derivado de Darboux

La derivada de Darboux de una aplicación entre una variedad y un grupo de Lie es una variante de la derivada estándar. Podría decirse que es una generalización más natural de la derivada de una sola variable. Permite una generalización del teorema fundamental del cálculo de una sola variable a dimensiones superiores, en una línea diferente a la generalización que es el teorema de Stokes .

Definicion formal

Sea un grupo de Lie y sea su álgebra de Lie . La forma de Maurer-Cartan , es la forma con valores suaves en (cf. forma valorada del álgebra de Lie ) definida por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \omega _{G}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \omega _{G}(X_{g})=(T_{g}L_{g})^{-1}X_{g}}$

para todos y . Aquí denota la multiplicación por la izquierda por el elemento y es su derivada en . ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle X_{g}\in T_{g}G}$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T_{g}L_{g}}$ ${\displaystyle g}$

Sea una función suave entre una variedad suave y . Entonces la derivada de Darboux es la forma con valores suaves ${\displaystyle f:M\to G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \omega _{f}:=f^{*}\omega _{G},}$

el retroceso de por . El mapa se llama integral o primitivo de . ${\displaystyle \omega _{G}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$

¿Más natural?

La razón por la que se podría llamar a la derivada de Darboux una generalización más natural de la derivada del cálculo de una sola variable es la siguiente. En el cálculo de una sola variable, la derivada de una función asigna a cada punto del dominio un único número. De acuerdo con las múltiples ideas más generales de las derivadas, la derivada asigna a cada punto del dominio un mapa lineal desde el espacio tangente en el punto del dominio hasta el espacio tangente en el punto de la imagen. Esta derivada encapsula dos datos: la imagen del punto de dominio y el mapa lineal. En el cálculo de una sola variable, eliminamos cierta información. Sólo conservamos el mapa lineal, en forma de agente multiplicador escalar (es decir, un número). ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Una forma de justificar esta convención de retener sólo el aspecto del mapa lineal de la derivada es apelar a la (muy simple) estructura del grupo de Lie de la suma inferior. El paquete tangente de cualquier grupo de Lie se puede trivializar mediante la multiplicación por la izquierda (o por la derecha). Esto significa que cada espacio tangente en puede identificarse con el espacio tangente en la identidad, que es el álgebra de Lie de . En este caso, la multiplicación por izquierda y por derecha es simplemente una traducción. Al poscomponer la derivada de tipo múltiple con la trivialización del espacio tangente, para cada punto en el dominio obtenemos un mapa lineal desde el espacio tangente en el punto del dominio hasta el álgebra de Lie de . En símbolos, para cada uno miramos el mapa. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle v\in T_{x}\mathbb {R} \mapsto (T_{f(x)}L_{f(x)})^{-1}\circ (T_{x}f)v\in T_{0}\mathbb {R} .}$

Dado que los espacios tangentes involucrados son unidimensionales, este mapa lineal es solo una multiplicación por algún escalar. (Este escalar puede cambiar dependiendo de la base que usemos para los espacios vectoriales, pero el campo vectorial unitario canónico da una elección canónica de base y, por lo tanto, una elección canónica de escalar). Este escalar es lo que normalmente denotamos por . ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(x)}$

Unicidad de los primitivos.

Si la variedad es conexa y ambas son primitivas de , es decir , entonces existe alguna constante tal que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f,g:M\to G}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$ ${\displaystyle \omega _{f}=\omega _{g}}$ ${\displaystyle C\in G}$

${\displaystyle f(x)=C\cdot g(x)}$para todos . ${\displaystyle x\in M}$

Esta constante es, por supuesto, análoga a la constante que aparece al tomar una integral indefinida . ${\displaystyle C}$

El teorema fundamental del cálculo.

La ecuación estructural de la forma Maurer-Cartan es:

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.}$

Esto significa que para todos los campos vectoriales y así sucesivamente , tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle (d\omega )_{x}(X_{x},Y_{x})+[\omega _{x}(X_{x}),\omega _{x}(Y_{x})]=0.}$

Para cualquier forma valorada en álgebra de Lie en cualquier variedad suave, todos los términos de esta ecuación tienen sentido, por lo que para cualquier forma podemos preguntar si satisface o no esta ecuación estructural. ${\displaystyle 1}$

El teorema fundamental habitual del cálculo para el cálculo de una sola variable tiene la siguiente generalización local.

Si una forma -valorada en satisface la ecuación estructural, entonces cada punto tiene una vecindad abierta y un mapa suave tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to G}$

${\displaystyle \omega _{f}=\omega |_{U},}$

es decir, tiene una primitiva definida en una vecindad de cada punto de . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$

Para una generalización global del teorema fundamental, es necesario estudiar ciertas cuestiones de monodromía en y . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Ver también

• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Derivada logarítmica  – Operación matemática en cálculo
• Forma Maurer-Cartan  - Concepto matemático

Referencias

• RW Sharpe (1996). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Berlín. ISBN 0-387-94732-9.
• Shlomo Sternberg (1964). "Capítulo V, Grupos de Lie. Sección 2, Formas invariantes y álgebra de Lie". Conferencias de geometría diferencial . Prentice Hall. OCLC  529176.