansiones binarias de 1/2 se asignan al mismo punto. Este argumento puede repetirse en cualquier racional diádico, asegurando así la continuidad en esos puntos. Los números reales que no son racionales diádicos tienen una sola representación binaria única, y de esto se deduce que la curva no puede ser discontinua en tales puntos. La curva de Rham resultante es una función continua de x , en todo x . ${\displaystyle 1/2=0.01111\cdots }$ ${\displaystyle 1/2=0.1000\cdots }$ ${\displaystyle d_{0}(p_{1})}$ ${\displaystyle d_{1}(p_{0})}$ ${\displaystyle p_{x}}$

En general, las curvas de De Rham no son diferenciables.

Propiedades

Las curvas de De Rham son autosemejantes por construcción, ya que

${\displaystyle p(x)=d_{0}(p(2x))}$Para y ${\displaystyle x\in [0,1/2]}$

${\displaystyle p(x)=d_{1}(p(2x-1))}$para ${\displaystyle x\in [1/2,1].}$

Las autosimetrías de todas las curvas de De Rham están dadas por el monoide que describe las simetrías del árbol binario infinito o espacio de Cantor . Este monoide llamado de duplicación de período es un subconjunto del grupo modular .

La imagen de la curva, es decir, el conjunto de puntos , se puede obtener mediante un sistema de funciones iteradas utilizando el conjunto de asignaciones de contracción . Pero el resultado de un sistema de funciones iteradas con dos aplicaciones de contracción es una curva de Rham si y sólo si las aplicaciones de contracción satisfacen la condición de continuidad. ${\displaystyle \{p(x),x\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle \{d_{0},\ d_{1}\}}$

Se pueden encontrar ejemplos detallados y elaborados de las autosimilitudes en los artículos sobre la función de Cantor y sobre la función del signo de interrogación de Minkowski . Precisamente el mismo monoide de autosimilitudes, el monoide diádico , se aplica a cada curva de De Rham.

Clasificación y ejemplos.

Los siguientes sistemas generan curvas continuas.

Curvas de Cesaro

Curva de Cesàro para a  = 0,3 +  i  0,3

Curva de Cesàro para a  = 0,5 +  i  0,5. Esta es la curva C de Lévy .

Las curvas de Cesàro , también conocidas como curvas de Cesàro-Faber o curvas de Lévy C , son curvas de De Rham generadas por transformaciones afines que conservan la orientación , con puntos fijos y . ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle p_{1}=1}$

Debido a estas restricciones, las curvas de Cesàro están determinadas únicamente por un número complejo tal que y . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1}$ ${\displaystyle |1-a|<1}$

Las asignaciones de contracción y luego se definen como funciones complejas en el plano complejo mediante: ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=az}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a)z.}$

Para el valor de , la curva resultante es la curva C de Lévy . ${\displaystyle a=(1+i)/2}$

Curvas de Koch-Peano

Curva de Koch-Peano para a  = 0,6 +  i  0,37. Esto se acerca a la curva de Koch , aunque no del todo .

Curva de Koch-Peano para a  = 0,6 +  i  0,45.

De manera similar, podemos definir la familia de curvas de Koch-Peano como el conjunto de curvas de De Rham generadas por transformaciones afines que invierten la orientación, con puntos fijos y . ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle p_{1}=1}$

Estos mapeos se expresan en el plano complejo como una función de , el conjugado complejo de : ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle d_{0}(z)=a{\overline {z}}}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a){\overline {z}}.}$

El nombre de la familia proviene de sus dos miembros más famosos. La curva de Koch se obtiene estableciendo:

${\displaystyle a_{\text{Koch}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{6}},}$

mientras que la curva de Peano corresponde a:

${\displaystyle a_{\text{Peano}}={\frac {(1+i)}{2}}.}$

La curva de De Rham para valores de poco menos de uno se parece visualmente a la curva de Osgood . Estas dos curvas están estrechamente relacionadas, pero no son iguales. La curva de Osgood se obtiene mediante resta repetida de conjuntos y, por tanto, es un conjunto perfecto , muy parecido al propio conjunto de Cantor . La construcción del conjunto de Osgood requiere que se resten triángulos progresivamente más pequeños, dejando atrás un conjunto "gordo" de medida distinta de cero; la construcción es análoga al conjunto gordo de Cantor , que tiene una medida distinta de cero . Por el contrario, la curva de De Rham no es "gorda"; la construcción no ofrece una manera de "engordar" los "segmentos de línea" que corren "entre" los racionales diádicos. ${\displaystyle a=(1+ib)/2}$ ${\displaystyle b}$

Mapas afines generales

Curva afín de Rham genérica

Curva afín de Rham genérica

Curva afín de Rham genérica

Curva afín de Rham genérica

Las curvas de Cesàro-Faber y Peano-Koch son casos especiales del caso general de un par de transformaciones lineales afines en el plano complejo. Al fijar un punto final de la curva en 0 y el otro en uno, el caso general se obtiene iterando sobre las dos transformadas.

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\alpha &\delta \\0&\beta &\varepsilon \end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\\alpha &1-\alpha &\zeta \\\beta &-\beta &\eta \end{pmatrix}}.}$

Al ser transformadas afines , estas transformaciones actúan sobre un punto del plano 2-D actuando sobre el vector ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\u\\v\end{pmatrix}}.}$

Se puede ver que el punto medio de la curva está ubicado en ; los otros cuatro parámetros se pueden variar para crear una gran variedad de curvas. ${\displaystyle (u,v)=(\alpha ,\beta )}$

La curva de manjar blanco del parámetro se puede obtener configurando , y . Eso es: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$ ${\displaystyle \delta =\zeta =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =\eta =w}$

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&1/2&w\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\1/2&-1/2&w\end{pmatrix}}.}$

Dado que la curva de manjar blanco para el parámetro es una parábola de la ecuación , esto ilustra el hecho de que, en algunas ocasiones, las curvas de De Rham pueden ser suaves. ${\displaystyle w=1/4}$ ${\displaystyle f(x)=4x(1-x)}$

Función del signo de interrogación de Minkowski

La función del signo de interrogación de Minkowski es generada por el par de mapas.

