En geometría , el mosaico trihexagonal es uno de los 11 mosaicos uniformes del plano euclidiano por polígonos regulares . [1] Consiste en triángulos equiláteros y hexágonos regulares , dispuestos de manera que cada hexágono está rodeado por triángulos y viceversa. El nombre deriva del hecho de que combina un mosaico hexagonal regular y un mosaico triangular regular . Dos hexágonos y dos triángulos se alternan alrededor de cada vértice , y sus aristas forman una disposición infinita de líneas . Su dual es el mosaico romboidal . [2]
Este patrón, y su lugar en la clasificación de mosaicos uniformes, ya era conocido por Johannes Kepler en su libro de 1619 Harmonices Mundi . [3] El patrón ha sido utilizado durante mucho tiempo en la cestería japonesa , donde se llama kagome . El término japonés para este patrón ha sido adoptado en física, donde se llama red kagome . También se presenta en las estructuras cristalinas de ciertos minerales. Conway lo llama hexadeltille , combinando elementos alternos de un mosaico hexagonal (hextille) y un mosaico triangular (deltille). [4]
Kagome ( en japonés :籠目) es un patrón tradicional japonés de tejido de bambú; su nombre se compone de las palabras kago , que significa "canasta", y me , que significa "ojo(s)", en referencia al patrón de agujeros en una canasta tejida.
El patrón kagome es común en los tejidos de bambú del este de Asia. En 2022, los arqueólogos encontraron restos de tejidos de bambú en las ruinas de Dongsunba en Chongqing, China, del año 200 a. C. Después de 2200 años, el patrón kagome todavía está claro. [5] [6]
Se trata de una disposición tejida de listones compuesta por triángulos entrelazados de manera que cada punto en el que se cruzan dos listones tiene cuatro puntos vecinos, formando el patrón de un mosaico trihexagonal. El proceso de tejido le da al papel tapiz Kagome una simetría de grupo quiral , pág. 6 (632).
El término red de Kagome fue acuñado por el físico japonés Kôdi Husimi y apareció por primera vez en un artículo de 1951 de su asistente Ichirō Shōji. [7] La red de Kagome en este sentido consiste en los vértices y los bordes del mosaico trihexagonal. A pesar del nombre, estos puntos de cruce no forman una red matemática .
Una estructura tridimensional relacionada formada por los vértices y los bordes del panal cúbico de un cuarto , llenando el espacio con tetraedros regulares y tetraedros truncados , se ha llamado red hiper-kagome . [8] Está representada por los vértices y los bordes del panal cúbico de un cuarto , llenando el espacio con tetraedros regulares y tetraedros truncados . Contiene cuatro conjuntos de planos paralelos de puntos y líneas, siendo cada plano una red kagome bidimensional. Una segunda expresión en tres dimensiones tiene capas paralelas de redes bidimensionales y se llama red ortorrómbica-kagome . [8] El panal prismático trihexagonal representa sus bordes y vértices.
Algunos minerales , a saber, jarositas y herbertsmithitas , contienen capas bidimensionales o una disposición tridimensional de átomos en red kagome en su estructura cristalina . Estos minerales muestran nuevas propiedades físicas relacionadas con el magnetismo geométricamente frustrado . Por ejemplo, la disposición de espín de los iones magnéticos en Co 3 V 2 O 8 descansa en una red kagome que exhibe un comportamiento magnético fascinante a bajas temperaturas. [9] Se ha descubierto que los imanes cuánticos realizados en metales Kagome exhiben muchos fenómenos electrónicos y magnéticos inesperados. [10] [11] [12] [13] También se propone que el comportamiento SYK se puede observar en la red kagome bidimensional con impurezas. [14]
El término se utiliza mucho hoy en día en la literatura científica, especialmente por los teóricos que estudian las propiedades magnéticas de una red de Kagome teórica.
Ver también: Crestas de Kagome .
El mosaico trihexagonal tiene el símbolo de Schläfli de r{6,3}, o diagrama de Coxeter .
, simbolizando el hecho de que es un mosaico hexagonal rectificado , {6,3}. Sus simetrías pueden describirse mediante el grupo de papel tapiz p6mm, (*632), [15] y el mosaico puede derivarse como una construcción de Wythoff dentro de los dominios fundamentales reflexivos de este grupo . El mosaico trihexagonal es un mosaico cuasirregular , que alterna dos tipos de polígonos, con configuración de vértices (3.6) 2. También es un mosaico uniforme , uno de los ocho derivados del mosaico hexagonal regular.
Existen dos coloraciones uniformes distintas de un mosaico trihexagonal. Los colores se nombran por índices en las 4 caras alrededor de un vértice (3.6.3.6): 1212, 1232. [1] El segundo se denomina mosaico hexagonal cántico , h 2 {6,3}, con dos colores de triángulos, que existen en simetría p3m1 (*333).
El mosaico trihexagonal se puede utilizar como un empaquetamiento circular , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. [16] Cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el empaquetamiento ( número de besos ).
El mosaico trihexagonal se puede distorsionar geométricamente en mosaicos topológicamente equivalentes de menor simetría. [1] En estas variantes del mosaico, los bordes no necesariamente se alinean para formar líneas rectas.
El mosaico trihexagonal existe en una secuencia de simetrías de mosaicos cuasirregulares con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , que progresan desde mosaicos de la esfera hasta el plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con una simetría de notación orbifold de * n 32 todos estos mosaicos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio fundamental de simetría, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [17] [18]
Hay 2 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices del mosaico trihexagonal. Los apeirógonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices dispuestos como un polígono regular y las figuras de vértices son r -gonales. [19]
El primero está formado por aristas triangulares, dos alrededor de cada vértice, el segundo tiene aristas hexagonales, dos alrededor de cada vértice.
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