Bonaventura Francesco Cavalieri ( latín : Bonaventura Cavalerius ; 1598 - 30 de noviembre de 1647) fue un matemático italiano y jesuato . [1] Es conocido por su trabajo sobre los problemas de la óptica y el movimiento , su trabajo sobre los indivisibles , los precursores del cálculo infinitesimal y la introducción de los logaritmos en Italia. El principio de Cavalieri en geometría anticipó parcialmente el cálculo integral .
Nacido en Milán , Cavalieri se unió a la orden de los Jesuates (no confundir con los jesuitas ) a la edad de quince años, tomando el nombre de Buenaventura al convertirse en novicio de la orden, y permaneció como miembro hasta su muerte. [2] Hizo sus votos como miembro de pleno derecho de la orden en 1615, a la edad de diecisiete años, y poco después se unió a la casa Jesuat en Pisa. En 1616 era estudiante de geometría en la Universidad de Pisa . Allí estuvo bajo la tutela de Benedetto Castelli , quien probablemente le presentó a Galileo Galilei . En 1617 se unió brevemente a la corte de los Medici en Florencia , bajo el patrocinio del cardenal Federico Borromeo , pero al año siguiente regresó a Pisa y comenzó a enseñar Matemáticas en lugar de Castelli. Solicitó la cátedra de Matemáticas en la Universidad de Bolonia pero fue rechazada. [1]
En 1620, regresó a la casa jesuática de Milán, donde había vivido como noviciado, y se convirtió en diácono bajo el cardenal Borromeo. Estudió teología en el monasterio de San Gerolamo de Milán, y fue nombrado prior del monasterio de San Pedro en Lodi . En 1623 fue nombrado prior del monasterio de San Benito en Parma, pero todavía solicitaba puestos en matemáticas. Se postuló nuevamente a Bolonia y luego, en 1626, a la Sapienza , pero fue rechazado cada vez, a pesar de tomar una licencia de seis meses para apoyar su caso ante la Sapienza en Roma. [1] En 1626 comenzó a sufrir de gota, lo que restringiría sus movimientos por el resto de su vida. [3] También fue rechazado de un puesto en la Universidad de Parma , lo que creía que se debía a su membresía en la orden jesuática, ya que Parma era administrada por la orden jesuita en ese momento. En 1629 fue nombrado catedrático de Matemáticas en la Universidad de Bolonia, lo que se atribuye al apoyo de Galileo al Senado boloñés. [1] [4]
Publicó la mayor parte de su obra mientras estuvo en Bolonia, aunque parte de ella había sido escrita anteriormente; su Geometria Indivisibilibus , donde esbozó lo que más tarde se convertiría en el método de los indivisibles , fue escrito en 1627 mientras estaba en Parma y presentado como parte de su solicitud a Bolonia, pero no se publicó hasta 1635. La recepción crítica contemporánea fue mixta, y Exercitationes geometricae sex (Seis ejercicios de geometría) se publicó en 1647, en parte como respuesta a las críticas. También en Bolonia publicó tablas de logaritmos e información sobre su uso, promoviendo su uso en Italia.
Galileo ejerció una fuerte influencia sobre Cavalieri, y Cavalieri le escribiría al menos 112 cartas. Galileo dijo de él: "pocos, si es que alguno, desde Arquímedes , han profundizado tanto en la ciencia de la geometría". [5] Mantuvo una amplia correspondencia; sus corresponsales conocidos incluyen a Marin Mersenne , Evangelista Torricelli y Vincenzo Viviani . [3] Torricelli en particular jugó un papel decisivo en el perfeccionamiento y la promoción del método de los indivisibles. [1] También se benefició del mecenazgo de Cesare Marsili . [5]
Hacia el final de su vida, su salud empeoró significativamente. La artritis le impidió escribir, y gran parte de su correspondencia fue dictada y escrita por Stephano degli Angeli , compañero jesuato y alumno de Cavalieri. Angeli continuaría desarrollando el método de Cavalieri.
