En matemáticas , el rango Tsen de un cuerpo describe las condiciones en las que un sistema de ecuaciones polinómicas debe tener una solución en el cuerpo . El concepto recibe su nombre de C. C. Tsen , quien introdujo su estudio en 1936.
Consideramos un sistema de m ecuaciones polinómicas en n variables sobre un cuerpo F . Supongamos que todas las ecuaciones tienen término constante cero, de modo que (0, 0, ... ,0) es una solución común. Decimos que F es un cuerpo T i si cada uno de estos sistemas, de grados d 1 , ..., d m tiene una solución común distinta de cero siempre que
El rango Tsen de F es el i más pequeño tal que F es un cuerpo T i . Decimos que el rango Tsen de F es infinito si no es un cuerpo T i para ningún i (por ejemplo, si es formalmente real ).
Definimos una forma normativa de nivel i en un cuerpo F como un polinomio homogéneo de grado d en n = d i variables con solo el cero trivial sobre F (excluimos el caso n = d =1). La existencia de una forma normativa de nivel i en F implica que F es de rango Tsen al menos i − 1. Si E es una extensión de F de grado finito n > 1, entonces la forma normativa de cuerpo para E / F es una forma normativa de nivel 1. Si F admite una forma normativa de nivel i entonces el cuerpo de funciones racionales F ( X ) admite una forma normativa de nivel i + 1. Esto nos permite demostrar la existencia de cuerpos de cualquier rango Tsen dado.
La dimensión diofántica de un cuerpo es el número natural más pequeño k , si existe, tal que el cuerpo de es de clase C k : es decir, tal que cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial siempre que N > d k . Los cuerpos algebraicamente cerrados son de dimensión diofántica 0; los cuerpos cuasi-algebraicamente cerrados son de dimensión 1. [1]
Claramente, si un cuerpo es T i entonces es C i , y T 0 y C 0 son equivalentes, siendo cada uno equivalente a ser algebraicamente cerrado. No se sabe si el rango Tsen y la dimensión diofántica son iguales en general.
