Cópula (teoría de la probabilidad)

Distribución estadística de dependencia entre variables aleatorias.

En teoría de probabilidad y estadística , una cópula es una función de distribución acumulativa multivariada para la cual la distribución de probabilidad marginal de cada variable es uniforme en el intervalo [0, 1]. Las cópulas se utilizan para describir/modelar la dependencia (intercorrelación) entre variables aleatorias . ^[1] Su nombre, introducido por el matemático aplicado Abe Sklar en 1959, proviene del latín "vínculo" o "vínculo", similar pero no relacionado con las cópulas gramaticales en lingüística . Las cópulas se han utilizado ampliamente en finanzas cuantitativas para modelar y minimizar el riesgo de cola ^[2] y aplicaciones de optimización de carteras . ^[3]

El teorema de Sklar establece que cualquier distribución conjunta multivariada se puede escribir en términos de funciones de distribución marginal univariadas y una cópula que describe la estructura de dependencia entre las variables.

Las cópulas son populares en aplicaciones estadísticas de alta dimensión, ya que permiten modelar y estimar fácilmente la distribución de vectores aleatorios estimando marginales y cópulas por separado. Hay muchas familias de cópulas paramétricas disponibles, que normalmente tienen parámetros que controlan la fuerza de la dependencia. A continuación se describen algunos modelos de cópula paramétrica populares.

Las cópulas bidimensionales se conocen en algunas otras áreas de las matemáticas con el nombre de permutones y medidas doblemente estocásticas .

Definición matemática

Considere un vector aleatorio . Supongamos que sus marginales son continuas, es decir, las CDF marginales son funciones continuas . Al aplicar la transformación integral de probabilidad a cada componente, el vector aleatorio ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]}$

${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)}$

tiene marginales que están distribuidos uniformemente en el intervalo [0, 1].

La cópula de se define como la función de distribución acumulativa conjunta de : ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].}$

La cópula C contiene toda la información sobre la estructura de dependencia entre los componentes de mientras que las funciones de distribución acumulativa marginal contienen toda la información sobre las distribuciones marginales de . ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

El inverso de estos pasos se puede utilizar para generar muestras pseudoaleatorias a partir de clases generales de distribuciones de probabilidad multivariadas . Es decir, dado un procedimiento para generar una muestra a partir de la función de cópula, la muestra requerida se puede construir como ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).}$

Es casi seguro que las inversas generalizadas no plantean problemas , ya que se supuso que eran continuas. Además, la fórmula anterior para la función cópula se puede reescribir como: ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].}$

Definición

En términos probabilísticos , es una cópula d -dimensional si C es una función de distribución acumulativa conjunta de un vector aleatorio d -dimensional en el cubo unitario con marginales uniformes . ^[4] ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$

En términos analíticos , es una cópula d -dimensional si ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$, la cópula es cero si cualquiera de los argumentos es cero,
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$, la cópula es igual a u si un argumento es u y todos los demás 1,
• C es d -no decreciente, es decir, para cada hiperrectángulo el volumen C de B no es negativo: ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

donde el . ${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$

Por ejemplo, en el caso bivariado, es una cópula bivariada si , y para todos y . ${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$ ${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$ ${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$

teorema de sklar

Gráfico de densidad y contorno de una distribución gaussiana bivariada

Gráfico de densidad y contorno de dos marginales normales unidos con una cópula de Gumbel

El teorema de Sklar, que lleva el nombre de Abe Sklar , proporciona la base teórica para la aplicación de las cópulas. ^{[5] [6]} El teorema de Sklar establece que toda función de distribución acumulativa multivariada

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

de un vector aleatorio se puede expresar en términos de sus marginales y una cópula . En efecto: ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

Si la distribución multivariada tiene una densidad , y si esta densidad está disponible, también se cumple que ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

¿ Dónde está la densidad de la cópula? ${\displaystyle c}$

El teorema también establece que, dada , la cópula es única en la que está el producto cartesiano de los rangos de las cdf marginales. Esto implica que la cópula es única si los marginales son continuos. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Lo contrario también es cierto: dada una cópula y marginales , se define una función de distribución acumulativa d -dimensional con distribuciones marginales . ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$ ${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$

Condición de estacionariedad

Las cópulas funcionan principalmente cuando las series temporales son estacionarias ^[7] y continuas. ^[8] Por lo tanto, un paso previo al procesamiento muy importante es verificar la autocorrelación , la tendencia y la estacionalidad dentro de las series de tiempo.