En 1647 murió, probablemente de gota. [3]
De 1632 a 1646, Cavalieri publicó once libros que trataban de problemas de astronomía, óptica, movimiento y geometría.
El primer libro de Cavalieri, publicado por primera vez en 1632 y reimpreso una vez en 1650, fue Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle sectioni coniche , o El espejo ardiente , o Tratado sobre secciones cónicas . [6] El objetivo de Lo Specchio Ustorio era abordar la cuestión de cómo Arquímedes pudo haber utilizado espejos para quemar la flota romana cuando se acercaban a Siracusa , una cuestión aún en debate. [4] [7] El libro fue más allá de este propósito y también exploró las secciones cónicas, los reflejos de la luz y las propiedades de las parábolas. En este libro, desarrolló la teoría de los espejos con forma de parábolas , hipérbolas y elipses , y varias combinaciones de estos espejos. Demostró que si, como se demostró más tarde, la luz tiene una velocidad finita y determinada, existe una mínima interferencia en la imagen en el foco de un espejo parabólico, hiperbólico o elíptico, aunque esto era teórico ya que los espejos necesarios no podían construirse utilizando tecnología contemporánea. Esto produciría mejores imágenes que los telescopios que existían en ese momento. [4] [8]
También demostró algunas propiedades de las curvas. La primera es que, para un rayo de luz paralelo al eje de una parábola y reflejado para pasar por el foco, la suma del ángulo incidente y su reflexión es igual a la de cualquier otro rayo similar. Luego demostró resultados similares para hipérbolas y elipses. El segundo resultado, útil en el diseño de telescopios reflectores, es que si se extiende una línea desde un punto fuera de una parábola hasta el foco, entonces la reflexión de esta línea en la superficie exterior de la parábola es paralela al eje. Otros resultados incluyen la propiedad de que si una línea pasa por una hipérbola y su foco externo, entonces su reflejo en el interior de la hipérbola pasará por el foco interno; lo contrario de lo anterior, que un rayo dirigido a través de la parábola hasta el foco interno se refleja desde la superficie exterior hasta el foco externo; y la propiedad de que si una línea pasa por un foco interno de una elipse, su reflejo en la superficie interna de la elipse pasará por el otro foco interno. Si bien algunas de estas propiedades ya se habían observado anteriormente, Cavalieri dio la primera prueba de muchas. [4]
Lo Specchio Ustorio también incluyó una tabla de superficies reflectantes y modos de reflexión para uso práctico. [4]
El trabajo de Cavalieri también contenía diseños teóricos para un nuevo tipo de telescopio que utiliza espejos, un telescopio reflector , desarrollado inicialmente para responder a la pregunta del espejo de Arquímedes y luego aplicado a una escala mucho menor como telescopios. [4] [9] Ilustró tres conceptos diferentes para incorporar espejos reflectantes dentro de su modelo de telescopio. El primer plan consistía en un gran espejo cóncavo dirigido hacia el sol para reflejar la luz en un segundo espejo convexo más pequeño. El segundo concepto de Cavalieri consistía en un espejo paraboloide principal, truncado, y un segundo espejo convexo. Su tercera opción ilustra un gran parecido con su concepto anterior, reemplazando la lente secundaria convexa por una lente cóncava. [4]
Inspirándose en trabajos anteriores de Galileo, Cavalieri desarrolló un nuevo enfoque geométrico llamado método de los indivisibles para el cálculo y publicó un tratado sobre el tema, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , o Geometría, desarrollado mediante un nuevo método a través de los indivisibles de los continuos. . Esto fue escrito en 1627, pero no se publicó hasta 1635. En esta obra, Cavalieri considera una entidad a la que se hace referencia en el texto como 'todas las líneas' o 'todos los planos' de una figura, un número indefinido de líneas o planos paralelos. dentro de los límites de una figura que son comparables al área y al volumen, respectivamente, de la figura. Los matemáticos posteriores, mejorando su método, tratarían "todas las líneas" y "todos los planos" como equivalentes o iguales al área y al volumen, pero Cavalieri, en un intento por evitar la cuestión de la composición del continuo, insistió en que los dos eran comparables pero no iguales. [1]
