Medida de riesgo

En matemáticas financieras , una medida de riesgo se utiliza para determinar la cantidad de un activo o conjunto de activos (tradicionalmente, moneda ) que se debe mantener en reserva. El propósito de esta reserva es hacer que los riesgos asumidos por las instituciones financieras , como los bancos y las compañías de seguros, sean aceptables para el regulador . En los últimos años, la atención se ha centrado en la medición de riesgos convexa y coherente .

Matemáticamente

Una medida de riesgo se define como una correspondencia entre un conjunto de variables aleatorias y números reales. Este conjunto de variables aleatorias representa los rendimientos de la cartera. La notación común para una medida de riesgo asociada con una variable aleatoria es . Una medida de riesgo debe tener ciertas propiedades: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

Normalizado

${\displaystyle \rho (0)=0}$

Traductivo

${\displaystyle \mathrm {If} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\rho (Z+a)=\rho (Z)-a}$

Monótono

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2},\;\mathrm {then} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})}$

Conjunto de valores

En una situación en la que las carteras tienen valores fijos de modo que el riesgo se pueda medir en función de los activos, entonces un conjunto de carteras es la forma adecuada de representar el riesgo. Las medidas de riesgo con valores fijos son útiles para los mercados con costos de transacción . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle m\leq d}$

Matemáticamente

Una medida de riesgo con valor conjunto es una función , donde es un espacio Lp -dimensional , , y donde es un cono de solvencia constante y es el conjunto de carteras de los activos de referencia. debe tener las siguientes propiedades: ^[3] ${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$ ${\displaystyle L_{d}^{p}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$ ${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$

Normalizado

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0){\text{ and }}R(0)\cap -\operatorname {int} K_{M}=\emptyset }$

Traductivo en M

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Monótono

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

Ejemplos

• Valor en riesgo
• Déficit esperado
• Medidas de riesgo superpuestas ^[4]
• El valor entrópico en riesgo
• Reducción
• Expectativa condicional de cola
• Medida de riesgo entrópico
• Precio de supercobertura
• Expectil

Diferencia

La varianza (o desviación estándar ) no es una medida de riesgo en el sentido anterior. Esto se puede ver ya que no tiene la propiedad de traducción ni monotonía. Es decir, para todos , y se puede encontrar un contraejemplo simple para la monotonía. La desviación estándar es una medida de riesgo de desviación . Para evitar cualquier confusión, tenga en cuenta que las medidas de riesgo de desviación, como la varianza y la desviación estándar , a veces se denominan medidas de riesgo en diferentes campos. ${\displaystyle Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Relación con el conjunto de aceptación

Existe una correspondencia biunívoca entre un conjunto de aceptación y una medida de riesgo correspondiente. Como se define a continuación, se puede demostrar que y . ^[5] ${\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}$ ${\displaystyle A_{R_{A}}=A}$

Medida de riesgo para el conjunto de aceptación

• Si es una medida de riesgo (escalar), entonces es un conjunto de aceptación. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}$
• Si es una medida de riesgo con valor establecido, entonces es un conjunto de aceptación. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}$

Aceptación establecida para la medida de riesgo

• Si es un conjunto de aceptación (en 1-d) entonces define una medida de riesgo (escalar). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$
• Si es un conjunto de aceptación, entonces es una medida de riesgo con valor conjunto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}$

Relación con la medida de riesgo de desviación

Existe una relación uno a uno entre una medida de riesgo de desviación D y una medida de riesgo limitada por expectativas, donde para cualquier ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle \rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$.

${\displaystyle \rho }$Se llama expectativa acotada si satisface para cualquier X no constante y para cualquier X constante . ^[6] ${\displaystyle \rho (X)>\mathbb {E} [-X]}$ ${\displaystyle \rho (X)=\mathbb {E} [-X]}$

Véase también

• Medida de riesgo coherente
• Valor condicional en riesgo
• Medida del riesgo de distorsión
• Medida de riesgo dinámica
• El valor entrópico en riesgo
• Déficit esperado
• Contabilidad de riesgos gerenciales
• Gestión de riesgos
• Métrica de riesgo : el concepto abstracto de que una medida de riesgo cuantifica
• Relación riesgo-rendimiento
• RiskMetrics : un modelo para la gestión de riesgos
• Medida de riesgo espectral
• Valor en riesgo
• Medida de riesgo en el peor de los casos
• Minimización del riesgo empírico

Referencias

1. Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). "Coherent Measures of Risk" (PDF) . Finanzas matemáticas . 9 (3): 203–228. doi :10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585 . Consultado el 3 de febrero de 2011 .
2. Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). "Medidas de riesgo coherentes valoradas en vectores". Finanzas y estocástica . 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . doi :10.1007/s00780-004-0127-6. S2CID  18237100. 
3. Hamel, AH; Heyde, F. (2010). "Dualidad para medidas de riesgo con valores establecidos". Revista SIAM de Matemáticas Financieras . 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi :10.1137/080743494. 
4. Jokhadze, Valeriane; Schmidt, Wolfgang M. (marzo de 2020). "Medición del riesgo de modelo en la gestión y fijación de precios de riesgos financieros". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 23 (2) 2050012. doi : 10.1142/s0219024920500120 . SSRN  3113139.
5. Andreas H. Hamel; Frank Heyde; Birgit Rudloff (2011). "Medidas de riesgo con valores establecidos para modelos de mercado cónicos". Matemáticas y economía financiera . 5 (1): 1–28. arXiv : 1011.5986 . doi :10.1007/s11579-011-0047-0. S2CID  154784949.
6. Rockafellar, Tyrrell; Uryasev, Stanislav; Zabarankin, Michael (22 de enero de 2003). "Medidas de desviación en el análisis y optimización de riesgos". SSRN  365640.

Lectura adicional

• Crouhy, Michel; D. Galai; R. Mark (2001). Gestión de riesgos . McGraw-Hill . pp. 752 páginas. ISBN 978-0-07-135731-9.
• Kevin, Dowd (2005). Medición del riesgo de mercado (2.ª ed.). John Wiley & Sons . 410 páginas. ISBN 978-0-470-01303-8.

• Foellmer, Hans; Schied, Alejandro (2004). Finanzas estocásticas . Serie de Gruyter en Matemáticas. vol. 27. Berlín: Walter de Gruyter . págs.xi+459. ISBN 978-311-0183467.Señor 2169807  .
• Shapiro, Alexander; Dentcheva, Darinka; Ruszczyński, Andrzej (2009). Lecciones sobre programación estocástica. Modelado y teoría . Serie MPS/SIAM sobre optimización. Vol. 9. Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . pp. xvi+436. ISBN 978-0898716870.Señor 2562798  .