Consistencia temporal (finanzas)

La coherencia temporal en el contexto de las finanzas es la propiedad de no tener evaluaciones de riesgo mutuamente contradictorias en diferentes puntos del tiempo. Esta propiedad implica que si la inversión A se considera más riesgosa que la B en algún momento futuro, entonces A también se considerará más riesgosa que B en todos los momentos anteriores.

Consistencia temporal y riesgo financiero

La consistencia temporal es una propiedad del riesgo financiero relacionada con las medidas de riesgo dinámico . El propósito de la propiedad de consistencia temporal es categorizar las medidas de riesgo que satisfacen la condición de que si la cartera (A) es más riesgosa que la cartera (B) en algún momento en el futuro, entonces se garantiza que será más riesgosa en cualquier momento anterior a ese punto. Esta es una propiedad importante ya que si no se mantuviera, entonces hay un evento (con probabilidad de ocurrencia mayor que 0) tal que B es más riesgoso que A en el momento aunque es seguro que A es más riesgoso que B en el momento . Como sugiere el nombre, una medida de riesgo inconsistente en el tiempo puede conducir a un comportamiento inconsistente en la gestión del riesgo financiero . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+1}$

Definición matemática

Una medida de riesgo dinámica es consistente en el tiempo si y implica . ^[1] ${\displaystyle \left(\rho _{t}\right)_{t=0}^{T}}$ ${\displaystyle L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$ ${\displaystyle \forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$ ${\displaystyle t\in \{0,1,...,T-1\}:\rho _{t+1}(X)\geq \rho _{t+1}(Y)}$ ${\displaystyle \rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)}$

Definiciones equivalentes

Igualdad

A pesar de ${\displaystyle t\in \{0,1,...,T-1\}:\rho _{t+1}(X)=\rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)=\rho _{t}(Y)}$

Recursivo

A pesar de ${\displaystyle t\in \{0,1,...,T-1\}:\rho _{t}(X)=\rho _{t}(-\rho _{t+1}(X))}$

Conjunto de aceptación

Para todos donde se establece el tiempo de aceptación y ^[2] ${\displaystyle t\in \{0,1,...,T-1\}:A_{t}=A_{t,t+1}+A_{t+1}}$ ${\displaystyle A_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A_{t,t+1}=A_{t}\cap L^{p}({\mathcal {F}}_{t+1})}$

Condición de co-ciclo (para medidas de riesgo convexo )

Para todos donde es la función de penalización mínima (donde es un conjunto de aceptación y denota el supremo esencial ) en el tiempo y . ^[3] ${\displaystyle t\in \{0,1,...,T-1\}:\alpha _{t}(Q)=\alpha _{t,t+1}(Q)+\mathbb {E} ^{Q}[\alpha _{t+1}(Q)\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$ ${\displaystyle \alpha _{t}(Q)=\operatorname {*} {esssup}_{X\in A_{t}}\mathbb {E} ^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$ ${\displaystyle A_{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {*} {esssup}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha _{t,t+1}(Q)=\operatorname {*} {esssup}_{X\in A_{t,t+1}}\mathbb {E} ^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

Construcción

Debido a la propiedad recursiva, es sencillo construir una medida de riesgo consistente en el tiempo. Esto se hace componiendo medidas de un período a lo largo del tiempo. Esto significaría que:

• ${\displaystyle \rho _{T-1}^{com}:=\rho _{T-1}}$
• ${\displaystyle \forall t<T-1:\rho _{t}^{com}:=\rho _{t}(-\rho _{t+1}^{com})}$^[1]

Ejemplos

Valor en riesgo y valor en riesgo medio

Tanto el valor en riesgo dinámico como el valor en riesgo promedio dinámico no son medidas de riesgo consistentes en el tiempo.

Alternativa consistente en el tiempo

La alternativa consistente en el tiempo al valor promedio dinámico en riesgo con parámetro en el tiempo t se define por ${\displaystyle \alpha _{t}}$

${\displaystyle \rho _{t}(X)={\text{ess}}\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X|{\mathcal {F}}_{t}]}$

tal que . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\left\{Q\in {\mathcal {M}}_{1}:E\left[{\frac {dQ}{dP}}|{\mathcal {F}}_{j}\right]\leq \alpha _{j-1}E\left[{\frac {dQ}{dP}}|{\mathcal {F}}_{j-1}\right]\forall j=1,...,T\right\}}$

Precio de supercobertura dinámica

El precio de supercobertura dinámica es una medida de riesgo consistente en el tiempo. ^[5]

Riesgo entrópico dinámico

La medida de riesgo entrópico dinámico es una medida de riesgo consistente en el tiempo si el parámetro de aversión al riesgo es constante. ^[5]

Tiempo continuo

En tiempo continuo, una medida de riesgo coherente y consistente en el tiempo puede darse mediante:

${\displaystyle \rho _{g}(X):=\mathbb {E} ^{g}[-X]}$

para una elección sublineal de función donde denota una expectativa g . Si la función es convexa , entonces la medida de riesgo correspondiente es convexa. ^[6] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}}$ ${\displaystyle g}$

Referencias

1. Cheridito, Patrick; Stadje, Mitja (octubre de 2008). «Time-inconsistency of VaR and time-consistent alternatives» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de octubre de 2012. Consultado el 29 de noviembre de 2010 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (22 de febrero de 2010). «Medidas de riesgo dinámico» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2 de septiembre de 2011. Consultado el 22 de julio de 2010 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
3. Föllmer, Hans; Penner, Irina (2006). "Medidas de riesgo convexo y la dinámica de sus funciones de penalización" (PDF) . Estadísticas y decisiones . 24 (1): 61–96 . Consultado el 17 de junio de 2012 .^{[ enlace muerto permanente ]}
4. Cheridito, Patrick; Kupper, Michael (mayo de 2010). "Composición de medidas de riesgo monetario dinámico consistentes en el tiempo en tiempo discreto" (PDF) . Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . Archivado desde el original (PDF) el 19 de julio de 2011. Consultado el 4 de febrero de 2011 .
5. Penner, Irina (2007). «Medidas de riesgo convexo dinámico: consistencia temporal, prudencia y sostenibilidad» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de julio de 2011. Consultado el 3 de febrero de 2011 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
6. Rosazza Gianin, E. (2006). "Medidas de riesgo a través de expectativas g". Seguros: Matemáticas y Economía . 39 : 19–65. doi :10.1016/j.insmatheco.2006.01.002.