El valor entrópico en riesgo

En matemáticas financieras y optimización estocástica , el concepto de medida de riesgo se utiliza para cuantificar el riesgo involucrado en un resultado aleatorio o posición de riesgo. Hasta ahora se han propuesto muchas medidas de riesgo, cada una con ciertas características. El valor entrópico en riesgo ( EVaR ) es una medida de riesgo coherente introducida por Ahmadi-Javid, ^{[1] [2]} que es un límite superior para el valor en riesgo (VaR) y el valor condicional en riesgo (CVaR), obtenido a partir de la desigualdad de Chernoff . El EVaR también se puede representar utilizando el concepto de entropía relativa . Debido a su conexión con el VaR y la entropía relativa, esta medida de riesgo se llama "valor entrópico en riesgo". El EVaR se desarrolló para abordar algunas ineficiencias computacionales ^{[ aclaración necesaria ]} del CVaR. Inspirándose en la representación dual del EVaR, Ahmadi-Javid ^{[1] [2]} desarrolló una amplia clase de medidas de riesgo coherentes , llamadas medidas de riesgo g-entrópicas . Tanto el CVaR como el EVaR son miembros de esta clase.

Definición

Sea un espacio de probabilidad con un conjunto de todos los eventos simples, un álgebra de subconjuntos de y una medida de probabilidad en . Sea una variable aleatoria y sea el conjunto de todas las funciones medibles de Borel cuya función generadora de momentos existe para todos los . El valor entrópico en riesgo (EVaR) de con un nivel de confianza se define de la siguiente manera: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{M^{+}}}$ ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{X}(z)}$ ${\displaystyle z\geq 0}$ ${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$ ${\displaystyle 1-\alpha }$

En finanzas, la variable aleatoria en la ecuación anterior se utiliza para modelar las pérdidas de una cartera. ${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}},}$

Consideremos la desigualdad de Chernoff

Resolviendo la ecuación para obtener resultados en ${\displaystyle e^{-za}M_{X}(z)=\alpha }$ ${\displaystyle a,}$

${\displaystyle a_{X}(\alpha ,z):=z^{-1}\ln \left({\frac {M_{X}(z)}{\alpha }}\right).}$

Considerando la ecuación ( 1 ), vemos que

${\displaystyle {\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X):=\inf _{z>0}\{a_{X}(\alpha ,z)\},}$

que muestra la relación entre el EVaR y la desigualdad de Chernoff. Cabe destacar que es la medida de riesgo entrópico o prima exponencial , que es un concepto utilizado en finanzas y seguros, respectivamente. ${\displaystyle a_{X}(1,z)}$

Sea el conjunto de todas las funciones medibles de Borel cuya función generadora de momentos existe para todo . La representación dual (o representación robusta) del EVaR es la siguiente: ${\displaystyle \mathbf {L} _{M}}$ ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{X}(z)}$ ${\displaystyle z}$

donde y es un conjunto de medidas de probabilidad en con . Nótese que ${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M},}$ ${\displaystyle \Im }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Im =\{Q\ll P:D_{KL}(Q||P)\leq -\ln \alpha \}}$

${\displaystyle D_{KL}(Q||P):=\int {\frac {dQ}{dP}}\left(\ln {\frac {dQ}{dP}}\right)dP}$

es la entropía relativa de con respecto a también llamada divergencia de Kullback-Leibler . La representación dual del EVaR revela la razón detrás de su nombre. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P,}$

Propiedades

• El EVaR es una medida de riesgo coherente.

