Marco Darboux

En la geometría diferencial de superficies , un marco Darboux es un marco en movimiento natural construido sobre una superficie. Es el análogo del marco de Frenet-Serret aplicado a la geometría de superficies. Un marco de Darboux existe en cualquier punto no umbilical de una superficie incrustada en el espacio euclidiano . Lleva el nombre del matemático francés Jean Gaston Darboux .

Marco Darboux de una curva incrustada.

Sea S una superficie orientada en el espacio euclidiano tridimensional E ³ . La construcción de pórticos Darboux en S primero considera pórticos que se mueven a lo largo de una curva en S , y luego se especializa cuando las curvas se mueven en la dirección de las curvaturas principales .

Definición

En cada punto p de una superficie orientada, se puede adjuntar un vector normal unitario u ( p ) de una manera única, tan pronto como se haya elegido una orientación para la normal en cualquier punto fijo particular. Si γ ( s ) es una curva en S , parametrizada por la longitud del arco, entonces el marco de Darboux de γ está definido por

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    (la unidad tangente )

${\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}$    (la unidad normal )

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$    (la tangente normal )

La triple T , t , u define una base ortonormal orientada positivamente adjunta a cada punto de la curva: un marco en movimiento natural a lo largo de la curva incrustada.

Curvatura geodésica, curvatura normal y torsión relativa.

Una curva en una superficie. El cuadro Frenet-Serret: tangente en rojo, normal (Frenet) en cian y binormal en violeta. El marco de Darboux: la tangente en rojo, la normal a la superficie en azul y la tangente normal en verde. Las proyecciones a lo largo de la superficie normal y tangente normal muestran curvas planas cuyas curvaturas son la curvatura geodésica y la curvatura normal respectivamente.

Tenga en cuenta que un marco de Darboux para una curva no produce un marco de movimiento natural en la superficie, ya que todavía depende de una elección inicial del vector tangente. Para obtener un marco en movimiento en la superficie, primero comparamos el marco de Darboux de γ con su marco de Frenet-Serret. Dejar

• ${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    (la unidad tangente , como arriba)
• ${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$    (el vector normal de Frenet )
• ${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$    (el vector binormal de Frenet ).

Como los vectores tangentes son los mismos en ambos casos, existe un ángulo único α tal que una rotación en el plano de N y B produce el par t y u :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Tomando un diferencial y aplicando las fórmulas de Frenet-Serret se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

dónde:

• κ _g es la curvatura geodésica de la curva,
• κ _n es la curvatura normal de la curva, y
• τ _r es la torsión relativa (también llamada torsión geodésica ) de la curva.

Marco Darboux sobre una superficie.

Esta sección especializa el caso del marco de Darboux sobre una curva al caso en el que la curva es una curva principal de la superficie (una línea de curvatura ). En ese caso, dado que las curvas principales están asociadas canónicamente a una superficie en todos los puntos no umbilicales , el marco de Darboux es un marco móvil canónico .

el triedro

Un triedro de Darboux que consta de un punto P y tres vectores ortonormales e ₁ , e ₂ , e ₃ con base en P.

La introducción del triedro (o trièdre ), una invención de Darboux, permite una simplificación conceptual del problema de mover marcos en curvas y superficies al tratar las coordenadas del punto en la curva y los vectores del marco de manera uniforme. Un triedro consta de un punto P en el espacio euclidiano y tres vectores ortonormales e ₁ , e ₂ y e ₃ basados ​​en el punto P. Un triedro en movimiento es un triedro cuyos componentes dependen de uno o más parámetros. Por ejemplo, un triedro se mueve a lo largo de una curva si el punto P depende de un solo parámetro s y P ( s ) traza la curva. De manera similar, si P ( s , t ) depende de un par de parámetros, entonces esto traza una superficie.

Se dice que un triedro está adaptado a una superficie si P siempre se encuentra sobre la superficie y e ₃ es la unidad orientada normal a la superficie en P. En el caso del marco Darboux a lo largo de una curva incrustada, el cuádruple

( P ( s ) = γ( s ), mi ₁ ( s ) = T ( s ), mi ₂ ( s ) = t ( s ), mi ₃ ( s ) = u ( s ))

define un tetraedro adaptado a la superficie en la que está incrustada la curva.

En términos de este triedro, las ecuaciones estructurales leen

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}$

Cambio de marco

Supongamos que cualquier otro triedro adaptado

( PAG , mi ₁ , mi ₂ , mi ₃ )

se da para la curva incrustada. Dado que, por definición, P sigue siendo el mismo punto de la curva que para el triedro de Darboux, y e ₃ = u es la unidad normal, este nuevo triedro está relacionado con el triedro de Darboux mediante una rotación de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

donde θ = θ( s ) es una función de s . Tomando un diferencial y aplicando la ecuación de Darboux se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

donde las (ω ⁱ ,ω _i ^j ) son funciones de s , que satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

Ecuaciones estructurales

El lema de Poincaré , aplicado a cada doble diferencial dd P , dd e _i , produce las siguientes ecuaciones de estructura de Cartan . De dd P = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

Desde dd e _i = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

Estas últimas son las ecuaciones de Gauss-Codazzi para la superficie, expresadas en el lenguaje de formas diferenciales.

