Déficit esperado

Medida del riesgo financiero

El déficit esperado ( ES , por sus siglas en inglés ) es una medida de riesgo , un concepto utilizado en el campo de la medición del riesgo financiero para evaluar el riesgo de mercado o el riesgo crediticio de una cartera. El "déficit esperado a nivel q%" es el rendimiento esperado de la cartera en el peor de los casos. El ES es una alternativa al valor en riesgo que es más sensible a la forma de la cola de la distribución de pérdidas. ${\displaystyle q\%}$

El déficit esperado también se denomina valor condicional en riesgo ( CVaR ), ^[1] valor promedio en riesgo ( AVaR ), pérdida de cola esperada ( ETL ) y supercuantil . ^[2]

ES estima el riesgo de una inversión de manera conservadora, centrándose en los resultados menos rentables. Para valores altos de ignora las posibilidades más rentables pero improbables, mientras que para valores pequeños de se centra en las peores pérdidas. Por otro lado, a diferencia de la pérdida máxima descontada , incluso para valores más bajos de la pérdida esperada no considera solo el resultado más catastrófico. Un valor de que se utiliza a menudo en la práctica es el 5%. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

El déficit esperado se considera una medida de riesgo más útil que el VaR porque es una medida espectral coherente del riesgo de la cartera financiera. Se calcula para un nivel de cuartil determinado y se define como la pérdida media del valor de la cartera dado que se produce una pérdida en el cuartil o por debajo de él . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Definición formal

Si (un L p ) es el pago de una cartera en algún momento futuro y luego definimos el déficit esperado como ${\displaystyle X\in L^{p}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }$

donde es el valor en riesgo . Esto se puede escribir de forma equivalente como ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

donde es el cuartil inferior y es la función indicadora . ^[3] Nótese que el segundo término se desvanece para las variables aleatorias con funciones de distribución continua. ${\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

La doble representación es

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

donde es el conjunto de medidas de probabilidad que son absolutamente continuas a la medida física tales que casi con seguridad . ^[4] Nótese que es la derivada de Radon-Nikodym de con respecto a . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

El déficit esperado se puede generalizar a una clase general de medidas de riesgo coherentes en espacios ( espacio Lp ) con una caracterización dual correspondiente en el espacio dual correspondiente . El dominio se puede extender para corazones de Orlicz más generales. ^[5] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$

Si la distribución subyacente para es una distribución continua, entonces el déficit esperado es equivalente a la expectativa condicional de cola definida por . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$

De manera informal y no rigurosa, esta ecuación equivale a decir "en caso de pérdidas tan graves que ocurren sólo un 1 por ciento de las veces, ¿cuál es nuestra pérdida promedio?".

El déficit esperado también puede escribirse como una medida de riesgo de distorsión dada por la función de distorsión.

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^{[7] [8]}

Ejemplos

Ejemplo 1. Si creemos que nuestra pérdida promedio en el 5% peor de los resultados posibles para nuestra cartera es de 1000 EUR, entonces podríamos decir que nuestro déficit esperado es de 1000 EUR para el extremo del 5%.

Ejemplo 2. Consideremos una cartera que tendrá los siguientes valores posibles al final del período:

Supongamos ahora que pagamos 100 al principio del período por esta cartera. Entonces, la ganancia en cada caso es ( valor final -100) o:

A partir de esta tabla, calculemos el déficit esperado para algunos valores de : ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

Para ver cómo se calcularon estos valores, considere el cálculo de , la expectativa en el peor 5% de los casos. Estos casos pertenecen a (son un subconjunto de) la fila 1 en la tabla de ganancias, que tienen una ganancia de −100 (pérdida total de los 100 invertidos). La ganancia esperada para estos casos es −100. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}$

Ahora, consideremos el cálculo de , la expectativa en los peores 20 casos de 100. Estos casos son los siguientes: 10 casos de la fila uno y 10 casos de la fila dos (nótese que 10+10 es igual a los 20 casos deseados). Para la fila 1 hay una ganancia de -100, mientras que para la fila 2 una ganancia de -20. Usando la fórmula del valor esperado obtenemos ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}$

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}$

De manera similar, para cualquier valor de . Seleccionamos tantas filas comenzando desde arriba como sean necesarias para dar una probabilidad acumulada de y luego calculamos una expectativa sobre esos casos. En general, la última fila seleccionada puede no usarse en su totalidad (por ejemplo, al calcular usamos solo 10 de los 30 casos por cada 100 proporcionados por la fila 2). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}$

Como último ejemplo, calcule . Esta es la expectativa para todos los casos, o ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}$

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

A continuación se muestra el valor en riesgo (VaR) a modo de comparación.

