En geometría , la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en un espacio tridimensional encontrada por Werner Boy en 1901. La descubrió por encargo de David Hilbert para demostrar que el plano proyectivo no podía sumergirse en un espacio tridimensional .
La superficie de Boy fue parametrizada explícitamente por primera vez por Bernard Morin en 1978. [1] Rob Kusner y Robert Bryant descubrieron otra parametrización . [2] La superficie de Boy es una de las dos posibles inmersiones del plano proyectivo real que tienen un solo punto triple. [3]
A diferencia de la superficie romana y el cross-cap , no tiene otras singularidades que las autointersecciones (es decir, no tiene puntos de pellizco ).
La superficie de Boy se puede parametrizar de varias formas. Una parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant , [4] es la siguiente: dado un número complejo w cuya magnitud es menor o igual a uno ( ), sea
y luego establecer
luego obtenemos las coordenadas cartesianas x , y y z de un punto en la superficie de Boy.
Si se realiza una inversión de esta parametrización centrada en el punto triple, se obtiene una superficie mínima completa con tres extremos (así se descubrió naturalmente esta parametrización). Esto implica que la parametrización de Bryant-Kusner de las superficies de Boy es "óptima" en el sentido de que es la inmersión "menos curvada" de un plano proyectivo en tres espacios .
Si w se reemplaza por el recíproco negativo de su conjugado complejo , entonces las funciones g 1 , g 2 y g 3 de w se dejan sin cambios.
Reemplazando w en términos de sus partes real e imaginaria w = s + it , y expandiendo la parametrización resultante, se puede obtener una parametrización de la superficie de Boy en términos de funciones racionales de s y t . Esto muestra que la superficie de Boy no es sólo una superficie algebraica , sino incluso una superficie racional . La observación del párrafo anterior muestra que la fibra genérica de esta parametrización consta de dos puntos (es decir, que casi todos los puntos de la superficie de Boy pueden obtenerse mediante dos valores de parámetros).
Sea la parametrización de Bryant-Kusner de la superficie de Boy. Entonces
Esto explica la condición del parámetro: si entonces Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas para En este caso, se tiene Esto significa que, si el punto de la superficie del Niño se obtiene a partir de dos valores de parámetro: En otras palabras, la superficie del Niño tiene ha sido parametrizado por un disco de manera que los pares de puntos diametralmente opuestos en el perímetro del disco son equivalentes. Esto muestra que la superficie del Niño es la imagen del plano proyectivo real , RP 2 mediante un mapa suave . Es decir, la parametrización de la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio euclidiano .
La superficie del niño tiene simetría triple . Esto significa que tiene un eje de simetría rotacional discreta: cualquier giro de 120° alrededor de este eje dejará la superficie con el mismo aspecto. La superficie del Niño se puede cortar en tres piezas mutuamente congruentes .
La superficie del niño se puede utilizar en la eversión de la esfera , como modelo a mitad de camino . Un modelo intermedio es una inmersión de la esfera con la propiedad de que una rotación intercambia el interior y el exterior, por lo que se puede emplear para evertir (dar la vuelta) una esfera. Las superficies de Boy (el caso p = 3) y Morin (el caso p = 2) comienzan una secuencia de modelos intermedios con mayor simetría propuestos por primera vez por George Francis, indexados por los enteros pares 2p (para p impar, estas inmersiones pueden ser factorizado a través de un plano proyectivo). La parametrización de Kusner produce todos estos.
El Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach tiene un modelo grande de la superficie de un niño fuera de la entrada, construido y donado por Mercedes-Benz en enero de 1991. Este modelo tiene una simetría rotacional triple y minimiza la energía de Willmore de la superficie. Consiste en tiras de acero que representan la imagen de una cuadrícula de coordenadas polares bajo una parametrización dada por Robert Bryant y Rob Kusner. Los meridianos (rayos) se convierten en tiras de Möbius normales , es decir, giradas 180 grados. Todas menos una de las franjas correspondientes a los círculos de latitud (círculos radiales alrededor del origen) están sin torcer, mientras que la que corresponde al límite del círculo unitario es una franja de Möbius torcida tres veces 180 grados, como es el emblema del instituto. (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011).
El soplador de vidrio Lucas Clarke, con la cooperación de Adam Savage , hizo un modelo en vidrio para presentarlo a Clifford Stoll . Apareció en el canal de YouTube de Adam Savage , Tested . Los tres aparecieron en el video discutiéndolo. [5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Estoy} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{ 6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\ izquierda(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\ nombre del operador {Estoy} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\ \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e2d30d1e2883a59c352c8e82321c4d4bca4bff)
