Formulario de conexión

Concepto de matemáticas/física

En matemáticas , y específicamente en geometría diferencial , una forma de conexión es una manera de organizar los datos de una conexión utilizando el lenguaje de marcos móviles y formas diferenciales .

Históricamente, las formas de conexión fueron introducidas por Élie Cartan en la primera mitad del siglo XX como parte de, y una de las principales motivaciones para, su método de mover marcos. La forma de conexión generalmente depende de la elección de un marco de coordenadas , y por lo tanto no es un objeto tensorial . Varias generalizaciones y reinterpretaciones de la forma de conexión se formularon con posterioridad al trabajo inicial de Cartan. En particular, en un fibrado principal , una conexión principal es una reinterpretación natural de la forma de conexión como un objeto tensorial. Por otro lado, la forma de conexión tiene la ventaja de que es una forma diferencial definida en la variedad diferenciable , en lugar de en un fibrado principal abstracto sobre ella. Por lo tanto, a pesar de su falta de tensorialidad, las formas de conexión continúan siendo utilizadas debido a la relativa facilidad de realizar cálculos con ellas. ^[1] En física , las formas de conexión también se utilizan ampliamente en el contexto de la teoría de calibre , a través de la derivada covariante de calibre .

Una forma de conexión asocia a cada base de un fibrado vectorial una matriz de formas diferenciales. La forma de conexión no es tensorial porque bajo un cambio de base , la forma de conexión se transforma de una manera que involucra la derivada exterior de las funciones de transición , de manera muy similar a los símbolos de Christoffel para la conexión de Levi-Civita . El invariante tensorial principal de una forma de conexión es su forma de curvatura . En presencia de una forma de soldadura que identifica el fibrado vectorial con el fibrado tangente , hay un invariante adicional: la forma de torsión . En muchos casos, las formas de conexión se consideran en fibrados vectoriales con estructura adicional: la de un fibrado de fibras con un grupo de estructura .

Paquetes de vectores

Marcos en un paquete vectorial

Sea un fibrado vectorial de dimensión de fibra sobre una variedad diferenciable . Un sistema local para es una base ordenada de secciones locales de . Siempre es posible construir un sistema local, ya que los fibrados vectoriales siempre se definen en términos de trivializaciones locales , en analogía con el atlas de una variedad. Es decir, dado cualquier punto sobre la variedad base , existe un entorno abierto de para el cual el fibrado vectorial sobre es localmente trivial, es decir, isomorfo a proyectando a . La estructura del espacio vectorial sobre puede, por tanto, extenderse a toda la trivialización local, y una base sobre puede extenderse también; esto define el sistema local. (Aquí se utilizan los números reales, aunque gran parte del desarrollo puede extenderse a módulos sobre anillos en general, y a espacios vectoriales sobre números complejos en particular). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sea un marco local en . Este marco se puede utilizar para expresar localmente cualquier sección de . Por ejemplo, supongamos que es una sección local, definida sobre el mismo conjunto abierto que el marco . Entonces ${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{\alpha })_{\alpha =1,2,\dots ,k}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbb {e} }$

${\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$

donde denota los componentes de en el marco . Como ecuación matricial, esto se lee ${\displaystyle \xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

En la relatividad general , estos campos de marcos se denominan tétradas . La tétrada relaciona específicamente el marco local con un sistema de coordenadas explícito en la variedad base (el sistema de coordenadas que establece el atlas). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Conexiones exteriores

Una conexión en E es un tipo de operador diferencial

${\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}M}$

donde Γ denota el haz de secciones locales de un fibrado vectorial, y Ω ¹ M es el fibrado de 1-formas diferenciales en M . Para que D sea una conexión, debe estar correctamente acoplada a la derivada exterior . Específicamente, si v es una sección local de E , y f es una función suave, entonces

${\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}$

donde df es la derivada exterior de f .

A veces es conveniente extender la definición de D a formas arbitrarias con valores E , considerándola así como un operador diferencial en el producto tensorial de E con el álgebra exterior completa de formas diferenciales. Dada una conexión exterior D que satisface esta propiedad de compatibilidad, existe una extensión única de D :

${\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)}$

de tal manera que

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }$

donde v es homogénea de grado deg v . En otras palabras, D es una derivación sobre el haz de módulos graduados Γ( E ⊗ Ω ^* M ).

Formularios de conexión

La forma de conexión surge al aplicar la conexión exterior a un marco particular e . Al aplicar la conexión exterior a e _α , es la única matriz k × k ( ω _α ^β ) de formas unitarias en M tal que

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}$

En términos de la forma de conexión, ahora se puede expresar la conexión exterior de cualquier sección de E. Por ejemplo, supongamos que ξ = Σ _α e _α ξ ^α . Entonces

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

Tomando componentes de ambos lados,

${\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}$

donde se entiende que d y ω se refieren a la derivada componente a componente con respecto al sistema e , y a una matriz de 1-formas, respectivamente, que actúa sobre las componentes de ξ . Por el contrario, una matriz de 1-formas ω es a priori suficiente para determinar completamente la conexión localmente en el conjunto abierto sobre el que se define la base de secciones e .

