En matemáticas , específicamente en geometría y topología , la clasificación de variedades es una cuestión básica, sobre la cual se sabe mucho y aún quedan muchas preguntas abiertas.
Formalmente, clasificar variedades es clasificar objetos hasta el isomorfismo . Existen muchas nociones diferentes de "variedad" y nociones correspondientes de "mapa entre variedades", cada una de las cuales produce una categoría diferente y una pregunta de clasificación diferente.
Estas categorías están relacionadas por funtores olvidadizos : por ejemplo, una variedad diferenciable es también una variedad topológica, y una función diferenciable también es continua, por lo que hay un funtor .
Estos funtores no son en general ni uno a uno ni sobre objetos; estas fallas se mencionan generalmente en términos de "estructura", como sigue. Una variedad topológica que es imagen de se dice que "admite una estructura diferenciable", y la fibra sobre una variedad topológica dada es "las diferentes estructuras diferenciables sobre la variedad topológica dada".
Así pues, dadas dos categorías, las dos preguntas naturales son:
En categorías más generales, este conjunto de estructuras tiene más estructura: en Diff es simplemente un conjunto, pero en Top es un grupo, y funcionalmente lo es.
Muchas de estas estructuras son G-estructuras y la cuestión es la reducción del grupo de estructuras . El ejemplo más conocido es la orientabilidad: algunas variedades son orientables, otras no, y las variedades orientables admiten 2 orientaciones.
Hay dos formas habituales de dar una clasificación: explícitamente, mediante una enumeración, o implícitamente, en términos de invariantes.
Por ejemplo, para superficies orientables, la clasificación de superficies las enumera como la suma conexa de toros, y un invariante que las clasifica es el género o característica de Euler .
Las variedades tienen un rico conjunto de invariantes, entre los que se incluyen:
La topología algebraica moderna (más allá de la teoría del cobordismo ), como la (co)homología extraordinaria , se utiliza poco en la clasificación de variedades, porque estos invariantes son invariantes a la homotopía y, por lo tanto, no ayudan con las clasificaciones más finas por encima del tipo de homotopía.
Los grupos de cobordismo (los grupos de bordismo de un punto) se calculan, pero los grupos de bordismo de un espacio (como ) generalmente no.
La clasificación de conjuntos puntuales es básica: generalmente se fijan supuestos de conjuntos puntuales y luego se estudia esa clase de variedad. La clase de variedades que se clasifica con más frecuencia son las variedades cerradas y conexas.
Al ser homogéneas (es decir, alejadas de cualquier límite), las variedades no tienen invariantes locales de conjunto de puntos, aparte de su dimensión y límite versus interior, y las propiedades globales de conjunto de puntos más utilizadas son la compacidad y la conectividad. Los nombres convencionales para las combinaciones de estas son:
Por ejemplo, es una variedad compacta, es una variedad cerrada y es una variedad abierta, mientras que no es ninguna de estas.
La característica de Euler es un invariante homológico y, por lo tanto, se puede calcular de manera efectiva dada una estructura CW , por lo que las 2-variedades se clasifican homológicamente.
Las clases características y los números característicos son los invariantes homológicos generalizados correspondientes, pero no clasifican las variedades en dimensiones superiores (no son un conjunto completo de invariantes ): por ejemplo, las 3-variedades orientables son paralelizables (teorema de Steenrod en topología de baja dimensión ), por lo que todas las clases características se desvanecen. En dimensiones superiores, las clases características en general no se desvanecen y proporcionan datos útiles pero no completos.
Las variedades de dimensión 4 y superior no se pueden clasificar de manera efectiva : dadas dos n -variedades ( ) presentadas como complejos CW o cuerpos de manija , no hay un algoritmo para determinar si son isomorfas (homeomórficas, difeomórficas). Esto se debe a la insolubilidad del problema verbal para grupos , o más precisamente, el problema de trivialidad (dada una presentación finita para un grupo, ¿es el grupo trivial?). Cualquier presentación finita de un grupo se puede realizar como un 2-complejo, y se puede realizar como el 2-esqueleto de una 4-variedad (o superior). Por lo tanto, ni siquiera se puede calcular el grupo fundamental de una variedad dada de alta dimensión, mucho menos una clasificación.
Esta ineficacia es una razón fundamental por la que la teoría de la cirugía no clasifica las variedades hasta el homeomorfismo, sino que, para cualquier variedad fija M, clasifica pares con N una variedad y una equivalencia de homotopía , dos pares de tales variedades, y , considerándose equivalentes si existe un homeomorfismo y una homotopía .
Muchos teoremas clásicos de la geometría de Riemann muestran que las variedades con curvatura positiva están restringidas, el más dramático de ellos es el teorema de la esfera pellizcada en 1/4 . Por el contrario, la curvatura negativa es genérica: por ejemplo, cualquier variedad de dimensión admite una métrica con curvatura de Ricci negativa.
Este fenómeno es evidente ya para las superficies: hay una única superficie cerrada orientable (y una única no orientable) con curvatura positiva (la esfera y el plano proyectivo ), y lo mismo para curvatura cero (el toro y la botella de Klein ), y todas las superficies de género superior admiten sólo métricas de curvatura negativa.
De manera similar para las 3-variedades: de las 8 geometrías , todas excepto la hiperbólica están bastante restringidas.
Por lo tanto, las variedades diferenciables de dimensión 4 son las más complicadas: no son geometrizables (como en una dimensión inferior), ni se clasifican quirúrgicamente (como en una dimensión superior o topológicamente), y exhiben fenómenos inusuales, el más sorprendente de los cuales es la innumerable cantidad infinita de estructuras diferenciables exóticas en R 4 . En particular, las 4-variedades diferenciables son el único caso abierto restante de la conjetura generalizada de Poincaré .
