Como solista, grabó varios discos con Virgin Records, utilizando sus teclados y/o músicos de orquesta.
Más tarde colaboró con artistas de muy diverso pelaje, como A-ha, Billy Bragg, la Edgar Broughton Band, Elvis Costello, Lol Coxhill, Frankie Goes to Hollywood, Roy Harper, Madness y Robert Wyatt.
Bedford combinó músicos de formación clásica con intérpretes sin formación en otros trabajos, como Seascapes (1986), para orquesta y niños de colegio, y Stories from the Dreamtime (1991), escrito para 40 niños sordos acompañados por una orquesta.
Esta labor le llevó a componer una gran cantidad de música para fines educativos.
Bedford se inspiró a menudo en autores y temas de ciencia ficción.