Cuando las series de tiempo están autocorrelacionadas, pueden generar una dependencia inexistente entre conjuntos de variables y dar como resultado una estructura de dependencia de cópula incorrecta. ^[9]

Límites de la cópula de Fréchet-Hoeffding

Gráficas de los límites de la cópula bivariada de Fréchet-Hoeffding y de la cópula de independencia (en el medio).

El teorema de Fréchet-Hoeffding (después de Maurice René Fréchet y Wassily Hoeffding ^[10] ) establece que para cualquier cópula y cualquiera se cumplen los siguientes límites: ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

La función W se llama límite inferior de Fréchet-Hoeffding y se define como

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

La función M se llama límite superior de Fréchet-Hoeffding y se define como

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

El límite superior es nítido: M es siempre una cópula, corresponde a variables aleatorias comonotonas .

El límite inferior es puntual, en el sentido de que para u fijo , hay una cópula tal que . Sin embargo, W es una cópula sólo en dos dimensiones, en cuyo caso corresponde a variables aleatorias contramonótonas. ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}$

En dos dimensiones, es decir, el caso bivariado, el teorema de Fréchet-Hoeffding establece

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}$

Familias de cópulas

Se han descrito varias familias de cópulas.

cópula gaussiana

Distribución acumulada y de densidad de la cópula gaussiana con ρ  = 0,4

La cópula gaussiana es una distribución sobre el hipercubo unitario . Se construye a partir de una distribución normal multivariada utilizando la transformación integral de probabilidad . ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Para una matriz de correlación dada , la cópula gaussiana con matriz de parámetros se puede escribir como ${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

donde es la función de distribución acumulativa inversa de una normal estándar y es la función de distribución acumulativa conjunta de una distribución normal multivariada con vector medio cero y matriz de covarianza igual a la matriz de correlación . Si bien no existe una fórmula analítica simple para la función de cópula, puede tener un límite superior o inferior y aproximarse mediante integración numérica. ^{[11] [12]} La densidad se puede escribir como ^[13] ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),}$

¿ Dónde está la matriz identidad? ${\displaystyle \mathbf {I} }$

cópulas de Arquímedes

Las cópulas de Arquímedes son una clase asociativa de cópulas. Las cópulas de Arquímedes más comunes admiten una fórmula explícita, algo que no es posible, por ejemplo, en la cópula gaussiana. En la práctica, las cópulas de Arquímedes son populares porque permiten modelar la dependencia en dimensiones arbitrariamente altas con un solo parámetro, que rige la fuerza de la dependencia.

Una cópula C se llama Arquímedes si admite la representación ^[14]

${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{[-1]}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)}$

donde es una función continua, estrictamente decreciente y convexa tal que , es un parámetro dentro de algún espacio de parámetros , y es la llamada función generadora y su pseudoinversa está definida por ${\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}$ ${\displaystyle \psi (1;\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{[-1]}}$

${\displaystyle \psi ^{[-1]}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.}$

Además, la fórmula anterior para C produce una cópula si y sólo si es d-monótono en . ^[15] Es decir, si es multiplicable por tiempos y las derivadas satisfacen ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle d-2}$

${\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}$

para todos y y no es creciente y es convexo . ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2}$ ${\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )}$

Cópulas de Arquímedes más importantes

En las siguientes tablas se destacan las cópulas bivariadas de Arquímedes más destacadas, con su correspondiente generador. No todos son completamente monótonos , es decir, d -monótonos para todos o d -monótonos sólo para algunos. ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$

Expectativas para los modelos de cópula y la integración de Monte Carlo.

En aplicaciones estadísticas, muchos problemas se pueden formular de la siguiente manera. Uno está interesado en la expectativa de una función de respuesta aplicada a algún vector aleatorio . ^[18] Si denotamos la CDF de este vector aleatorio con , la cantidad de interés se puede escribir como ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

Si está dado por un modelo de cópula, es decir, ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

esta expectativa se puede reescribir como

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

En caso de que la cópula C sea absolutamente continua , es decir, C tenga una densidad c , esta ecuación se puede escribir como

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

y si cada distribución marginal tiene la densidad que se cumple además que ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

Si se conocen la cópula y los marginales (o si se han estimado), esta expectativa se puede aproximar mediante el siguiente algoritmo de Monte Carlo:

1. Extraer una muestra de tamaño n de la cópula C. ${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$
2. Aplicando las CDF marginales inversas, produzca una muestra de estableciendo ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. Aproximado por su valor empírico: ${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