Curvas principales

Considere la segunda forma fundamental de S. Esta es la forma 2 simétrica en S dada por

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

Según el teorema espectral , existe cierta elección de marco ( e _i ) en el que ( ii _ij ) es una matriz diagonal . Los valores propios son las curvaturas principales de la superficie. Un marco diagonalizador a ₁ , a ₂ , a ₃ está formado por el vector normal a ₃ y dos direcciones principales a ₁ y a ₂ . Esto se llama marco de Darboux en la superficie. El marco está canónicamente definido (mediante una ordenación de los valores propios, por ejemplo) lejos de los umbilicales de la superficie.

Marcos en movimiento

El marco Darboux es un ejemplo de un marco en movimiento natural definido sobre una superficie. Con ligeras modificaciones, la noción de marco móvil se puede generalizar a una hipersuperficie en un espacio euclidiano de n dimensiones , o incluso a cualquier subvariedad incrustada . Esta generalización se encuentra entre las muchas contribuciones de Élie Cartan al método de movimiento de fotogramas.

Marcos en el espacio euclidiano.

Un marco (euclidiano) en el espacio euclidiano E ⁿ es un análogo del triedro de dimensiones superiores. Se define como una ( n  + 1 ) -tupla de vectores extraídos de En , ( v ; f ₁ , ..., f ^{n )} _, donde:

• v es una elección del ^origen de En , y
• ( f ₁ , ..., f _n ) es una base ortonormal del espacio vectorial basada en v .

Sea F ( n ) el conjunto de todos los marcos euclidianos. El grupo euclidiano actúa sobre F ( n ) de la siguiente manera. Sea φ ∈ Euc( n ) un elemento del grupo euclidiano que se descompone como

${\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}$

donde A es una transformación ortogonal y x ₀ es una traslación. Luego, en un marco,

${\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}$

Geométricamente, el grupo afín mueve el origen de la forma habitual y actúa mediante una rotación sobre los vectores de base ortogonales, ya que estos están "unidos" a la elección particular del origen. Esta es una acción grupal efectiva y transitiva , por lo que F ( n ) es un espacio principal homogéneo de Euc( n ).

Ecuaciones estructurales

Defina el siguiente sistema de funciones F ( n ) → E ⁿ : ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}$

El operador de proyección P es de especial importancia. La imagen inversa de un punto P ⁻¹ ( v ) consta de todas las bases ortonormales con punto base en v . En particular, P  : F ( n ) → En ⁿ presenta F ( n ) como un paquete principal cuyo grupo estructural es el grupo ortogonal O( n ). (De hecho, este paquete principal es simplemente el paquete tautológico del espacio homogéneo F ( n ) → F ( n )/O( n ) = E ⁿ .)

La derivada exterior de P (considerada como una forma diferencial valorada por vector ) se descompone únicamente como

${\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}$

para algún sistema de formas unidimensionales con valores escalares ω ⁱ . De manera similar, existe una matriz n × n de formas uniformes (ω _i ^j ) tal que

${\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

Dado que los e _i son ortonormales bajo el producto interno del espacio euclidiano, la matriz de 1 formas ω _i ^j es sesgada-simétrica . En particular, está determinado únicamente por su parte triangular superior (ω _j ⁱ | i  <  j ). El sistema de n ( n  + 1)/2 formas simples (ω ⁱ , ω _j ⁱ ( i < j )) da un paralelismo absoluto de F ( n ), ya que cada uno de los diferenciales de coordenadas se puede expresar en términos de ellos. Bajo la acción del grupo euclidiano, estas formas se transforman de la siguiente manera. Sea φ la transformación euclidiana que consta de una matriz de traslación v ⁱ y rotación ( A _j ⁱ ). Entonces lo siguiente se comprueba fácilmente mediante la invariancia de la derivada exterior bajo retroceso :

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}$

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

Además, según el lema de Poincaré , se tienen las siguientes ecuaciones estructurales

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

Marcos adaptados y ecuaciones de Gauss-Codazzi

Sea φ : M → E ⁿ una incorporación de una variedad suave p -dimensional en un espacio euclidiano. El espacio de marcos adaptados en M , denotado aquí por F _φ ( M ) es la colección de tuplas ( x ; f ₁ ,..., f _n ) donde x ∈ M y f _i forman una base ortonormal de E ⁿ tales que f ₁ ,..., f _p son tangentes a φ( M ) en φ( x ). ^[2]

