Anillo de cohomología

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el anillo de cohomología de un espacio topológico X es un anillo formado a partir de los grupos de cohomología de X junto con el producto de copa que sirve como multiplicación del anillo. Aquí la 'cohomología' suele entenderse como cohomología singular , pero la estructura de anillo también está presente en otras teorías como la cohomología de De Rham . También es funtorial : para un mapeo continuo de espacios se obtiene un homomorfismo de anillo en anillos de cohomología, que es contravariante.

Específicamente, dada una secuencia de grupos de cohomología H ^k ( X ; R ) en X con coeficientes en un anillo conmutativo R (típicamente R es Z _n , Z , Q , R o C ) se puede definir el producto de taza , que toma la forma

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

El producto de taza da una multiplicación por la suma directa de los grupos de cohomología.

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Esta multiplicación convierte H ^• ( X ; R ) en un anillo. De hecho, es naturalmente un anillo de N - grado con el entero no negativo k que sirve como grado. El producto en taza respeta esta clasificación.

El anillo de cohomología es conmutativo graduado en el sentido de que el producto de copa conmuta hasta un signo determinado por la clasificación. Específicamente, para elementos puros de grado k y ℓ; tenemos

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Una invariante numérica derivada del anillo de cohomología es la longitud de la copa , que significa el número máximo de elementos graduados de grado ≥ 1 que, cuando se multiplican, dan un resultado distinto de cero. Por ejemplo, un espacio proyectivo complejo tiene una longitud de copa igual a su dimensión compleja .

Ejemplos

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=4}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=4}$
• Según la fórmula de Künneth , el anillo de cohomología mod 2 del producto cartesiano de n copias de es un anillo polinómico en n variables con coeficientes en . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• El anillo de cohomología reducido de sumas de cuña es el producto directo de sus anillos de cohomología reducidos.
• El anillo de cohomología de las suspensiones desaparece excepto la parte de grado 0.

Ver también

• Cohomología cuántica

Referencias

• Novikov, SP (1996). Topología I, Estudio General . Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.