Cópulas empíricas

Al estudiar datos multivariados, es posible que deseemos investigar la cópula subyacente. Supongamos que tenemos observaciones

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

de un vector aleatorio con marginales continuos. Las observaciones de cópula “verdaderas” correspondientes serían ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Sin embargo, normalmente se desconocen las funciones de distribución marginal . Por lo tanto, se pueden construir observaciones pseudocópulas utilizando las funciones de distribución empíricas. ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

en cambio. Entonces, las observaciones de pseudocópula se definen como

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

La cópula empírica correspondiente se define entonces como

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

Los componentes de las muestras de pseudocópula también se pueden escribir como , donde está el rango de la observación : ${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}}$ ${\displaystyle X_{k}^{i}}$

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

Por lo tanto, la cópula empírica puede verse como la distribución empírica de los datos transformados por rango.

La versión de muestra del rho de Spearman: ^[19]

${\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}$

Aplicaciones

Finanzas cuantitativas

Ejemplos de cópulas bivariadas utilizadas en finanzas.

En las finanzas cuantitativas, las cópulas se aplican a la gestión de riesgos , a la gestión y optimización de carteras y a la fijación de precios de derivados .

Para el primero, las cópulas se utilizan para realizar pruebas de estrés y comprobaciones de solidez que son especialmente importantes durante "regímenes de caída/crisis/pánico" donde pueden ocurrir eventos extremos de caída (por ejemplo, la crisis financiera global de 2007-2008). La fórmula también se adaptó a los mercados financieros y se utilizó para estimar la distribución de probabilidad de pérdidas en conjuntos de préstamos o bonos .

Durante un régimen bajista, un gran número de inversores que han mantenido posiciones en activos más riesgosos, como acciones o bienes raíces, pueden buscar refugio en inversiones "más seguras", como efectivo o bonos. Esto también se conoce como efecto de fuga hacia la calidad y los inversores tienden a abandonar sus posiciones en activos de mayor riesgo en grandes cantidades en un corto período de tiempo. Como resultado, durante los regímenes bajistas, las correlaciones entre las acciones son mayores a la baja que al alza y esto puede tener efectos desastrosos en la economía. ^{[22] [23]} Por ejemplo, anecdóticamente, a menudo leemos titulares de noticias financieras que informan sobre la pérdida de cientos de millones de dólares en la bolsa de valores en un solo día; sin embargo, rara vez leemos informes de ganancias positivas en el mercado de valores de la misma magnitud y en el mismo corto período de tiempo.

Las cópulas ayudan a analizar los efectos de los regímenes a la baja al permitir modelar los marginales y la estructura de dependencia de un modelo de probabilidad multivariado por separado. Por ejemplo, consideremos la bolsa de valores como un mercado formado por un gran número de comerciantes, cada uno de los cuales opera con sus propias estrategias para maximizar las ganancias. El comportamiento individualista de cada comerciante se puede describir modelando los marginales. Sin embargo, como todos los comerciantes operan en el mismo intercambio, las acciones de cada comerciante tienen un efecto de interacción con las de otros comerciantes. Este efecto de interacción se puede describir modelando la estructura de dependencia. Por lo tanto, las cópulas nos permiten analizar los efectos de interacción que son de particular interés durante los regímenes bajistas, ya que los inversores tienden a agrupar sus comportamientos y decisiones comerciales . (Véase también economía computacional basada en agentes , donde el precio se trata como un fenómeno emergente , resultante de la interacción de los diversos participantes o agentes del mercado).

Los usuarios de la fórmula han sido criticados por crear "culturas de evaluación" que continuaron usando cópulas simples a pesar de que las versiones simples fueron reconocidas como inadecuadas para ese propósito. ^{[24] [25]} Por lo tanto, anteriormente, los modelos de cópula escalables para dimensiones grandes solo permitían el modelado de estructuras de dependencia elípticas (es decir, cópulas gaussianas y t de Student) que no permiten asimetrías de correlación donde las correlaciones difieren en los regímenes al alza o a la baja. . Sin embargo, el desarrollo de cópulas de vid ^[26] (también conocidas como cópulas de pares) permite el modelado flexible de la estructura de dependencia para carteras de grandes dimensiones. ^[27] La ​​cópula canónica de vid de Clayton permite la ocurrencia de eventos extremos a la baja y se ha aplicado con éxito en aplicaciones de optimización de carteras y gestión de riesgos. El modelo es capaz de reducir los efectos de las correlaciones negativas extremas y produce un rendimiento estadístico y económico mejorado en comparación con las cópulas de dependencia elíptica escalables, como la cópula gaussiana y la t de Student. ^[28]