Propiedades

El déficit esperado aumenta a medida que disminuye. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

El déficit esperado del cuartil 100% es igual al negativo del valor esperado de la cartera. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}$

Para una cartera determinada, el déficit esperado es mayor o igual al valor en riesgo en el mismo nivel. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

Optimización del déficit esperado

Se sabe que el déficit esperado, en su forma estándar, conduce a un problema de optimización generalmente no convexo. Sin embargo, es posible transformar el problema en un programa lineal y encontrar la solución global. ^[9] Esta propiedad hace que el déficit esperado sea una piedra angular de las alternativas a la optimización de cartera de media-varianza , que dan cuenta de los momentos superiores (por ejemplo, asimetría y curtosis) de una distribución de retorno.

Supongamos que queremos minimizar el déficit esperado de una cartera. La contribución clave de Rockafellar y Uryasev en su artículo de 2000 es introducir la función auxiliar para el déficit esperado: Donde y es una función de pérdida para un conjunto de ponderaciones de cartera que se aplicará a los rendimientos. Rockafellar/Uryasev demostraron que es convexa con respecto a y es equivalente al déficit esperado en el punto mínimo. Para calcular numéricamente el déficit esperado para un conjunto de rendimientos de cartera, es necesario generar simulaciones de los componentes de la cartera; esto se hace a menudo utilizando cópulas . Con estas simulaciones en la mano, la función auxiliar puede aproximarse mediante: Esto es equivalente a la formulación: Finalmente, la elección de una función de pérdida lineal convierte el problema de optimización en un programa lineal. Utilizando métodos estándar, es fácil encontrar la cartera que minimiza el déficit esperado. ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ $${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx}$$ ${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ ${\displaystyle \ell (w,x)}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}$$ $${\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0}$$ ${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$

Fórmulas para distribuciones de probabilidad continuas

Existen fórmulas cerradas para calcular el déficit esperado cuando el resultado de una cartera o la pérdida correspondiente sigue una distribución continua específica. En el primer caso, el déficit esperado corresponde al número opuesto de la expectativa condicional de cola izquierda que se muestra a continuación : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=-X}$ ${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

Los valores típicos en este caso son 5% y 1%. ${\textstyle \alpha }$

Para aplicaciones de ingeniería o actuariales es más común considerar la distribución de pérdidas , el déficit esperado en este caso corresponde a la expectativa condicional de cola derecha anterior y los valores típicos de son 95% y 99%: ${\displaystyle L=-X}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

Dado que algunas de las fórmulas siguientes se derivaron para el caso de cola izquierda y otras para el caso de cola derecha, las siguientes conciliaciones pueden ser útiles:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

Distribución normal

Si el resultado de una cartera sigue una distribución normal (gaussiana) con función de probabilidad, entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función de probabilidad de flujo normal estándar, es la función de distribución acumulativa normal estándar y es el cuantil normal estándar. ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución normal, el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Distribución t de Student generalizada

Si el resultado de una cartera sigue la distribución t de Student generalizada con función de probabilidad , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función de probabilidad de la distribución t estándar, es la función de distribución acumulada de la distribución t estándar, por lo que es el cuantil de la distribución t estándar. ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución t de Student generalizada, el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Distribución de Laplace

Si el pago de una cartera sigue la distribución de Laplace con la función de densidad de probabilidad (pdf) ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

y el cdf

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

entonces el déficit esperado es igual a para . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Laplace, el déficit esperado es igual a ^[11] ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$

Distribución logística

Si el resultado de una cartera sigue la distribución logística con pdf y cdf , entonces el déficit esperado es igual a . ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ ${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución logística , el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

Distribución exponencial

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución exponencial con pdf y cdf entonces el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

Distribución de Pareto

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Pareto con pdf y cdf entonces el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$

Distribución generalizada de Pareto (DGP)