Cambio de marco

Para extender ω a un objeto global adecuado, es necesario examinar cómo se comporta cuando se elige una elección diferente de secciones básicas de E. Escriba ω _α ^β = ω _α ^β ( e ) para indicar la dependencia de la elección de e .

Supongamos que e ′ es una elección diferente de base local. Entonces existe una matriz k × k invertible de funciones g tal que

${\displaystyle {\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

Aplicando la conexión exterior a ambos lados se obtiene la ley de transformación para ω :

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.}$

Obsérvese en particular que ω no se transforma de manera tensorial , ya que la regla para pasar de un marco a otro involucra las derivadas de la matriz de transición g .

Formularios de conexión global

Si { U _p } es una cubierta abierta de M , y cada U _p está equipado con una trivialización e _p de E , entonces es posible definir una forma de conexión global en términos de los datos de parcheo entre las formas de conexión locales en las regiones de superposición. En detalle, una forma de conexión en M es un sistema de matrices ω ( e _p ) de 1-formas definidas en cada U _p que satisfacen la siguiente condición de compatibilidad

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}$

Esta condición de compatibilidad garantiza en particular que la conexión exterior de una sección de E , cuando se considera de manera abstracta como una sección de E ⊗ Ω ¹ M , no depende de la elección de la sección de base utilizada para definir la conexión.

Curvatura

La curvatura biforme de una forma de conexión en E se define por

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}$

A diferencia de la forma de conexión, la curvatura se comporta tensorialmente bajo un cambio de sistema, lo que se puede comprobar directamente utilizando el lema de Poincaré . En concreto, si e → e g es un cambio de sistema, entonces la forma de curvatura bidimensional se transforma mediante

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}$

Una interpretación de esta ley de transformación es la siguiente. Sea e ^* la base dual correspondiente al marco e . Entonces la forma 2

${\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}$

es independiente de la elección del marco. En particular, Ω es una forma bidimensional con valores vectoriales en M con valores en el anillo de endomorfismo Hom( E , E ). Simbólicamente,

${\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}$

En términos de la conexión exterior D , el endomorfismo de curvatura está dado por

${\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

para v ∈ E (podemos extender v a una sección local para definir esta expresión). Por lo tanto, la curvatura mide la falla de la secuencia.

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{1}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{n}T^{*}(M))}$

ser un complejo de cadena (en el sentido de la cohomología de De Rham ).

Soldadura y torsión

Supóngase que la dimensión de la fibra k de E es igual a la dimensión de la variedad M . En este caso, el fibrado vectorial E a veces está equipado con un dato adicional además de su conexión: una forma de soldadura . Una forma de soldadura es una forma única de valor vectorial definida globalmente θ ∈ Ω ¹ ( M , E ) tal que la función

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}$

es un isomorfismo lineal para todo x ∈ M . Si se da una forma de soldadura, entonces es posible definir la torsión de la conexión (en términos de la conexión exterior) como

${\displaystyle \Theta =D\theta .\,}$

La torsión Θ es una forma 2 con valor E en M.

Una forma de soldadura y la torsión asociada pueden describirse en términos de un marco local e de E . Si θ es una forma de soldadura, entonces se descompone en los componentes del marco

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

Los componentes de la torsión son entonces

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Al igual que la curvatura, se puede demostrar que Θ se comporta como un tensor contravariante bajo un cambio de marco:

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

La torsión independiente del marco también se puede recuperar de los componentes del marco:

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}$

Identidades de Bianchi

Las identidades de Bianchi relacionan la torsión con la curvatura. La primera identidad de Bianchi establece que

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

Mientras que la segunda identidad de Bianchi afirma que

${\displaystyle \,D\Omega =0.}$

Ejemplo: la conexión Levi-Civita

Como ejemplo, supongamos que M tiene una métrica de Riemann . Si uno tiene un fibrado vectorial E sobre M , entonces la métrica puede extenderse a todo el fibrado vectorial, como la métrica del fibrado . Uno puede entonces definir una conexión que sea compatible con esta métrica del fibrado, esta es la conexión métrica . Para el caso especial de que E sea el fibrado tangente TM , la conexión métrica se llama conexión de Riemann . Dada una conexión de Riemann, uno siempre puede encontrar una conexión única, equivalente y libre de torsión . Esta es la conexión de Levi-Civita sobre el fibrado tangente TM de M. ^{[2] [3]}