Otros modelos desarrollados para aplicaciones de gestión de riesgos son las cópulas de pánico que se pegan con estimaciones de mercado de las distribuciones marginales para analizar los efectos de los regímenes de pánico en la distribución de pérdidas y ganancias de la cartera. Las cópulas de pánico se crean mediante simulación de Monte Carlo , combinada con una reponderación de la probabilidad de cada escenario. ^[29]

En lo que respecta a la fijación de precios de derivados , el modelado de dependencia con funciones de cópula se utiliza ampliamente en aplicaciones de evaluación de riesgos financieros y análisis actuarial , por ejemplo en la fijación de precios de obligaciones de deuda colateralizadas (CDO). ^[30] Algunos creen que la metodología de aplicar la cópula gaussiana a los derivados crediticios es una de las razones detrás de la crisis financiera mundial de 2008-2009 ; ^{[31] [32] [33]} ver David X. Li § CDO y cópula gaussiana .

A pesar de esta percepción, hay intentos documentados dentro de la industria financiera, ocurridos antes de la crisis, de abordar las limitaciones de la cópula gaussiana y de las funciones de cópula en general, específicamente la falta de dinámica de dependencia. Falta la cópula gaussiana ya que solo permite una estructura de dependencia elíptica, ya que la dependencia solo se modela utilizando la matriz de varianza-covarianza. ^[28] Esta metodología es tan limitada que no permite que la dependencia evolucione a medida que los mercados financieros exhiben una dependencia asimétrica, por lo que las correlaciones entre activos aumentan significativamente durante las desaceleraciones en comparación con las alzas. Por lo tanto, los enfoques de modelado que utilizan la cópula gaussiana exhiben una representación deficiente de los eventos extremos . ^{[28] [34]} Ha habido intentos de proponer modelos que rectifican algunas de las limitaciones de la cópula. ^{[34] [35] [36]}

Además de los CDO, las cópulas se han aplicado a otras clases de activos como una herramienta flexible para analizar productos derivados de múltiples activos. La primera aplicación de este tipo fuera del crédito fue utilizar una cópula para construir una superficie de volatilidad implícita de la cesta , ^[37] teniendo en cuenta la volatilidad de los componentes de la cesta. Desde entonces, las cópulas han ganado popularidad en la fijación de precios y la gestión de riesgos ^[38] de opciones sobre activos múltiples en presencia de una sonrisa de volatilidad, en derivados de acciones , divisas y renta fija .

Ingeniería civil

Recientemente, las funciones de cópula se han aplicado con éxito a la formulación de bases de datos para el análisis de confiabilidad de puentes de carreteras y a varios estudios de simulación multivariada en ingeniería civil, ^[39] confiabilidad de la ingeniería eólica y sísmica, ^[40] e ingeniería mecánica y marina. ^[41] Los investigadores también están probando estas funciones en el campo del transporte para comprender la interacción entre los comportamientos de los conductores individuales que, en su conjunto, dan forma al flujo de tráfico.

Ingeniería de confiabilidad

Las cópulas se utilizan para el análisis de confiabilidad de sistemas complejos de componentes de máquinas con modos de falla competitivos.^[42]

Análisis de datos de garantía.

Se están utilizando cópulas para el análisis de datos de garantía en el que se analiza la dependencia de la cola. ^[43]

Combustión turbulenta

Las cópulas se utilizan para modelar una combustión turbulenta parcialmente premezclada, lo cual es común en las cámaras de combustión prácticas. ^{[44] [45]}

