En matemáticas , específicamente en geometría y topología , la clasificación de variedades es una cuestión básica, sobre la que se sabe mucho y quedan muchas cuestiones abiertas.
Formalmente, clasificar variedades es clasificar objetos hasta el isomorfismo . Hay muchas nociones diferentes de "variedad" y las nociones correspondientes de "mapa entre variedades", cada una de las cuales produce una categoría diferente y una pregunta de clasificación diferente.
Estas categorías están relacionadas mediante funtores olvidables : por ejemplo, una variedad diferenciable también es una variedad topológica, y un mapa diferenciable también es continuo, por lo que hay un functor .
Estos functores en general no son uno a uno ni onto; Estos fallos se denominan generalmente en términos de "estructura", como sigue. Se dice que una variedad topológica que está en la imagen de "admite una estructura diferenciable", y la fibra sobre una variedad topológica dada son "las diferentes estructuras diferenciables en la variedad topológica dada".
Así, dadas dos categorías, las dos preguntas naturales son:
En categorías más generales, este conjunto de estructura tiene más estructura: en Diff es simplemente un conjunto, pero en Top es un grupo, y funcionalmente así.
Muchas de estas estructuras son estructuras G y la cuestión es la reducción del grupo de estructuras . El ejemplo más familiar es la orientabilidad: algunas variedades son orientables, otras no, y las variedades orientables admiten 2 orientaciones.
Hay dos formas habituales de dar una clasificación: explícitamente, mediante una enumeración, o implícitamente, en términos de invariantes.
Por ejemplo, para superficies orientables, la clasificación de superficies las enumera como la suma conectada de toros, y una invariante que las clasifica es el género o característica de Euler .
Los colectores tienen un rico conjunto de invariantes, que incluyen:
La topología algebraica moderna (más allá de la teoría del cobordismo ), como la (co)homología extraordinaria , se usa poco en la clasificación de variedades, porque estos invariantes son invariantes de homotopía y, por lo tanto, no ayudan con las clasificaciones más finas por encima del tipo de homotopía.
Los grupos de cobordismo (los grupos de bordismo de un punto) se calculan, pero los grupos de bordismo de un espacio (como ) generalmente no.
La clasificación de conjuntos de puntos es básica: generalmente se fijan supuestos de conjuntos de puntos y luego se estudia esa clase de variedad. La clase de colectores clasificada con mayor frecuencia son los colectores cerrados y conectados.
Al ser homogéneas (lejos de cualquier límite), las variedades no tienen invariantes locales de conjuntos de puntos, aparte de su dimensión y límite versus interior, y las propiedades globales de conjuntos de puntos más utilizadas son la compacidad y la conectividad. Los nombres convencionales para combinaciones de estos son:
Por ejemplo, es una variedad compacta, es una variedad cerrada y es una variedad abierta, mientras que no es ninguna de estas.
La característica de Euler es una invariante homológica y, por lo tanto, se puede calcular de manera efectiva dada una estructura CW , por lo que las variedades 2 se clasifican homólogamente.
Las clases características y los números característicos son los correspondientes invariantes homológicos generalizados, pero no clasifican variedades en dimensiones superiores (no son un conjunto completo de invariantes ): por ejemplo, las variedades orientables de 3 son paralelizables (teorema de Steenrod en topología de baja dimensión ) , por lo que todas las clases características desaparecen. En dimensiones superiores, las clases de características en general no desaparecen y proporcionan datos útiles pero no completos.
Las variedades de dimensión 4 y superiores no se pueden clasificar de manera efectiva : dadas dos n -variedades ( ) presentadas como complejos CW o cuerpos de mango , no existe un algoritmo para determinar si son isomorfas (homeomorfas, difeomorfas). Esto se debe a la insolubilidad del problema verbal para grupos , o más precisamente, el problema de trivialidad (dada una presentación finita para un grupo, ¿es el grupo trivial?). Cualquier presentación finita de un grupo se puede realizar como un complejo 2 y se puede realizar como el esqueleto 2 de una variedad 4 (o superior). Por lo tanto, ni siquiera se puede calcular el grupo fundamental de una variedad dada de alta dimensión, y mucho menos una clasificación.
Esta ineficacia es una razón fundamental por la que la teoría quirúrgica no clasifica las variedades hasta el homeomorfismo. En cambio, para cualquier variedad fija M clasifica pares con N una variedad y una equivalencia de homotopía , dos de esos pares, y , considerándose equivalentes si existen un homeomorfismo y una homotopía .
Muchos teoremas clásicos de la geometría riemanniana muestran que las variedades con curvatura positiva están restringidas, siendo el más dramático el teorema de la esfera pellizcada de 1/4 . Por el contrario, la curvatura negativa es genérica: por ejemplo, cualquier variedad de dimensión admite una métrica con curvatura de Ricci negativa.
Este fenómeno ya es evidente para las superficies: hay una única superficie cerrada orientable (y una única no orientable) con curvatura positiva (la esfera y el plano proyectivo ), y lo mismo para curvatura cero (el toroide y la botella de Klein ), y todas Las superficies de género superior admiten únicamente métricas de curvatura negativas.
De manera similar, para 3 variedades: de las 8 geometrías , todas, excepto las hiperbólicas, están bastante restringidas.
