Campo cuasi-algebraicamente cerrado

En matemáticas , un cuerpo F se llama cuasi-algebraicamente cerrado (o C ₁ ) si cada polinomio homogéneo no constante P sobre F tiene un cero no trivial siempre que el número de sus variables sea mayor que su grado. La idea de cuerpos cuasi-algebraicamente cerrados fue investigada por CC Tsen , un estudiante de Emmy Noether , en un artículo de 1936 (Tsen 1936); y más tarde por Serge Lang en su disertación de la Universidad de Princeton de 1951 y en su artículo de 1952 (Lang 1952). La idea en sí se atribuye al asesor de Lang, Emil Artin .

Formalmente, si P es un polinomio homogéneo no constante en variables

X ₁ , ..., X _N ,

y de grado d satisfactorio

d < N

entonces tiene un cero no trivial sobre F ; es decir, para algún x _i en F , no todos 0, tenemos

P ( x ₁ , ..., x _N ) = 0.

En lenguaje geométrico, la hipersuperficie definida por P , en el espacio proyectivo de grado N − 2 , tiene entonces un punto sobre F .

Ejemplos

• Cualquier cuerpo algebraicamente cerrado es cuasi-algebraicamente cerrado. De hecho, cualquier polinomio homogéneo en al menos dos variables sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tiene un cero no trivial. ^[1]
• Cualquier campo finito está cerrado cuasi-algebraicamente por el teorema de Chevalley-Warning . ^{[2] [3] [4]}
• Los campos de funciones algebraicas de dimensión 1 sobre campos algebraicamente cerrados son cuasi-algebraicamente cerrados por el teorema de Tsen . ^{[3] [5]}
• La extensión máxima no ramificada de un campo completo con una valoración discreta y un campo de residuos perfecto es cuasi-algebraicamente cerrada. ^[3]
• Un campo completo con una valoración discreta y un campo de residuos algebraicamente cerrado es cuasi-algebraicamente cerrado por un resultado de Lang. ^{[3] [6]}
• Un campo pseudoalgebraicamente cerrado de característica cero es cuasi-algebraicamente cerrado. ^[7]

Propiedades

• Cualquier extensión algebraica de un campo cuasi-algebraicamente cerrado es cuasi-algebraicamente cerrado.
• El grupo de Brauer de una extensión finita de un campo cuasi-algebraicamente cerrado es trivial. ^{[8] [9] [10]}
• Un campo cuasi-algebraicamente cerrado tiene una dimensión cohomológica como máximo 1. ^[10]

doacampos

Los campos cuasi-algebraicamente cerrados también se denominan C ₁ . Un campo C _k , de forma más general, es uno para el cual cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial, siempre que

d ^k < N ,

para k ≥ 1. ^[11] La condición fue introducida y estudiada por primera vez por Lang. ^[10] Si un campo es C _i entonces también lo es una extensión finita. ^{[11] [12]} Los campos C ₀ son precisamente los campos algebraicamente cerrados. ^{[13] [14]}

Lang y Nagata demostraron que si un campo es C _k , entonces cualquier extensión de grado de trascendencia n es C _{k + n} . ^{[15] [16] [17]} El k más pequeño tal que K es un campo C _k ( si no existe tal número), se llama dimensión diofántica dd( K ) de K . ^[13] ${\displaystyle \infty }$

do1campos

Todo cuerpo finito es C ₁ . ^[7]

do2campos

Propiedades

Supongamos que el campo k es C ₂ .

• Cualquier cuerpo oblicuo D finito sobre k como centro tiene la propiedad de que la norma reducida D ^∗ → k ^∗ es sobreyectiva. ^[16]
• Toda forma cuadrática en 5 o más variables sobre k es isótropa . ^[16]

La conjetura de Artin

Artin conjeturó que los campos p -ádicos eran C ₂ , pero Guy Terjanian encontró contraejemplos p -ádicos para todos los p . ^{[18] [19]} El teorema de Ax-Kochen aplicó métodos de la teoría de modelos para demostrar que la conjetura de Artin era verdadera para Q _p con p suficientemente grande (dependiendo de d ).