• La función generadora de momentos se puede representar mediante EVaR: para todos y ${\displaystyle M_{X}(z)}$ ${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$ ${\displaystyle z>0}$

• Para , para todos si y sólo si para todos . ${\displaystyle X,Y\in \mathbf {L} _{M}}$ ${\displaystyle {\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X)={\text{EVaR}}_{1-\alpha }(Y)}$ ${\displaystyle \alpha \in ]0,1]}$ ${\displaystyle F_{X}(b)=F_{Y}(b)}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

• La medida de riesgo entrópico con parámetro se puede representar mediante el EVaR: para todos y ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$ ${\displaystyle \theta >0}$

• El EVaR con nivel de confianza es el límite superior más estricto posible que se puede obtener a partir de la desigualdad de Chernoff para el VaR y el CVaR con nivel de confianza ; ${\displaystyle 1-\alpha }$ ${\displaystyle 1-\alpha }$

• La siguiente desigualdad se cumple para el EVaR:

donde es el valor esperado de y es el supremo esencial de , es decir, . Por lo tanto, se cumplen y . ${\displaystyle {\text{E}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{esssup}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \inf _{t\in \mathbb {R} }\{t:\Pr(X\leq t)=1\}}$ ${\displaystyle {\text{EVaR}}_{0}(X)={\text{E}}(X)}$ ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X)={\text{esssup}}(X)}$

Ejemplos

Comparación del VaR, CVaR y EVaR para la distribución normal estándar

Comparación del VaR, CVaR y EVaR para la distribución uniforme en el intervalo (0,1)

Para ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),}$

Para ${\displaystyle X\sim U(a,b),}$

Las figuras 1 y 2 muestran la comparación del VaR, CVaR y EVaR para y . ${\displaystyle N(0,1)}$ ${\displaystyle U(0,1)}$

Mejoramiento

Sea una medida de riesgo. Consideremos el problema de optimización ${\displaystyle \rho }$

donde es un vector de decisión real -dimensional, es un vector aleatorio real -dimensional con una distribución de probabilidad conocida y la función es una función de Borel medible para todos los valores Si entonces el problema de optimización ( 10 ) se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in {\boldsymbol {W}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G({\boldsymbol {w}},.):\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in {\boldsymbol {W}}.}$ ${\displaystyle \rho ={\text{EVaR}},}$

Sea el soporte del vector aleatorio Si es convexo para todo , entonces la función objetivo del problema ( 11 ) también es convexa. Si tiene la forma ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}.}$ ${\displaystyle G(.,{\boldsymbol {s}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}\in {\boldsymbol {S}}_{\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle G({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {\psi }})}$

y son variables aleatorias independientes en , entonces ( 11 ) se convierte en ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{M}}$

lo cual es computacionalmente factible . Pero para este caso, si se utiliza el CVaR en el problema ( 10 ), entonces el problema resultante se convierte en el siguiente:

Se puede demostrar que al aumentar la dimensión de , el problema ( 14 ) es computacionalmente intratable incluso para casos simples. Por ejemplo, supongamos que son variables aleatorias discretas independientes que toman valores distintos. Para valores fijos de y la complejidad de calcular la función objetivo dada en el problema ( 13 ) es del orden de mientras que el tiempo de cálculo para la función objetivo del problema ( 14 ) es del orden de . A modo de ilustración, supongamos que y la suma de dos números lleva segundos. Para calcular la función objetivo del problema ( 14 ) se necesitan aproximadamente años, mientras que la evaluación de la función objetivo del problema ( 13 ) lleva aproximadamente segundos. Esto demuestra que la formulación con el EVaR supera a la formulación con el CVaR (véase ^[2] para más detalles). ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle mk}$ ${\displaystyle k^{m}}$ ${\displaystyle k=2,m=100}$ ${\displaystyle 10^{-12}}$ ${\displaystyle 4\times 10^{10}}$ ${\displaystyle 10^{-10}}$

Generalización (medidas de riesgo gentrópico)

Inspirándose en la representación dual del EVaR dada en ( 3 ), se puede definir una amplia clase de medidas de riesgo coherentes de teoría de la información, que se introducen en. ^{[1] [2]} Sea una función propia convexa con y un número no negativo. La medida de riesgo -entrópica con nivel de divergencia se define como ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(1)=0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \beta }$

donde en donde es la entropía relativa generalizada de con respecto a . Una representación primaria de la clase de medidas de riesgo -entrópico se puede obtener de la siguiente manera: ${\displaystyle \Im =\{Q\ll P:H_{g}(P,Q)\leq \beta \}}$ ${\displaystyle H_{g}(P,Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g}$

donde es el conjugado de . Considerando ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g}$

con y , se puede deducir la fórmula EVaR. El CVaR también es una medida de riesgo -entrópica, que se puede obtener de ( 16 ) estableciendo ${\displaystyle g^{*}(x)=e^{x-1}}$ ${\displaystyle \beta =-\ln \alpha }$ ${\displaystyle g}$

con y (ver ^{[1] [3]} para más detalles). ${\displaystyle g^{*}(x)={\tfrac {1}{\alpha }}\max\{0,x\}}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Para obtener más resultados sobre las medidas de riesgo -entrópico, consulte ^{[4] .} ${\displaystyle g}$

