Función refinable

En matemáticas , en el área del análisis wavelet , una función refinable es una función que cumple algún tipo de autosimilitud . Una función se llama refinable con respecto a la máscara si ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \varphi (x)=2\cdot \sum _{k=0}^{N-1}h_{k}\cdot \varphi (2\cdot x-k)}$

Esta condición se llama ecuación de refinamiento , ecuación de dilatación o ecuación de dos escalas .

Usando la convolución (indicada por un asterisco, *) de una función con una máscara discreta y el operador de dilatación se puede escribir de manera más concisa: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \varphi =2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$

Esto significa que se obtiene la función, nuevamente, si se convoluciona la función con una máscara discreta y luego se la escala hacia atrás. Existe una similitud con los sistemas de funciones iteradas y las curvas de De Rham .

El operador es lineal. Una función refinable es una función propia de ese operador. Su valor absoluto no está definido de forma única. Es decir, si es una función refinable, entonces para cada función también es refinable. ${\displaystyle \varphi \mapsto 2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\cdot \varphi }$

Estas funciones juegan un papel fundamental en la teoría wavelet como funciones de escala .

Propiedades

Valores en puntos integrales

Una función refinable se define solo de manera implícita. También puede ocurrir que existan varias funciones que sean refinables con respecto a la misma máscara. Si debe tener un soporte finito y se desean los valores de la función en argumentos enteros, entonces la ecuación de dos escalas se convierte en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas . ${\displaystyle \varphi }$

Sea el índice mínimo y el índice máximo de elementos distintos de cero de , entonces se obtiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.}$$

Usando el operador de discretización , llámelo aquí, y la matriz de transferencia de , llamada , esto se puede escribir de manera concisa como ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T_{h}}$ $${\displaystyle Q\varphi =T_{h}Q\varphi .}$$

Se trata nuevamente de una ecuación de punto fijo , pero ahora puede considerarse como un problema de vector propio - valor propio . Es decir, una función refinable con soporte finito existe solo (pero no necesariamente) si tiene el valor propio 1. ${\displaystyle T_{h}}$

Valores en puntos diádicos

A partir de los valores en puntos integrales se pueden derivar los valores en puntos diádicos, es decir, puntos de la forma , con y . ${\displaystyle k\cdot 2^{-j}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi ))}$

${\displaystyle D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi )}$

${\displaystyle Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )}$

La estrella denota la convolución de un filtro discreto con una función. Con este paso, puede calcular los valores en puntos de la forma . Al reemplazar iterativamente por , obtiene los valores en todas las escalas más finas. ${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D_{2}\varphi }$

$${\displaystyle Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q(D_{2^{j}}\varphi ))}$$

Circunvolución

Si es refinable con respecto a , y es refinable con respecto a , entonces es refinable con respecto a . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi *\psi }$ ${\displaystyle h*g}$

Diferenciación

Si es refinable con respecto a , y la derivada existe, entonces es refinable con respecto a . Esto se puede interpretar como un caso especial de la propiedad de convolución, donde uno de los operandos de convolución es una derivada del impulso de Dirac . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi '}$ ${\displaystyle \varphi '}$ ${\displaystyle 2\cdot h}$

Integración

Si es refinable con respecto a , y hay una antiderivada con , entonces la antiderivada es refinable con respecto a máscara donde la constante debe cumplir . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\textstyle \Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle t\mapsto \Phi (t)+c}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$ ${\displaystyle c}$ ${\textstyle c\cdot \left(1-\sum _{j}h_{j}\right)=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$

Si tiene soporte acotado , entonces podemos interpretar la integración como convolución con la función de Heaviside y aplicar la ley de convolución. ${\displaystyle \varphi }$

Productos escalares

El cálculo de los productos escalares de dos funciones refinables y sus traducciones se puede descomponer en las dos propiedades anteriores. Sea el operador de traducción. Se cumple donde es el adjunto de con respecto a la convolución , es decir, es la versión conjugada compleja e invertida de , es decir, . ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle \varphi ,T_{k}\psi \rangle =\langle \varphi *\psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)}$$ ${\displaystyle \psi ^{*}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{*}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}}$

Debido a la propiedad anterior, es refinable con respecto a , y sus valores en argumentos integrales pueden calcularse como vectores propios de la matriz de transferencia. Esta idea puede generalizarse fácilmente a integrales de productos de más de dos funciones refinables. ^[1] ${\displaystyle \varphi *\psi ^{*}}$ ${\displaystyle h*g^{*}}$

Suavidad

Una función refinable suele tener forma fractal. El diseño de funciones refinables continuas o suaves no es obvio. Antes de tratar de forzar la suavidad, es necesario medir la suavidad de las funciones refinables. Utilizando la máquina de Villemoes ^[2] se puede calcular la suavidad de las funciones refinables en términos de exponentes de Sobolev .