Enclenquedoacampos

Un campo K es débilmente C _{k , d} si para cada polinomio homogéneo de grado d en N variables que satisfacen

dk < N^​

El conjunto cerrado de Zariski V ( f ) de P ⁿ ( K ) contiene una subvariedad que es cerrada por Zariski sobre K .

Un campo que es débilmente C _{k , d} para cada d es débilmente C _k . ^[2]

Propiedades

• Un campo C _k es débilmente C _k . ^[2]
• Un campo PAC débilmente C _k perfecto es C _k . ^[2]
• Un campo K es débilmente C _{k , d} si y sólo si cada forma que satisface las condiciones tiene un punto x definido sobre un campo que es una extensión primaria de K . ^[20]
• Si un campo es débilmente C _k , entonces cualquier extensión de grado de trascendencia n es débilmente C _{k + n} . ^[17]
• Cualquier extensión de un campo algebraicamente cerrado es débilmente C ₁ . ^[21]
• Cualquier campo con grupo de Galois absoluto procíclico es débilmente C ₁ . ^[21]
• Cualquier campo de característica positiva es débilmente C ₂ . ^[21]
• Si el campo de los números racionales y los campos de funciones son débilmente C ₁ , entonces todo campo es débilmente C ₁ . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$

Véase también

• Teorema de Brauer sobre las formas
• Rango Tsen

Citas

1. Fried y Jarden (2008) pág. 455
2. Fried y Jarden (2008) pág. 456
3. Serre (1979) pág. 162
4. Gille y Szamuley (2006) pág. 142
5. Gille y Szamuley (2006) pág. 143
6. Gille y Szamuley (2006) pág. 144
7. Fried y Jarden (2008) pág. 462
8. Lorenz (2008) pág. 181
9. Serre (1979) pág. 161
10. Gille y Szamuely (2006) p. 141
11. Serre (1997) pág. 87
12. Lang (1997) pág. 245
13. Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2008). Cohomología de campos numéricos . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 323 (2ª ed.). Springer-Verlag . pag. 361.ISBN​ 978-3-540-37888-4.
14. Lorenz (2008) pág. 116
15. Lorenz (2008) pág. 119
16. Serre (1997) pág. 88
17. Fried y Jarden (2008) pág. 459
18. Terjaniano, Guy (1966). "Un contraejemplo de una conjetura de Artin". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (en francés). 262 : A612. Zbl  0133.29705.
19. Lang (1997) pág. 247
20. Fried y Jarden (2008) pág. 457
21. Fried y Jarden (2008) pág. 461

Referencias

• Ax, James ; Kochen, Simon (1965). "Problemas diofánticos sobre campos locales I". Amer. J. Math . 87 (3): 605–630. doi :10.2307/2373065. JSTOR  2373065. Zbl  0136.32805.
• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9.Zbl 1145.12001  .
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-86103-9.Zbl 1137.12001  .
• Greenberg, MJ (1969). Lecciones de formas en muchas variables . Serie de notas de clase de matemáticas. Nueva York-Ámsterdam: WA Benjamin. Zbl  0185.08304.
• Lang, Serge (1952), "Sobre el cierre cuasi algebraico", Anales de Matemáticas , 55 (2): 373–390, doi :10.2307/1969785, JSTOR  1969785, Zbl  0046.26202
• Lang, Serge (1997). Estudio de la geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8.Zbl 0869.11051  .
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Springer. pp. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4.Zbl 1130.12001  .
• Serre, Jean-Pierre (1979). Campos locales . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 67. Traducido por Greenberg, Marvin Jay . Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90424-7.Zbl 0423.12016  .
• Serre, Jean-Pierre (1997). Cohomología de Galois . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9.Zbl 0902.12004  .
• Tsen, C. (1936), "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper", J. Chinese Math. Soc. , 171 : 81–92, Zbl  0015.38803