Estos elementos paralelos se denominan indivisibles respectivamente de área y volumen y proporcionan los componentes básicos del método de Cavalieri, y también son características fundamentales del cálculo integral . También utilizó el método de los indivisibles para calcular el resultado que ahora está escrito , en el proceso de calcular el área encerrada en una Espiral de Arquímedes , que luego generalizó a otras figuras, demostrando, por ejemplo, que el volumen de un cono es uno. -tercio del volumen de su cilindro circunscrito. [10]
Una aplicación inmediata del método de los indivisibles es el principio de Cavalieri , que establece que los volúmenes de dos objetos son iguales si las áreas de sus secciones correspondientes son en todos los casos iguales. Dos secciones transversales corresponden si son intersecciones del cuerpo con planos equidistantes de un plano base elegido. (El mismo principio había sido utilizado previamente por Zu Gengzhi (480–525) de China , en el caso específico de calcular el volumen de la esfera. [11] )
El método de los indivisibles expuesto por Cavalieri era poderoso pero su utilidad estaba limitada en dos aspectos. Primero, si bien las pruebas de Cavalieri eran intuitivas y luego se demostró que eran correctas, no eran rigurosas; en segundo lugar, su escritura era densa y opaca. Si bien muchos matemáticos contemporáneos promovieron el método de los indivisibles, la recepción crítica de Geometria indivisibilibus fue severa. André Taquet y Paul Guldin publicaron respuestas a la Geometria indivisibilibus. La crítica particularmente profunda de Guldin sugirió que el método de Cavalieri se derivaba del trabajo de Johannes Kepler y Bartolomeo Sovero , atacó su método por falta de rigor y luego argumentó que no puede haber una relación significativa entre dos infinitos y, por lo tanto, no tiene sentido. para comparar uno con otro. [3] [1]
Los Exercitationes geométricae sex o Seis ejercicios geométricos (1647) de Cavalieri fueron escritos en respuesta directa a las críticas de Guldin. Inicialmente se redactó como un diálogo a la manera de Galileo, pero los corresponsales desaconsejaron el formato por considerarlo innecesariamente incendiario. Las acusaciones de plagio carecían de fundamento, pero gran parte de los Ejercicios trataban de la sustancia matemática de los argumentos de Guldin. Argumentó, falsamente, que su obra consideraba "todas las líneas" como una entidad separada del área de una figura, y luego argumentó que "todas las líneas" y "todos los planos" no se referían al infinito absoluto sino al relativo, y por lo tanto podrían compararse. Estos argumentos no resultaron convincentes para los contemporáneos. [1] No obstante, los Ejercicios representaron una mejora significativa del método de los indivisibles. Al aplicar transformaciones a sus variables, generalizó su resultado integral anterior, mostrando que para n=3 a n=9, lo que ahora se conoce como fórmula de cuadratura de Cavalieri . [3] [10]
Hacia el final de su vida, Cavalieri publicó dos libros sobre astronomía . Si bien utilizan el lenguaje de la astrología , él afirma en el texto que él no creía ni practicaba la astrología . Esos libros fueron la Nuova pratica astrologica (1639) y el Trattato della ruota planetaria perpetua (1646).
Publicó tablas de logaritmos , enfatizando su uso práctico en los campos de la astronomía y la geografía . [3] [1] [5]
Cavalieri también construyó una bomba hidráulica para un monasterio que dirigía. El duque de Mantua obtuvo uno similar. [5]
Según Gilles-Gaston Granger , Cavalieri pertenece junto a Newton , Leibniz , Pascal , Wallis y MacLaurin como uno de los que en los siglos XVII y XVIII "redefinieron el objeto matemático". [12]
El cráter lunar Cavalerius lleva el nombre de Cavalieri.
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