En un primer paso, la máscara de refinamiento se divide en un filtro , que es una potencia del factor de suavidad (esta es una máscara binomial) y un resto . En términos generales, la máscara binomial suaviza y representa un componente fractal, que reduce la suavidad nuevamente. Ahora, el exponente de Sobolev es aproximadamente del orden de menos el logaritmo del radio espectral de . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle T_{q*q^{*}}}$

Generalización

El concepto de funciones refinables se puede generalizar a funciones de más de una variable, es decir, funciones de . La generalización más simple se refiere a los productos tensoriales . Si y son refinables con respecto a y , respectivamente, entonces es refinable con respecto a . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi \otimes \psi }$ ${\displaystyle h\otimes g}$

El esquema se puede generalizar aún más a diferentes factores de escala con respecto a diferentes dimensiones o incluso a la mezcla de datos entre dimensiones. ^[3] En lugar de escalar por factor escalar como 2, la señal se transforma en coordenadas mediante una matriz de números enteros. Para que el esquema funcione, los valores absolutos de todos los valores propios de deben ser mayores que uno. (Quizás también sea suficiente que .) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left|\det M\right|>1}$

Formalmente la ecuación de dos escalas no cambia mucho: $${\displaystyle \varphi (x)=\left|\det M\right|\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot x-k)}$$ $${\displaystyle \varphi =\left|\det M\right|\cdot D_{M^{-1}}(h*\varphi )}$$

Ejemplos

• Si la definición se extiende a distribuciones , entonces el impulso de Dirac es refinable con respecto al vector unitario , que se conoce como delta de Kronecker . La derivada -ésima de la distribución de Dirac es refinable con respecto a . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\cdot \delta }$
• La función de Heaviside es refinable con respecto a . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \delta }$
• Las funciones de potencia truncadas con exponente son refinables con respecto a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot \delta }$
• La función triangular es una función refinable. ^{[4] Las funciones} B-spline con nodos integrales sucesivos son refinables, debido al teorema de convolución y la capacidad de refinación de la función característica para el intervalo (una función boxcar ). ${\displaystyle [0,1)}$
• Todas las funciones polinómicas son refinables. Para cada máscara de refinamiento hay un polinomio que está definido de forma única hasta un factor constante. Para cada polinomio de grado hay muchas máscaras de refinamiento que se diferencian entre sí por una máscara de tipo para cualquier máscara y la potencia convolucional . ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v*(1,-1)^{n+1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (1,-1)^{n+1}}$
• Una función racional es refinable si y solo si puede representarse utilizando fracciones parciales como , donde es un número natural positivo y es una secuencia real con un número finito de elementos distintos de cero (un polinomio de Laurent ) tal que (léase: ). El polinomio de Laurent es la máscara de refinamiento asociada. ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s|(s\uparrow 2)}$ ${\displaystyle \exists h(z)\in \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})}$ ${\displaystyle 2^{k-1}\cdot h}$

Referencias

1. Dahmen, Wolfgang; Micchelli, Charles A. (1993). "Uso de la ecuación de refinamiento para evaluar integrales de wavelets". Revista de análisis numérico . 30 (2). SIAM: 507–537. doi :10.1137/0730024.
2. Villemoes, Lars. "Regularidad de ondículas de Sobolev y estabilidad de bancos de filtros iterados". Archivado desde el original (PostScript) el 11 de mayo de 2002.
3. Berger, Marc A.; Wang, Yang (1992), "Ecuaciones de dilatación multidimensionales de dos escalas (capítulo IV)", en Chui, Charles K. (ed.), Wavelets: un tutorial sobre teoría y aplicaciones , Análisis wavelet y sus aplicaciones, vol. 2, Academic Press, Inc., págs. 295–323
4. Nathanael, Berglund. "Reconstrucción de funciones refinables". Archivado desde el original el 4 de abril de 2009. Consultado el 24 de diciembre de 2010 .
5. Thielemann, Henning (29 de enero de 2012). "Cómo refinar funciones polinómicas". arXiv : 1012.2453 [math.FA].
6. Gustafson, Paul; Savir, Nathan; Spears, Ely (14 de noviembre de 2006), "Una caracterización de funciones racionales refinables" (PDF) , American Journal of Undergraduate Research , 5 (3): 11–20, doi :10.33697/ajur.2006.021

Véase también

• Esquema de subdivisión