Se puede adoptar un punto de vista de baja dimensión sobre variedades de alta dimensión y preguntar "¿Cuáles variedades de alta dimensión son geometrizables?", para varias nociones de geometrizable (cortadas en piezas geometrizables como en 3 dimensiones, en variedades simplécticas, etc.). En dimensión 4 y superior no todas las variedades son geometrizables, pero son una clase interesante.
Por el contrario, se puede adoptar un punto de vista de alta dimensión sobre variedades de baja dimensión y preguntar "¿Qué predice la cirugía para las variedades de baja dimensión?", es decir, "¿Si la cirugía funcionara en bajas dimensiones, cómo se verían las variedades de baja dimensión?". Entonces se puede comparar la teoría real de las variedades de baja dimensión con el análogo de baja dimensión de las variedades de alta dimensión, y ver si las variedades de baja dimensión se comportan "como se esperaría": ¿de qué manera se comportan como variedades de alta dimensión (pero por diferentes razones o mediante diferentes pruebas) y de qué manera son inusuales?
Existe una única variedad conexa de dimensión cero, a saber, el punto, y las variedades de dimensión cero desconectadas son simplemente conjuntos discretos, clasificados por cardinalidad. No tienen geometría y su estudio es la combinatoria.
Una variedad unidimensional compacta y conexa sin borde es homeomorfa (o difeomorfa si es suave) al círculo. Una segunda variedad unidimensional no compacta y numerable es homeomorfa o difeomorfa a la recta real. Si se descarta el supuesto de segunda numerabilidad, se obtienen dos variedades adicionales: la recta larga y un espacio formado por un rayo de la recta real y un rayo de la recta larga que se encuentran en un punto. [1]
El estudio de las aplicaciones de variedades unidimensionales es un área no trivial. Por ejemplo:
Toda variedad bidimensional cerrada y conexa (superficie) admite una métrica de curvatura constante, por el teorema de uniformización . [3] Hay 3 curvaturas de este tipo (positiva, cero y negativa). Este es un resultado clásico y, como se dijo, fácil (el teorema de uniformización completo es más sutil). El estudio de superficies está profundamente conectado con el análisis complejo y la geometría algebraica , ya que cada superficie orientable puede considerarse una superficie de Riemann o una curva algebraica compleja . Si bien la clasificación de superficies es clásica, las aplicaciones de superficies son un área activa; vea a continuación.
Toda variedad tridimensional cerrada puede cortarse en piezas que sean geometrizables, según la conjetura de geometrización , y existen 8 geometrías de este tipo. Este es un resultado reciente y bastante difícil. La prueba (la solución de la conjetura de Poincaré ) es analítica, no topológica.
Las variedades de cuatro dimensiones son las más inusuales: no son geometrizables (como en dimensiones inferiores) y la cirugía funciona topológicamente, pero no diferenciablemente.
Dado que topológicamente las 4-variedades se clasifican quirúrgicamente, la cuestión de la clasificación diferenciable se formula en términos de "estructuras diferenciables": "¿cuáles 4-variedades (topológicas) admiten una estructura diferenciable, y en aquellas que la admiten, cuántas estructuras diferenciables hay?"
Las cuatro variedades admiten a menudo muchas estructuras diferenciables inusuales, la más sorprendente de las cuales es la cantidad infinita de estructuras diferenciables exóticas en R 4 . De manera similar, las cuatro variedades diferenciables son el único caso abierto restante de la conjetura generalizada de Poincaré .
En la dimensión 5 y superiores (y 4 dimensiones topológicamente), las variedades se clasifican mediante la teoría de cirugía .
La razón para la dimensión 5 es que el truco de Whitney funciona en la dimensión media en dimensión 5 y más: dos discos de Whitney genéricamente no se intersecan en dimensión 5 y superior, por posición general ( ). En dimensión 4, uno puede resolver intersecciones de dos discos de Whitney a través de controladores de Casson , que funcionan topológicamente pero no de manera diferenciable; consulte Topología geométrica: Dimensión para obtener detalles sobre la dimensión.
Más sutilmente, la dimensión 5 es el límite porque la dimensión media tiene una codimensión mayor que 2: cuando la codimensión es 2, se encuentra la teoría de nudos , pero cuando la codimensión es mayor que 2, la teoría de incrustación es manejable, a través del cálculo de funtores . Esto se analiza más adelante.
Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la clasificación de variedades es una parte de la comprensión de la categoría: se trata de clasificar los objetos . La otra cuestión es la clasificación de los mapas de variedades hasta diversas equivalencias, y hay muchos resultados y preguntas abiertas en esta área.
Para los mapas, la noción apropiada de "baja dimensión" es para algunos propósitos "automapas de variedades de baja dimensión", y para otros propósitos "baja codimensión ".
De manera análoga a la clasificación de variedades, en codimensión alta ( es decir más de 2), las incrustaciones se clasifican quirúrgicamente, mientras que en codimensión baja o en dimensión relativa , son rígidas y geométricas, y en el medio (codimensión 2), se tiene una teoría exótica difícil ( teoría de nudos ).
Las clases de mapas particularmente interesantes desde el punto de vista topológico incluyen incrustaciones, inmersiones y sumersiones.
Geométricamente interesantes son las isometrías y las inmersiones isométricas.
Los resultados fundamentales en incrustaciones e inmersiones incluyen:
Las herramientas clave para estudiar estos mapas son:
Se pueden clasificar los mapas hasta diversas equivalencias:
Los difeomorfismos hasta el cobordismo han sido clasificados por Matthias Kreck [4]
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