Si la pérdida de una cartera sigue al GPD con pdf ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$

y el cdf

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

entonces el déficit esperado es igual a

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

y el VaR es igual a ^[11]

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

Distribución de Weibull

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Weibull con pdf y cdf , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función gamma incompleta superior . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

Distribución generalizada de valores extremos (GEV)

Si el resultado de una cartera sigue el GEV con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a y el VaR es igual a , donde es la función gamma incompleta superior , es la función integral logarítmica . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ ${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

Si la pérdida de una cartera sigue al GEV , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función gamma incompleta inferior , es la constante de Euler-Mascheroni . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle y}$

Distribución secante hiperbólica generalizada (GHS)

Si el pago de una cartera sigue la distribución GHS con pdf y cdf , entonces el déficit esperado es igual a , donde es el dilogaritmo y es la unidad imaginaria. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Distribución SU de Johnson

Si el resultado de una cartera sigue la distribución SU de Johnson con la función de distribución acumulada (cdf) , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \Phi }$

Distribución de rebabas tipo XII

Si el resultado de una cartera sigue la distribución Burr tipo XII, la función de probabilidad de transferencia (pdf) y la función de distribución de confianza (cdf) , el déficit esperado es igual a , donde es la función hipergeométrica . Alternativamente, . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$ ${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]}$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)}$

Distribución de Dagum

Si el pago de una cartera sigue la distribución Dagum con pdf y cdf , el déficit esperado es igual a , donde es la función hipergeométrica . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$ ${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Distribución lognormal

Si el resultado de una cartera sigue una distribución lognormal , es decir, la variable aleatoria sigue una distribución normal con función de densidad de probabilidad , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función de distribución acumulada normal estándar, por lo que es el cuartil normal estándar. ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Distribución logístico-logística

Si el resultado de una cartera sigue una distribución log-logística , es decir, la variable aleatoria sigue una distribución logística con función de densidad de probabilidad , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función beta incompleta regularizada , . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$ ${\displaystyle I_{\alpha }}$ ${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

Como la función beta incompleta se define sólo para argumentos positivos, para un caso más genérico el déficit esperado se puede expresar con la función hipergeométrica : . ^[14] ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

Si la pérdida de una cartera sigue una distribución log-logística con pdf y cdf , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función beta incompleta . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$ ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]}$ ${\displaystyle B_{\alpha }}$

Distribución log-Laplace

Si el resultado de una cartera sigue una distribución log-Laplace , es decir, la variable aleatoria sigue la distribución de Laplace (pdf) , entonces el déficit esperado es igual a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$^[14]

Distribución hiperbólica secante logarítmica generalizada (log-GHS)

Si el pago de una cartera sigue una distribución log-GHS, es decir, la variable aleatoria sigue la distribución GHS con pdf , entonces el déficit esperado es igual a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$

donde es la función hipergeométrica . ^[14] ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Déficit dinámico esperado

La versión condicional del déficit esperado en el momento t se define por

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

donde . ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}$

Esta no es una medida de riesgo consistente en el tiempo . La versión consistente en el tiempo viene dada por

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

de tal manera que ^[17]

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$

Véase también

• Medida de riesgo coherente
• EMP para programación estocástica : tecnología de solución para problemas de optimización que involucran ES y VaR
• El valor entrópico en riesgo
• Valor en riesgo

Se pueden encontrar métodos de estimación estadística de VaR y ES en Embrechts et al. ^[18] y Novak. ^[19] Al pronosticar VaR y ES, u optimizar carteras para minimizar el riesgo de cola, es importante tener en cuenta la dependencia asimétrica y las no normalidades en la distribución de los rendimientos de las acciones, como la autorregresión, la volatilidad asimétrica, la asimetría y la curtosis. ^[20]

Referencias

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Enlaces externos

• Rockafellar, Uryasev: Optimización del valor en riesgo condicional, 2000.
• C. Acerbi y D. Tasche: Sobre la coherencia del déficit esperado, 2002.
• Rockafellar, Uryasev: Valor en riesgo condicional para distribuciones de pérdidas generales, 2002.
• Acerbi: Medidas espectrales del riesgo, 2005
• Carteras óptimas Phi-Alpha y gestión de riesgos extremos, Best of Wilmott, 2003
• "Medidas coherentes de riesgo", Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber y David Heath