Ya se han considerado varios ejemplos de marcos adaptados. El primer vector T del marco de Frenet-Serret ( T , N , B ) es tangente a una curva y los tres vectores son mutuamente ortonormales. De manera similar, el marco de Darboux sobre una superficie es un marco ortonormal cuyos dos primeros vectores son tangentes a la superficie. Los marcos adaptados son útiles porque las formas invariantes (ω ⁱ , ω _j ⁱ ) retroceden a lo largo de φ, y las ecuaciones estructurales se conservan bajo este retroceso. En consecuencia, el sistema de formas resultante produce información estructural sobre cómo se sitúa M dentro del espacio euclidiano. En el caso del marco de Frenet-Serret, las ecuaciones estructurales son precisamente las fórmulas de Frenet-Serret, y éstas sirven para clasificar curvas completamente hasta movimientos euclidianos. El caso general es análogo: las ecuaciones estructurales para un sistema adaptado de marcos clasifican subvariedades incrustadas arbitrarias hasta un movimiento euclidiano.

En detalle, la proyección π : F ( M ) → M dada por π( x ; f _i ) = x da a F ( M ) la estructura de un paquete principal en M (el grupo de estructura del paquete es O( p ) × O( n  −  p ).) Este paquete principal se integra en el paquete de marcos euclidianos F ( n ) por φ( v ; f _i ) := (φ( v ); f _i ) ∈ F ( n ). Por tanto, es posible definir los retrocesos de las formas invariantes de F ( n ):

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}$

Dado que la derivada exterior es equivariante bajo retrocesos, las siguientes ecuaciones estructurales se mantienen

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}$

Además, debido a que algunos de los vectores de marco f ₁ ... f _p son tangentes a M mientras que los otros son normales, las ecuaciones estructurales se dividen naturalmente en sus contribuciones tangenciales y normales. ^[3] Deje que los índices latinos en minúsculas a , b , c vayan de 1 a p (es decir, los índices tangenciales) y los índices griegos μ, γ vayan de p +1 a n (es decir, los índices normales). La primera observación es que

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}$

ya que estas formas generan la subvariedad φ( M ) (en el sentido del teorema de integración de Frobenius ).

El primer conjunto de ecuaciones estructurales ahora se convierte en

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

De estos, el último implica por el lema de Cartan que

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}$

donde s ^μ _ab es simétrico en a y b (las segundas formas fundamentales de φ ( M )). Por lo tanto, las ecuaciones (1) son las fórmulas de Gauss (ver ecuaciones de Gauss-Codazzi ). En particular, θ _b ^a es la forma de conexión para la conexión Levi-Civita en M .

Las segundas ecuaciones estructurales también se dividen en las siguientes

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

La primera ecuación es la ecuación de Gauss que expresa la forma de curvatura Ω de M en términos de la segunda forma fundamental. La segunda es la ecuación de Codazzi-Mainardi que expresa las derivadas covariantes de la segunda forma fundamental en términos de la conexión normal. La tercera es la ecuación de Ricci .

Ver también

• derivado de Darboux
• Forma Maurer-Cartan

Notas

1. Tratamiento basado en el Apéndice II de Hermann a Cartan (1983), aunque adopta este enfoque para el grupo afín . El caso del grupo euclidiano puede encontrarse, en términos equivalentes pero ligeramente más avanzados, en Sternberg (1967), Capítulo VI. Tenga en cuenta que hemos abusado ligeramente de la notación (siguiendo a Hermann y también a Cartan) al considerar f _i como elementos del espacio euclidiano En en lugar del espacio vectorial R ^{n basado} en v . Esta sutil distinción no importa, ya que en última instancia sólo se utilizan los diferenciales de estos mapas.
2. Este tratamiento es de Sternberg (1964), Capítulo VI, Teorema 3.1, p. 251.
3. Aunque tratada por Sternberg (1964), esta descripción explícita proviene de los capítulos III.1 y IV.7.C de Spivak (1999).

Referencias

• Cartan, Élie (1937). La teoría de los grupos finalizados y continuos y la geometría diferente tratada por el método del soporte móvil . Gauthier-Villars.
• Cartan, É; Hermann, R. (1983). Geometría de los espacios riemannianos . Prensa de ciencias matemáticas, Massachusetts.
• Darboux, Gastón (1896) [1887]. Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. I–IV. Gauthier-Villars.
  • —— (1887). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. I. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • —— (1915). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. II. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • —— (1894). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. III. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • —— (1896). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. IV. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 10. Superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 3) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 4) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-73-X.
• Sternberg, Shlomo (1964). Conferencias sobre geometría diferencial . Prentice Hall.