Medicamento

Copulæ tienen muchas aplicaciones en el área de la medicina , por ejemplo,

1. Las cópulas se han utilizado en el campo de la resonancia magnética (MRI), por ejemplo, para segmentar imágenes , ^[46] para llenar una vacante de modelos gráficos en genética de imágenes en un estudio sobre esquizofrenia , ^[47] y para distinguir entre normal y Pacientes de Alzheimer . ^[48]
2. Copulæ ha estado en el área de la investigación del cerebro basada en señales de EEG , por ejemplo, para detectar somnolencia durante la siesta diurna, ^[49] para rastrear cambios en los anchos de banda equivalentes instantáneos (IEBW), ^[50] para derivar sincronía para el diagnóstico temprano de la enfermedad de Alzheimer. , ^[51] para caracterizar la dependencia en la actividad oscilatoria entre canales de EEG, ^[52] y para evaluar la confiabilidad del uso de métodos para capturar la dependencia entre pares de canales de EEG usando sus envolventes variables en el tiempo. ^[53] Las funciones de cópula se han aplicado con éxito al análisis de dependencias neuronales ^[54] y recuentos de picos en neurociencia. ^[55]
3. Se ha desarrollado un modelo de cópula en el campo de la oncología , por ejemplo, para modelar conjuntamente genotipos , fenotipos y vías para reconstruir una red celular para identificar interacciones entre fenotipos específicos y múltiples características moleculares (por ejemplo, mutaciones y cambios en la expresión genética ). Bao et al. ^[56] utilizaron datos de la línea celular cancerosa NCI60 para identificar varios subconjuntos de características moleculares que actúan conjuntamente como predictores de fenotipos clínicos. La cópula propuesta puede tener un impacto en la investigación biomédica , desde el tratamiento del cáncer hasta la prevención de enfermedades. La cópula también se ha utilizado para predecir el diagnóstico histológico de lesiones colorrectales a partir de imágenes de colonoscopia ^[57] y para clasificar subtipos de cáncer. ^[58]
4. Se ha desarrollado un modelo de análisis basado en cópulas en el campo de las enfermedades cardíacas y cardiovasculares, por ejemplo, para predecir la variación de la frecuencia cardíaca (FC). La frecuencia cardíaca (FC) es uno de los indicadores de salud más críticos para monitorear la intensidad del ejercicio y el grado de carga porque está estrechamente relacionado con la frecuencia cardíaca. Por lo tanto, una técnica precisa de predicción de la FC a corto plazo puede ofrecer una alerta temprana eficiente para la salud humana y disminuir los eventos dañinos. Namazi (2022) ^[59] utilizó un algoritmo híbrido novedoso para predecir la FC.

Geodesia

La combinación de SSA y métodos basados ​​en cópulas se ha aplicado por primera vez como una nueva herramienta estocástica para la predicción de los parámetros de orientación de la Tierra. ^{[60] [61]}

investigación hidrológica

Las cópulas se han utilizado en análisis tanto teóricos como aplicados de datos hidroclimáticos. Los estudios teóricos adoptaron la metodología basada en cópulas, por ejemplo, para comprender mejor las estructuras de dependencia de la temperatura y la precipitación en diferentes partes del mundo. ^{[9] [62] [63]} Los estudios aplicados adoptaron la metodología basada en cópulas para examinar, por ejemplo, sequías agrícolas ^[64] o efectos conjuntos de temperaturas y precipitaciones extremas sobre el crecimiento de la vegetación. ^{[sesenta y cinco]}

Investigación sobre el clima y el tiempo.

Las cópulas se han utilizado ampliamente en investigaciones relacionadas con el clima y el tiempo. ^{[66] [67]}

Variabilidad de la irradiancia solar

Se han utilizado cópulas para estimar la variabilidad de la irradiancia solar en redes espaciales y temporalmente para ubicaciones individuales. ^{[68] [69]}

Generación de vectores aleatorios

Se pueden generar grandes rastros sintéticos de vectores y series temporales estacionarias utilizando cópulas empíricas preservando al mismo tiempo toda la estructura de dependencia de pequeños conjuntos de datos. ^[70] Estos rastros empíricos son útiles en diversos estudios de rendimiento basados ​​en simulación. ^[71]

Clasificación de motores eléctricos.

Las cópulas se han utilizado para clasificar la calidad en la fabricación de motores con conmutación electrónica. ^[72]

Procesamiento de la señal

Las cópulas son importantes porque representan una estructura de dependencia sin utilizar distribuciones marginales . Las cópulas han sido ampliamente utilizadas en el campo de las finanzas , pero su uso en el procesamiento de señales es relativamente nuevo. Las cópulas se han empleado en el campo de la comunicación inalámbrica para clasificar señales de radar , detección de cambios en aplicaciones de teledetección y procesamiento de señales EEG en medicina . En esta sección, se presenta una breve derivación matemática para obtener la función de densidad de cópula seguida de una tabla que proporciona una lista de funciones de densidad de cópula con las aplicaciones de procesamiento de señales relevantes.

Astronomía

Se han utilizado cópulas para determinar la función de radioluminosidad central de los núcleos galácticos activos (AGN), ^[73] , aunque esto no se puede realizar utilizando métodos tradicionales debido a las dificultades para completar la muestra.

