Lema de Cartan

En matemáticas , el lema de Cartan se refiere a una serie de resultados que llevan el nombre de Élie Cartan o de su hijo Henri Cartan :

• En álgebra exterior : ^[1] Supóngase que v ₁ , ..., v _p son elementos linealmente independientes de un espacio vectorial V y w ₁ , ..., w _p son tales que

${\displaystyle v_{1}\wedge w_{1}+\cdots +v_{p}\wedge w_{p}=0}$

en Λ V . Entonces existen escalares h _ij  =  h _ji tales que

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{p}h_{ij}v_{j}.}$

• En varias variables complejas : ^[2] Sea a ₁ < a ₂ < a ₃ < a ₄ y b ₁ < b ₂ y definamos rectángulos en el plano complejo C mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}'&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{1}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}''&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{4},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\end{aligned}}}$

de modo que . Sean K ₂ , ..., K _n dominios simplemente conexos en C y sea ${\displaystyle K_{1}=K_{1}'\cap K_{1}''}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K&=K_{1}\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K'&=K_{1}'\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K''&=K_{1}''\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\end{aligned}}}$

de modo que nuevamente . Supongamos que F ( z ) es una función analítica compleja con valores matriciales en un rectángulo K en C ⁿ tal que F ( z ) es una matriz invertible para cada z en K . Entonces existen funciones analíticas en y en tales que ${\displaystyle K=K'\cap K''}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle F''}$ ${\displaystyle K''}$

${\displaystyle F(z)=F'(z)F''(z)}$

tinta .​

• En teoría del potencial , resultado que estima la medida de Hausdorff del conjunto en el que un potencial newtoniano logarítmico es pequeño. Véase el lema de Cartan (teoría del potencial) .

Referencias

1. * Sternberg, S. (1983). Lecciones de geometría diferencial ((2.ª ed.) ed.). Nueva York: Chelsea Publishing Co. pág. 18. ISBN 0-8218-1385-4.OCLC 43032711  .
2. Robert C. Gunning y Hugo Rossi (1965). Funciones analíticas de varias variables complejas . Prentice-Hall. pág. 199.