${\displaystyle d_{0}(z)={\frac {z}{z+1}}}$

y

${\displaystyle d_{1}(z)={\frac {1}{2-z}}.}$

No ejemplos

Dadas dos funciones cualesquiera y , se puede definir un mapeo desde el espacio de Cantor , mediante la iteración repetida de los dígitos, exactamente de la misma manera que para las curvas de De Rham. En general, el resultado no será una curva de Rham, cuando no se cumplan los términos de la condición de continuidad. Por tanto, hay muchos conjuntos que podrían estar en correspondencia uno a uno con el espacio de Cantor, cuyos puntos pueden etiquetarse de forma única por puntos en el espacio de Cantor; sin embargo, estas no son curvas de Rham, cuando los racionales diádicos no se corresponden con el mismo punto. ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$

Conjunto de Julia del conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot se genera mediante una ecuación iterada que duplica el período. El conjunto de Julia correspondiente se obtiene iterando en la dirección opuesta. Esto se hace escribiendo , lo que proporciona dos raíces distintas de las que "provino" la iteración directa. Estas dos raíces se pueden distinguir como ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.}$ ${\displaystyle z_{n}=\pm {\sqrt {z_{n+1}-c}}}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=+{\sqrt {z-c}}}$

y

${\displaystyle d_{1}(z)=-{\sqrt {z-c}}.}$

Fijando el número complejo , el resultado es el conjunto de Julia para ese valor de . Esta curva es continua cuando está dentro del conjunto de Mandelbrot; de lo contrario, es un polvo de puntos desconectados. Sin embargo, la razón de la continuidad no se debe a la condición de De Rham, ya que, en general, los puntos correspondientes a los racionales diádicos están muy alejados entre sí. De hecho, esta propiedad se puede utilizar para definir una noción de "opuestos polares", de puntos conjugados en el conjunto de Julia. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Generalizaciones

Es fácil generalizar la definición utilizando más de dos asignaciones de contracciones. Si se usan n asignaciones, entonces se debe usar la descomposición n -aria de x en lugar de la expansión binaria de números reales . La condición de continuidad debe generalizarse en:

${\displaystyle d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})}$, para ${\displaystyle i=0\ldots n-2.}$

Esta condición de continuidad se puede entender con el siguiente ejemplo. Supongamos que uno está trabajando en base-10. Entonces uno tiene (famoso) que 0,999...= 1,000... que es una ecuación de continuidad que debe aplicarse en cada brecha. Es decir, dados los dígitos decimales con , se tiene ${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}\neq 9}$

${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k},9,9,9,\cdots =b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}+1,0,0,0,\cdots }$

Tal generalización permite, por ejemplo, producir la curva de punta de flecha de Sierpiński (cuya imagen es el triángulo de Sierpiński ), utilizando las asignaciones de contracción de un sistema de funciones iteradas que produce el triángulo de Sierpiński.

Curvas multifractales

Ornstein y otros describen un sistema multifractal , donde en lugar de trabajar en una base fija, se trabaja en una base variable.

Considere el espacio producto de espacios discretos de base variable. ${\displaystyle m_{n}}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

para el grupo cíclico , para un número entero. Cualquier número real en el intervalo unitario se puede expandir en una secuencia tal que cada . Más precisamente, un número real se escribe como ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\cdots ,m_{n}-1\}}$ ${\displaystyle m_{n}\geq 2}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$ ${\displaystyle a_{n}\in A_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\prod _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

Esta expansión no es única, si todo pasa por algún momento . En este caso se tiene que ${\displaystyle a_{n}=0}$ ${\displaystyle K<n}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K},0,0,\cdots =a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,\cdots }$

Dichos puntos son análogos a los racionales diádicos en la expansión diádica, y las ecuaciones de continuidad de la curva deben aplicarse en estos puntos.

Para cada uno , se deben especificar dos cosas: un conjunto de dos puntos y un conjunto de funciones (con ). La condición de continuidad es entonces la anterior, ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle p_{0}^{(n)}}$ ${\displaystyle p_{1}^{(n)}}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle d_{j}^{(n)}(z)}$ ${\displaystyle j\in A_{n}}$

${\displaystyle d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})}$, para ${\displaystyle j=0,\cdots ,m_{n}-2.}$

Se utilizó el ejemplo original de Ornstein.

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

Ver también

• Sistema de funciones iteradas
• Función refinable
• grupo modular
• grupo fucsia

Referencias

1. Georges de Rham, Sur quelques courbes definies par des ecuaciones funcionales . Univ. y Politec. Turín. Desgarrar. Sem. Mateo, 1957, 16, 101 –113

Otras lecturas

• Georges de Rham, Sobre algunas curvas definidas por ecuaciones funcionales (1957), reimpreso en Clásicos sobre fractales , ed. Gerald A. Edgar (Addison-Wesley, 1993), págs. 285–298.
• Linas Vepstas, Una galería de curvas de De Rham , (2006).
• Linas Vepstas, Simetrías de mapas de duplicación de períodos , (2006). (Una exploración general de la simetría del grupo modular en curvas fractales).