Marco de programación convexa disciplinada

El marco de programación convexa disciplinada de muestra EVaR fue propuesto por Cajas ^[5] y tiene la siguiente forma:

donde , y son variables; es un cono exponencial; ^[6] y es el número de observaciones. Si definimos como vector de pesos de los activos, la matriz de retornos y el vector medio de activos, podemos plantear la minimización del EVaR esperado dado un nivel de retorno esperado de cartera de la siguiente manera. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K_{\text{exp}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\bar {\mu }}}$

Aplicando el marco de programación convexa disciplinada de EVaR a la distribución de retornos acumulados no compuestos, Cajas ^[5] propuso el problema de optimización de reducción entrópica en riesgo ( EDaR ). Podemos plantear la minimización del EDaR esperado dado un nivel de retorno esperado de la siguiente manera: ${\displaystyle {\bar {\mu }}}$

donde es una variable que representa los rendimientos acumulados no compuestos de la cartera y es la matriz de rendimientos acumulados no compuestos de los activos. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R}$

Para otros problemas como la paridad de riesgo, la maximización de la relación rendimiento/riesgo o las restricciones en los niveles máximos de riesgo para EVaR y EDaR, puede consultar ^[5] para obtener más detalles.

La ventaja de modelar EVaR y EDaR utilizando un marco de programación convexa disciplinado es que podemos utilizar programas como CVXPY ^[7] o MOSEK ^[8] para modelar estos problemas de optimización de cartera. EVaR y EDaR están implementados en el paquete de Python Riskfolio-Lib. ^[9]

Véase también

• Optimización estocástica
• Medida de riesgo
• Medida de riesgo coherente
• Valor en riesgo
• Valor condicional en riesgo
• Déficit esperado
• Medida de riesgo entrópico
• Divergencia de Kullback-Leibler
• Entropía relativa generalizada

Referencias

1. Ahmadi-Javid, Amir (2011). "Un enfoque teórico de la información para construir medidas de riesgo coherentes". Actas del Simposio Internacional IEEE sobre Teoría de la Información de 2011. San Petersburgo, Rusia: Actas del Simposio Internacional IEEE sobre Teoría de la Información. págs. 2125–2127. doi :10.1109/ISIT.2011.6033932. ISBN 978-1-4577-0596-0.S2CID8720196  .​
2. Ahmadi-Javid, Amir (2012). "Valor en riesgo entrópico: una nueva medida de riesgo coherente". Revista de teoría y aplicaciones de optimización . 155 (3): 1105–1123. doi :10.1007/s10957-011-9968-2. S2CID  46150553.
3. Ahmadi-Javid, Amir (2012). "Adición a: Valor en riesgo entrópico: una nueva medida coherente del riesgo". Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 155 (3): 1124–1128. doi :10.1007/s10957-012-0014-9. S2CID  39386464.
4. Breuer, Thomas; Csiszar, Imre (2013). "Medición del riesgo del modelo de distribución". arXiv : 1301.4832v1 [q-fin.RM].
5. Cajas, Dany (24 de febrero de 2021). "Optimización entrópica de carteras: un marco de programación convexa disciplinado". doi :10.2139/ssrn.3792520. S2CID  235319743. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
6. Chares, Robert (2009). "Conos y algoritmos de punto interior para optimización convexa estructurada que involucra potencias y exponenciales". S2CID  118322815. {{cite web}}: Falta o está vacío |url=( ayuda )
7. "CVXPY".
8. "MOSEC".
9. "Riskfolio-Lib". GitHub . 18 de julio de 2022.