En matemáticas , los casi módulos y los casi anillos son ciertos objetos que interpolan entre anillos y sus cuerpos de fracciones . Fueron introducidos por Gerd Faltings (1988) en su estudio de la teoría p -ádica de Hodge .
Sea V un dominio integral local con el ideal maximal m , y K un cuerpo fraccionario de V . La categoría de K - módulos , K - Mod , puede obtenerse como un cociente de V - Mod por la subcategoría de Serre de módulos de torsión , es decir, aquellos N tales que cualquier elemento n en N es aniquilado por algún elemento distinto de cero en el ideal maximal. Si la categoría de módulos de torsión se reemplaza por una subcategoría más pequeña , obtenemos un paso intermedio entre V -módulos y K -módulos. Faltings propuso utilizar la subcategoría de módulos casi cero , es decir, N ∈ V - Mod tal que cualquier elemento n en N es aniquilado por todos los elementos del ideal maximal.
Para que esta idea funcione, m y V deben satisfacer ciertas condiciones técnicas. Sea V un anillo (no necesariamente local) y m ⊆ V un ideal idempotente , es decir, un ideal tal que m 2 = m . Supongamos también que m ⊗ m es un V -módulo plano . Un módulo N sobre V es casi cero con respecto a tal m si para todo ε ∈ m y n ∈ N tenemos εn = 0. Los módulos casi cero forman una subcategoría de Serre de la categoría de V -módulos. La categoría de casi V-módulos , V a - Mod , es una localización de V - Mod a lo largo de esta subcategoría.
El funtor cociente V - Mod → V a - Mod se denota por . Las suposiciones sobre m garantizan que es un funtor exacto que tiene tanto el funtor adjunto derecho como el funtor adjunto izquierdo . Además, es completo y fiel . La categoría de casi módulos es completa y cocompleta .
El producto tensorial de los V -módulos desciende a una estructura monoidal en V a - Mod . Un casi-módulo R ∈ V a - Mod con una función R ⊗ R → R que satisface condiciones naturales, similares a una definición de anillo, se denomina casi- V -álgebra o casi-anillo si el contexto no es ambiguo. Muchas propiedades estándar de las álgebras y morfismos entre ellas se trasladan al mundo de los "casi".
En el artículo original de Faltings, V era el cierre integral de un anillo de valoración discreto en el cierre algebraico de su cuerpo cociente , y m su ideal máximo. Por ejemplo, sea V , es decir, una completitud p -ádica de . Tome m como el ideal máximo de este anillo. Entonces el cociente V/m es un módulo casi cero, mientras que V/p es una torsión, pero no un módulo casi cero ya que la clase de p 1/ p 2 en el cociente no es aniquilada por p 1/ p 2 considerado como un elemento de m .
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefe91520389d67e5605e9843e32ca67e213ab49)
![{\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f86ad0a05c49206177cbe1b1acf4dd5dd854c7)