Derivación matemática de la función de densidad de cópula.

Para dos variables aleatorias cualesquiera X e Y , la función de distribución de probabilidad conjunta continua se puede escribir como

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

donde y son las funciones de distribución marginal acumulativa de las variables aleatorias X e Y , respectivamente. ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$ ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$

entonces la función de distribución de la cópula se puede definir usando el teorema de Sklar ^{[74] [75]} como: ${\displaystyle C(u,v)}$

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}$

donde y son funciones de distribución marginal, conjuntas y . ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$ ${\displaystyle u,v\in (0,1)}$

Suponiendo que ae es dos veces diferenciable, comenzamos usando la relación entre la función de densidad de probabilidad conjunta (PDF) y la función de distribución acumulativa conjunta (CDF) y sus derivadas parciales. ${\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

donde es la función de densidad de cópula y son las funciones de densidad de probabilidad marginal de X e Y , respectivamente. Es importante comprender que hay cuatro elementos en esta ecuación y, si se conocen tres elementos, se puede calcular el cuarto elemento. Por ejemplo, se puede utilizar, ${\displaystyle c(u,v)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• cuando se conoce la función de densidad de probabilidad conjunta entre dos variables aleatorias, se conoce la función de densidad de cópula y se conoce una de las dos funciones marginales, entonces se puede calcular la otra función marginal, o
• cuando se conocen las dos funciones marginales y la función de densidad de cópula, entonces se puede calcular la función de densidad de probabilidad conjunta entre las dos variables aleatorias, o
• cuando se conocen las dos funciones marginales y la función de densidad de probabilidad conjunta entre las dos variables aleatorias, entonces se puede calcular la función de densidad de cópula.

Lista de funciones y aplicaciones de densidad de cópula.

Varias funciones de densidad de cópula bivariadas son importantes en el área del procesamiento de señales. y son funciones de distribución marginal y y son funciones de densidad marginal. Se ha demostrado que la extensión y generalización de cópulas para el procesamiento estadístico de señales construyen nuevas cópulas bivariadas para distribuciones exponenciales, de Weibull y de Rician. ^[76] Zeng et al. ^[77] presentaron algoritmos, simulación, selección óptima y aplicaciones prácticas de estas cópulas en el procesamiento de señales. ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

Ver también

• Acoplamiento (probabilidad)

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Otras lecturas

• La referencia estándar para una introducción a las cópulas. Cubre todos los aspectos fundamentales, resume las clases de cópulas más populares y proporciona pruebas de los teoremas importantes relacionados con las cópulas.

Roger B. Nelsen (1999), "Introducción a las cópulas", Springer. ISBN 978-0-387-98623-4 

• Un libro que cubre temas actuales en la investigación matemática sobre cópulas:

Piotr Jaworski, Fabrizio Durante, Wolfgang Karl Härdle, Tomasz Rychlik (Editores): (2010): "Teoría de la cópula y sus aplicaciones", notas de conferencias sobre estadística, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8 

• Una referencia para aplicaciones de muestreo y modelos estocásticos relacionados con cópulas es

Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012): Simulación de cópulas (modelos estocásticos, algoritmos de muestreo y aplicaciones). Científico mundial. ISBN 978-1-84816-874-9 

• Un artículo que cubre el desarrollo histórico de la teoría de la cópula, escrito por la persona asociada con la "invención" de las cópulas, Abe Sklar .

Abe Sklar (1997): "Variables aleatorias, funciones de distribución y cópulas: una mirada personal hacia atrás y hacia adelante" en Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distribuciones con márgenes fijos y temas relacionados (conferencia Notas – Serie de Monografías Número 28). ISBN 978-0-940600-40-9 

• La referencia estándar para modelos multivariados y teoría de cópulas en el contexto de modelos financieros y de seguros.

Alexander J. McNeil, Rudiger Frey y Paul Embrechts (2005) "Gestión de riesgos cuantitativos: conceptos, técnicas y herramientas", Serie Princeton en Finanzas. ISBN 978-0-691-12255-7 

enlaces externos

• "Cópula", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Copula Wiki: portal comunitario para investigadores interesados ​​en cópulas Archivado el 11 de septiembre de 2016 en Wayback Machine.
• Una colección de códigos de simulación y estimación de Copula.
• Cópulas y correlación usando artículos de simulación en Excel
• Capítulo 1 de Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012) "Simulación de cópulas: modelos estocásticos, algoritmos de muestreo y aplicaciones"