Un marco local sobre el fibrado tangente es una lista ordenada de campos vectoriales e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , donde n = dim M , definidos sobre un subconjunto abierto de M que son linealmente independientes en cada punto de su dominio. Los símbolos de Christoffel definen la conexión de Levi-Civita mediante

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

Si θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n }, denota la base dual del fibrado cotangente , tal que θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j (el delta de Kronecker ), entonces la forma de conexión es

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}$

En términos de la forma de conexión, la conexión exterior en un campo vectorial v = Σ _i e _i v ⁱ está dada por

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

Se puede recuperar la conexión Levi-Civita, en el sentido usual, a partir de esto contrayendo con e _i :

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

Curvatura

La curvatura 2-forma de la conexión de Levi-Civita es la matriz (Ω _i ^j ) dada por

${\displaystyle \Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).}$

Para simplificar, supongamos que el marco e es holonómico , de modo que dθ ⁱ = 0. [ ^4] Entonces, empleando ahora la convención de suma sobre índices repetidos,

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}$

donde R es el tensor de curvatura de Riemann .

Torsión

La conexión de Levi-Civita se caracteriza por ser la única conexión métrica en el fibrado tangente con torsión cero. Para describir la torsión, nótese que el fibrado vectorial E es el fibrado tangente. Este lleva una forma de soldadura canónica (a veces llamada la forma única canónica , especialmente en el contexto de la mecánica clásica ) que es la sección θ de Hom(T M , T M ) = T ^∗ M ⊗ T M correspondiente al endomorfismo identidad de los espacios tangentes. En el marco e , la forma de soldadura es {{{1}}} , donde nuevamente θ ⁱ es la base dual.

La torsión de la conexión se da por Θ = Dθ , o en términos de los componentes del marco de la forma de soldadura por

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.}$

Suponiendo nuevamente por simplicidad que e es holonómico, esta expresión se reduce a

${\displaystyle \Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}}$,

que se desvanece si y sólo si Γ ⁱ _kj es simétrico en sus índices inferiores.

Dada una conexión métrica con torsión, siempre se puede encontrar una única conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita. La diferencia entre una conexión de Riemann y su conexión de Levi-Civita asociada es el tensor de contorsión .

Grupos de estructura

Se puede construir un tipo más específico de forma de conexión cuando el fibrado vectorial E lleva un grupo de estructura . Esto equivale a una clase preferida de marcos e en E , que están relacionados por un grupo de Lie G . Por ejemplo, en presencia de una métrica en E , se trabaja con marcos que forman una base ortonormal en cada punto. El grupo de estructura es entonces el grupo ortogonal , ya que este grupo preserva la ortonormalidad de los marcos. Otros ejemplos incluyen:

• Los marcos usuales, considerados en la sección anterior, tienen un grupo estructural GL( k ) donde k es la dimensión de la fibra de E .
• Fibrado tangente holomorfo de una variedad compleja (o casi compleja ). ^[5] Aquí el grupo de estructura es GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). ^[6] En caso de que se dé una métrica hermítica , entonces el grupo de estructura se reduce al grupo unitario que actúa sobre marcos unitarios. ^[5]
• Espinores en una variedad dotada de una estructura de espín . Los marcos son unitarios con respecto a un producto interno invariante en el espacio de espín, y el grupo se reduce al grupo de espín .
• Fibrados tangentes holomorfos en variedades CR . ^[7]

En general, sea E un fibrado vectorial dado de dimensión de fibra k y G ⊂ GL( k ) un subgrupo de Lie dado del grupo lineal general de R ^k . Si ( e _α ) es un marco local de E , entonces una función matricial ( g _i ^j ): M → G puede actuar sobre e _α para producir un nuevo marco

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

Dos de estos marcos están relacionados con G. De manera informal, el fibrado vectorial E tiene la estructura de un fibrado G si se especifica una clase preferida de marcos, todos los cuales están relacionados localmente con G entre sí. En términos formales, E es un fibrado con un grupo de estructura G cuya fibra típica es R ^k con la acción natural de G como un subgrupo de GL( k ).

Conexiones compatibles

Una conexión es compatible con la estructura de un haz G en E siempre que los mapas de transporte paralelos asociados siempre envíen un marco G a otro. Formalmente, a lo largo de una curva γ, lo siguiente debe cumplirse localmente (es decir, para valores suficientemente pequeños de t ):

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}$

para alguna matriz g _α ^β (que también puede depender de t ). La diferenciación en t = 0 da

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}$

donde los coeficientes ω _α ^β están en el álgebra de Lie g del grupo de Lie G .

Con esta observación, la forma de conexión ω _α ^β se define por

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}$

es compatible con la estructura si la matriz de formas unitarias ω _α ^β ( e ) toma sus valores en g .

La forma de curvatura de una conexión compatible es, además, una forma bidimensional con valor g .