Por lo tanto, las variedades diferenciables de dimensión 4 son las más complicadas: no son geometrizables (como en la dimensión inferior), ni están clasificadas mediante cirugía (como en la dimensión superior o topológicamente), y exhiben fenómenos inusuales, lo más sorprendente es la infinidad de variedades diferenciables exóticas. estructuras en R 4 . En particular, las 4 variedades diferenciables son el único caso abierto que queda de la conjetura generalizada de Poincaré .
Uno puede adoptar un punto de vista de baja dimensión sobre variedades de alta dimensión y preguntar "¿Qué variedades de alta dimensión son geometrizables?", para varias nociones de geometrizable (cortado en piezas geometrizables como en 3 dimensiones, en variedades simplécticas, etc.). ). En dimensión 4 y superiores no todas las variedades son geometrizables, pero son una clase interesante.
Por el contrario, uno puede adoptar un punto de vista de alta dimensión sobre variedades de baja dimensión y preguntar "¿Qué predice la cirugía para variedades de baja dimensión?", es decir, "Si la cirugía funcionara en dimensiones bajas, ¿cómo serían las variedades de baja dimensión?" " Luego se puede comparar la teoría real de las variedades de baja dimensión con el análogo de baja dimensión de las variedades de alta dimensión, y ver si las variedades de baja dimensión se comportan "como era de esperar": de qué manera se comportan como variedades de alta dimensión. (pero por diferentes razones o mediante diferentes pruebas) y ¿de qué manera son inusuales?
Hay una variedad de dimensión 0 conectada única, es decir, el punto, y las variedades de dimensión 0 desconectadas son simplemente conjuntos discretos, clasificados por cardinalidad. No tienen geometría y su estudio es la combinatoria.
Una variedad unidimensional conectada sin límite es el círculo (si es compacto) o la línea real (si no). Sin embargo, los mapas de variedades unidimensionales son un área no trivial; vea abajo. [ cita necesaria ]
Cada variedad (superficie) bidimensional cerrada conectada admite una métrica de curvatura constante, según el teorema de uniformización . [1] Hay 3 de estas curvaturas (positiva, cero y negativa). Este es un resultado clásico y, como se dijo, fácil (el teorema de uniformización total es más sutil). El estudio de superficies está profundamente relacionado con el análisis complejo y la geometría algebraica , ya que cada superficie orientable puede considerarse una superficie de Riemann o una curva algebraica compleja . Si bien la clasificación de superficies es clásica, los mapas de superficies son un área activa; vea abajo.
Cada variedad tridimensional cerrada se puede cortar en pedazos que son geometrizables, mediante la conjetura de geometrización , y existen 8 geometrías de este tipo. Este es un resultado reciente y bastante difícil. La prueba (la solución de la conjetura de Poincaré ) es analítica, no topológica.
Las variedades de cuatro dimensiones son las más inusuales: no son geometrizables (como en las dimensiones inferiores) y la cirugía funciona topológicamente, pero no de manera diferenciable.
Dado que topológicamente las 4 variedades se clasifican mediante cirugía, la cuestión de la clasificación diferenciable se formula en términos de "estructuras diferenciables": "qué 4 variedades (topológicas) admiten una estructura diferenciable y, en aquellas que la admiten, cuántas estructuras diferenciables hay". ?"
Las variedades de cuatro a menudo admiten muchas estructuras diferenciables inusuales, lo más sorprendente es la infinidad de estructuras diferenciables exóticas en R 4 . De manera similar, las 4 variedades diferenciables son el único caso abierto que queda de la conjetura generalizada de Poincaré .
En la dimensión 5 y superior (y 4 dimensiones topológicamente), las variedades se clasifican según la teoría de la cirugía .
La razón de la dimensión 5 es que el truco de Whitney funciona en la dimensión media en la dimensión 5 y más: dos discos de Whitney generalmente no se cruzan en la dimensión 5 y superiores, por posición general ( ). En la dimensión 4, se pueden resolver las intersecciones de dos discos de Whitney mediante identificadores de Casson , que funcionan topológicamente pero no de manera diferenciable; consulte Topología geométrica: Dimensión para obtener detalles sobre la dimensión.
Más sutilmente, la dimensión 5 es el límite porque la dimensión intermedia tiene una codimensión mayor que 2: cuando la codimensión es 2, uno encuentra la teoría de nudos , pero cuando la codimensión es mayor que 2, la teoría de incrustación es manejable, a través del cálculo de functores. . Esto se discute más adelante.
Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la clasificación de variedades es una parte de la comprensión de la categoría: es clasificar los objetos . La otra cuestión es clasificar mapas de variedades hasta varias equivalencias, y hay muchos resultados y preguntas abiertas en esta área.
Para los mapas, la noción apropiada de "baja dimensión" es, para algunos fines, "automapas de variedades de baja dimensión" y, para otros fines, "baja codimensión ".
De manera análoga a la clasificación de las variedades, en codimensión alta ( es decir, más de 2), las incrustaciones se clasifican mediante cirugía, mientras que en codimensión baja o en dimensión relativa , son rígidas y geométricas, y en la codimensión media (codimensión 2), se tienen una teoría exótica difícil ( teoría de nudos ).
Las clases de mapas particularmente interesantes topológicamente incluyen incrustaciones, inmersiones y sumersiones.
Geométricamente interesantes son las isometrías y las inmersiones isométricas.
Los resultados fundamentales en incrustaciones e inmersiones incluyen:
Las herramientas clave para estudiar estos mapas son:
Se pueden clasificar los mapas con varias equivalencias:
Matthias Kreck ha clasificado los difeomorfismos hasta el cobordismo:
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
