Continuo indecomponible

Las primeras cuatro etapas de la construcción del asa del cubo como límite de una serie de intersecciones anidadas

En la topología de conjuntos puntuales , un continuo indescomponible es un continuo que es indescomponible, es decir, que no se puede expresar como la unión de dos de sus subcontinuos propios . En 1910, LEJ Brouwer fue el primero en describir un continuo indescomponible.

Los topólogos han utilizado los continuos indecomponibles como fuente de contraejemplos . También se dan en sistemas dinámicos .

Definiciones

Un continuo es un espacio métrico compacto conexo no vacío . El arco , la n -esfera y el cubo de Hilbert son ejemplos de continuos conexos por trayectorias ; la curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo de un continuo que no está conexo por trayectorias. El círculo de Varsovia es un continuo conexo por trayectorias que no está conexo por trayectorias localmente. Un subcontinuo de un continuo es un subconjunto cerrado y conexo de . Un espacio es no degenerado si no es igual a un único punto. Un continuo es descomponible si existen dos subcontinuos y de tales que y pero . De ello se deduce que y son no degenerados. Un continuo que no es descomponible es un continuo indecomponible . Un continuo en el que cada subcontinuo es indecomponible se dice que es hereditariamente indecomponible . Un componente de un continuo indecomponible es un conjunto maximal en el que dos puntos cualesquiera se encuentran dentro de algún subcontinuo propio de . Un continuo es irreducible entre y si y ningún subcontinuo propio contiene ambos puntos. Para un continuo métrico indecomponible no degenerado , existe un subconjunto incontable tal que es irreducible entre dos puntos cualesquiera de . ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\neq C}$ ${\displaystyle B\neq C}$ ${\displaystyle A\cup B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c,c'\in C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

Historia

Quinta etapa de los Lagos de Wada

En 1910 LEJ Brouwer describió un continuo indecomponible que refutó una conjetura hecha por Arthur Moritz Schoenflies de que, si y son conjuntos abiertos, conexos y disjuntos en tales que , entonces debe ser la unión de dos subconjuntos propios cerrados y conexos. ^[2] Zygmunt Janiszewski describió más continuos indecomponibles de este tipo, incluida una versión del asa del balde. Janiszewski, sin embargo, se centró en la irreducibilidad de estos continuos. En 1917 Kunizo Yoneyama describió los Lagos de Wada (nombrados en honor a Takeo Wada ) cuyo límite común es indecomponible. En la década de 1920 los continuos indecomponibles comenzaron a ser estudiados por la Escuela de Matemáticas de Varsovia en Fundamenta Mathematicae por su propio bien, en lugar de como contraejemplos patológicos. Stefan Mazurkiewicz fue el primero en dar la definición de indecomponibilidad. En 1922, Bronisław Knaster describió el pseudoarco , el primer ejemplo encontrado de un continuo hereditariamente indescomponible. ^[3] ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$ ${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$

Ejemplo de asa de cubo

Los continuos indecomponibles se construyen a menudo como el límite de una secuencia de intersecciones anidadas o (de manera más general) como el límite inverso de una secuencia de continuos. El asa de cubo, o continuo de Brouwer–Janiszewski–Knaster, se considera a menudo el ejemplo más simple de un continuo indecomponible y se puede construir de esa manera (ver arriba a la derecha). Alternativamente, tomemos el conjunto ternario de Cantor proyectado sobre el intervalo del eje en el plano. Sea la familia de semicírculos por encima del eje con centro y con puntos finales en (que es simétrica respecto de este punto). Sea la familia de semicírculos por debajo del eje con centro en el punto medio del intervalo y con puntos finales en . Sea la familia de semicírculos por debajo del eje con centro en el punto medio del intervalo y con puntos finales en . Entonces la unión de todos ellos es el asa de cubo. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2/3,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$

El mango del cubo no admite ninguna transversal de Borel, es decir, no existe ningún conjunto de Borel que contenga exactamente un punto de cada componente.

Propiedades

En cierto sentido, la mayoría de los continuos son indecomponibles. Sea una -celda con métrica , el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de , y el hiperespacio de todos los miembros conexos de equipados con la métrica de Hausdorff definida por . Entonces el conjunto de subcontinuos indecomponibles no degenerados de es denso en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C(M)}$ ${\displaystyle 2^{M}}$ ${\displaystyle H_{d}}$ ${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C(M)}$

En sistemas dinámicos

En 1932, George Birkhoff describió su "notable curva cerrada", un homeomorfismo del anillo que contenía un continuo invariante. Marie Charpentier demostró que este continuo era indescomponible, el primer vínculo entre los continuos indescomponibles y los sistemas dinámicos. El conjunto invariante de una determinada función de herradura de Smale es el asa del balde. Marcy Barge y otros han estudiado extensamente los continuos indescomponibles en sistemas dinámicos. ^[5]

Véase también

• Indecomponibilidad (matemática constructiva)
• Lagos de Wada , tres subconjuntos abiertos del plano cuyo límite es un continuo indescomponible
• Solenoide
• Alfombra de Sierpinski

Referencias

1. Nadler, Sam (2017). Teoría del continuo: una introducción. CRC Press. ISBN 9781351990530.
2. Brouwer, LEJ (1910), "Zur Analysis Situs", Mathematische Annalen , 68 (3): 422–434, doi :10.1007/BF01475781, S2CID  120836681
3. Cook, Howard; Ingram, William T.; Kuperberg, Krystyna; Lelek, Andrew; Minc, Piotr (1995). Continua: Con el libro de problemas de Houston. CRC Press. pág. 103. ISBN 9780824796501.
4. Ingram, WT; Mahavier, William S. (2011). Límites inversos: de los continuos al caos. Springer Science & Business Media. pág. 16. ISBN 9781461417972.
5. Kennedy, Judy (1 de diciembre de 1993). "Cómo surgen los continuos indecomponibles en sistemas dinámicos". Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York . 704 (1): 180–201. Bibcode :1993NYASA.704..180K. doi :10.1111/j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN  1749-6632. S2CID  85143246.

Enlaces externos

• Solecki, S. (2002). "Teoría descriptiva de conjuntos en topología". En Hušek, M.; van Mill, J. (eds.). Avances recientes en topología general II . Elsevier. págs. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
• Casselman, Bill (2014), "Acerca de la portada" (PDF) , Avisos de la AMS , 61 : 610, 676explica la imagen de Brouwer de su continuo indecomponible que aparece en la portada de la revista.