Medida de riesgo dinámica

En matemáticas financieras , una medida de riesgo condicional es una variable aleatoria del riesgo financiero (en particular, el riesgo a la baja ) como si se midiera en algún momento en el futuro. Una medida de riesgo puede considerarse como una medida de riesgo condicional en el álgebra sigma trivial .

Una medida de riesgo dinámica es una medida de riesgo que aborda la cuestión de cómo se relacionan las evaluaciones de riesgo en diferentes momentos. Puede interpretarse como una secuencia de medidas de riesgo condicionales. ^[1]

Novak ha sugerido un enfoque diferente para la medición dinámica del riesgo. ^[2]

Medida de riesgo condicional

Consideremos los rendimientos de una cartera en un momento terminal como una variable aleatoria que está uniformemente acotada , es decir, denota el resultado de una cartera. Una asignación es una medida de riesgo condicional si tiene las siguientes propiedades para rendimientos aleatorios de cartera : ^{[3] [4]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$ ${\displaystyle \rho _{t}:L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)}$ ${\displaystyle X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$

Invariancia condicional del efectivo

${\displaystyle \forall m_{t}\in L_{t}^{\infty }:\;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}}$^{[ aclaración necesaria ]}

Monotonía

${\displaystyle \mathrm {If} \;X\leq Y\;\mathrm {then} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)}$^{[ aclaración necesaria ]}

Normalización

${\displaystyle \rho _{t}(0)=0}$^{[ aclaración necesaria ]}

Si es una medida de riesgo convexa condicional entonces también tendrá la propiedad:

Convexidad condicional

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)}$^{[ aclaración necesaria ]}

Una medida de riesgo coherente condicional es una medida de riesgo convexa condicional que además satisface:

Homogeneidad positiva condicional

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)}$^{[ aclaración necesaria ]}

Conjunto de aceptación

El conjunto de aceptación en el momento asociado con una medida de riesgo condicional es ${\displaystyle t}$

${\displaystyle A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho _{t}(X)\leq 0{\text{ a.s.}}\}}$.

Si se le proporciona un conjunto de aceptación en el momento , entonces la medida de riesgo condicional correspondiente es ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\infty }:X+Y\in A_{t}\}}$

¿Dónde está el ínfimo esencial ? ^[5] ${\displaystyle {\text{ess}}\inf }$

Propiedad regular

Se dice que una medida de riesgo condicional es regular si para cualquier y entonces donde es la función indicadora en . Cualquier medida de riesgo condicional convexa normalizada es regular. ^[3] ${\displaystyle \rho _{t}}$ ${\displaystyle X\in L_{T}^{\infty }}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle A}$

La interpretación financiera de esto establece que el riesgo condicional en algún nodo futuro (es decir, ) solo depende de los posibles estados de ese nodo. En un modelo binomial, esto sería similar a calcular el riesgo en el subárbol que se ramifica desde el punto en cuestión. ${\displaystyle \rho _{t}(X)[\omega ]}$

Propiedad consistente en el tiempo

Una medida de riesgo dinámica es consistente en el tiempo si y sólo si . ^[6] ${\displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$

Ejemplo: precio de supercobertura dinámica

El precio de supercobertura dinámica implica medidas de riesgo condicionales de la forma . Se demuestra que se trata de una medida de riesgo consistente en el tiempo. ${\displaystyle \rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$

Referencias

1. Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (2011). «Medidas de riesgo dinámico» (PDF) . Métodos matemáticos avanzados para finanzas : 1–34. Archivado desde el original (PDF) el 2 de septiembre de 2011. Consultado el 22 de julio de 2010 .
2. Novak, SY (2015). Sobre las medidas de riesgo financiero . pp. 541–549. ISBN 978-849844-4964. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
3. Detlefsen, K.; Scandolo, G. (2005). "Medidas de riesgo convexo condicional y dinámico". Finanzas y estocástica . 9 (4): 539–561. CiteSeerX 10.1.1.453.4944 . doi :10.1007/s00780-005-0159-6. S2CID  10579202. 
4. Föllmer, Hans; Penner, Irina (2006). "Medidas de riesgo convexo y la dinámica de sus funciones de penalización". Estadísticas y decisiones . 24 (1): 61–96. CiteSeerX 10.1.1.604.2774 . doi :10.1524/stnd.2006.24.1.61. S2CID  54734936. 
5. Penner, Irina (2007). «Medidas de riesgo convexo dinámico: consistencia temporal, prudencia y sostenibilidad» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de julio de 2011. Consultado el 3 de febrero de 2011 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
6. Cheridito, Patrick; Stadje, Mitja (2009). "Inconsistencia temporal del VaR y alternativas consistentes en el tiempo". Finance Research Letters . 6 (1): 40–46. doi :10.1016/j.frl.2008.10.002.