Cambio de marco

Bajo un cambio de marco

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}$

donde g es una función de valor G definida en un subconjunto abierto de M , la forma de conexión se transforma mediante

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

O bien, utilizando productos matriciales:

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

Para interpretar cada uno de estos términos, recuerde que g  : M → G es una función de valor G (definida localmente). Con esto en mente,

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}$

donde ω _g es la forma de Maurer-Cartan para el grupo G , aquí retrotraída hasta M a lo largo de la función g , y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie.

Paquetes principales

La forma de conexión, tal como se ha presentado hasta ahora, depende de una elección particular de marco. En la primera definición, el marco es simplemente una base local de secciones. A cada marco se le da una forma de conexión con una ley de transformación para pasar de un marco a otro. En la segunda definición, los propios marcos llevan una estructura adicional proporcionada por un grupo de Lie, y los cambios de marco están restringidos a aquellos que toman sus valores en él. El lenguaje de los fibrados principales, iniciado por Charles Ehresmann en la década de 1940, proporciona una manera de organizar estas muchas formas de conexión y las leyes de transformación que las conectan en una única forma intrínseca con una única regla para la transformación. La desventaja de este enfoque es que las formas ya no se definen en la variedad misma, sino en un fibrado principal más grande.

La conexión principal para un formulario de conexión

Supóngase que E → M es un fibrado vectorial con grupo de estructura G . Sea { U } una cubierta abierta de M , junto con G -marcos en cada U , denotados por e _U . Estos están relacionados en las intersecciones de conjuntos abiertos superpuestos por

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}$

para alguna función h _{UV de valor} G definida en U ∩ V .

Sea F _G E el conjunto de todos los G -marcos tomados sobre cada punto de M . Este es un G -fibrado principal sobre M . En detalle, utilizando el hecho de que los G -marcos están todos G -relacionados, F _G E se puede realizar en términos de pegar datos entre los conjuntos de la cubierta abierta:

${\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }$

donde la relación de equivalencia se define por ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

En F _G E , defina una conexión G principal como sigue, especificando una forma única con valor g en cada producto U × G , que respeta la relación de equivalencia en las regiones de superposición. Primero sea

${\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}$

sean los mapas de proyección. Ahora, para un punto ( x , g ) ∈ U × G , establezca

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

La 1-forma ω construida de esta manera respeta las transiciones entre conjuntos superpuestos y, por lo tanto, desciende para dar una 1-forma definida globalmente en el fibrado principal F _G E . Se puede demostrar que ω es una conexión principal en el sentido de que reproduce los generadores de la acción G correcta en F _G E , y entrelaza de manera equivariante la acción correcta en T(F _G E ) con la representación adjunta de G .

Formas de conexión asociadas a una conexión principal

Por el contrario, una conexión G principal ω en un fibrado G principal P → M da lugar a una colección de formas de conexión en M . Supóngase que e  : M → P es una sección local de P . Entonces, el retroceso de ω a lo largo de e define una forma única de valor g en M :

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}$

Cambiando los marcos por una función g de valor G , se ve que ω( e ) se transforma de la manera requerida utilizando la regla de Leibniz y la adjunción:

${\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }$

donde X es un vector en M , y d denota el empuje hacia adelante .

Véase también

• Conexión Ehresmann
• Conexión Cartan
• Conexión afín
• Forma de curvatura

Notas

1. Griffiths y Harris (1978), Wells (1980), Spivak (1999a)
2. Véase Jost (2011), capítulo 4, para un relato completo de la conexión Levi-Civita desde este punto de vista.
3. Véase Spivak (1999a), II.7 para una descripción completa de la conexión Levi-Civita desde este punto de vista.
4. En un marco no holonómico, la expresión de la curvatura se complica aún más por el hecho de que deben tenerse en cuenta las derivadas dθ ^{i .}
5. Wells (1973).
6. Véase, por ejemplo, Kobayashi y Nomizu, Volumen II.
7. Véase Chern y Moser.

Referencias

• Chern, S.-S., Temas de geometría diferencial , Instituto de Estudios Avanzados, notas de conferencias mimeografiadas, 1951.
• Chern SS; Moser, JK (1974), "Hipersuperficies reales en variedades complejas", Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10.1007/BF02392146
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978), Principios de geometría algebraica , John Wiley and sons, ISBN 0-471-05059-8
• Jost, Jürgen (2011), Geometría riemanniana y análisis geométrico (PDF) , Universitext (sexta edición), Springer, Heidelberg, doi :10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, Sr.  2829653
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva edición), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial, vol. 2 (nueva edición), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
• Spivak, Michael (1999a), Una introducción completa a la geometría diferencial (volumen 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Spivak, Michael (1999b), Una introducción completa a la geometría diferencial (volumen 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Wells, RO (1973), Análisis diferencial en variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Wells, RO (1980), Análisis diferencial en variedades complejas , Prentice–Hall