Bonaventura Francesco Cavalieri ( en latín : Bonaventura Cavalerius ; 1598 - 30 de noviembre de 1647) fue un matemático italiano y jesuíta . [1] Es conocido por su trabajo sobre los problemas de la óptica y el movimiento , su trabajo sobre los indivisibles , los precursores del cálculo infinitesimal y la introducción de los logaritmos en Italia. El principio de Cavalieri en geometría anticipó parcialmente el cálculo integral .
Nacido en Milán , Cavalieri se unió a la orden de los Jesuates (que no debe confundirse con los jesuitas [2] ) a la edad de quince años, tomando el nombre de Bonaventura al convertirse en novicio de la orden, y permaneció como miembro hasta su muerte. [3] Hizo sus votos como miembro de pleno derecho de la orden en 1615, a la edad de diecisiete años, y poco después se unió a la casa de los Jesuat en Pisa. En 1616 era estudiante de geometría en la Universidad de Pisa . Allí estuvo bajo la tutela de Benedetto Castelli , quien probablemente lo presentó a Galileo Galilei . En 1617 se unió brevemente a la corte de los Medici en Florencia , bajo el patrocinio del cardenal Federico Borromeo , pero al año siguiente regresó a Pisa y comenzó a enseñar matemáticas en lugar de Castelli. Solicitó la cátedra de matemáticas en la Universidad de Bolonia, pero fue rechazado. [1]
En 1620, regresó a la casa jesuítica de Milán, donde había vivido como noviciado, y se convirtió en diácono bajo el cardenal Borromeo. Estudió teología en el monasterio de San Gerolamo en Milán, y fue nombrado prior del monasterio de San Pedro en Lodi . En 1623 fue nombrado prior del monasterio de San Benito en Parma, pero todavía estaba solicitando puestos en matemáticas. Solicitó nuevamente a Bolonia y luego, en 1626, a la Sapienza , pero fue rechazado en ambas ocasiones, a pesar de tomar seis meses de licencia para apoyar su caso en la Sapienza en Roma. [1] En 1626 comenzó a sufrir de gota, lo que restringiría sus movimientos por el resto de su vida. [4] También fue rechazado de un puesto en la Universidad de Parma , que creía que se debía a su membresía en la orden jesuítica, ya que Parma estaba administrada por la orden jesuita en ese momento. En 1629 fue nombrado catedrático de Matemáticas en la Universidad de Bolonia, lo que se atribuye al apoyo que Galileo le dio ante el senado boloñés. [1] [5]
Publicó la mayor parte de su obra mientras estaba en Bolonia, aunque parte de ella ya había sido escrita con anterioridad; su Geometria Indivisibilibus , donde esbozaba lo que más tarde se convertiría en el método de los indivisibles , fue escrita en 1627 mientras estaba en Parma y presentada como parte de su solicitud a Bolonia, pero no fue publicada hasta 1635. La recepción crítica contemporánea fue mixta, y Exercitationes geométricae sex (Seis ejercicios de geometría) se publicó en 1647, en parte como respuesta a las críticas. También en Bolonia, publicó tablas de logaritmos e información sobre su uso, promoviendo su uso en Italia.
Galileo ejerció una fuerte influencia sobre Cavalieri, quien le escribió al menos 112 cartas. Galileo dijo de él que «pocos, si es que hubo alguno, desde Arquímedes , han profundizado tanto en la ciencia de la geometría». [6] Mantuvo una amplia correspondencia; entre sus corresponsales conocidos se encuentran Marin Mersenne , Evangelista Torricelli y Vincenzo Viviani . [4] Torricelli, en particular, fue fundamental en el refinamiento y la promoción del método de los indivisibles. [1] También se benefició del patrocinio de Cesare Marsili . [6]
Hacia el final de su vida, su salud se deterioró significativamente. La artritis le impidió escribir, y gran parte de su correspondencia fue dictada y escrita por Stephano degli Angeli , compañero jesuita y alumno de Cavalieri. Angeli continuaría desarrollando el método de Cavalieri.
En 1647 murió, probablemente de gota. [4]
Entre 1632 y 1646, Cavalieri publicó once libros que trataban problemas de astronomía, óptica, movimiento y geometría.
El primer libro de Cavalieri, publicado por primera vez en 1632 y reimpreso una vez en 1650, fue Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche , o El espejo ardiente , o un tratado sobre secciones cónicas . [7] El objetivo de Lo Specchio Ustorio era abordar la cuestión de cómo Arquímedes pudo haber usado espejos para quemar la flota romana mientras se acercaban a Siracusa , una cuestión aún en debate. [5] [8] El libro fue más allá de este propósito y también exploró las secciones cónicas, los reflejos de la luz y las propiedades de las parábolas. En este libro, desarrolló la teoría de los espejos con forma de parábolas , hipérbolas y elipses , y varias combinaciones de estos espejos. Demostró que si, como se demostró más tarde, la luz tiene una velocidad finita y determinada, la interferencia en la imagen en el foco de un espejo parabólico, hiperbólico o elíptico es mínima, aunque esto era teórico, ya que los espejos necesarios no podían construirse con la tecnología contemporánea, lo que produciría mejores imágenes que los telescopios que existían en ese momento. [5] [9]
También demostró algunas propiedades de las curvas. La primera es que, para un rayo de luz paralelo al eje de una parábola y reflejado de modo que pase por el foco, la suma del ángulo de incidencia y su reflexión es igual a la de cualquier otro rayo similar. Luego demostró resultados similares para hipérbolas y elipses. El segundo resultado, útil en el diseño de telescopios reflectores, es que si se extiende una línea desde un punto exterior a una parábola hasta el foco, entonces la reflexión de esta línea en la superficie exterior de la parábola es paralela al eje. Otros resultados incluyen la propiedad de que si una línea pasa por una hipérbola y su foco externo, entonces su reflexión en el interior de la hipérbola pasará por el foco interno; lo inverso del anterior, que un rayo dirigido a través de la parábola hacia el foco interno se refleja desde la superficie exterior hacia el foco externo; y la propiedad de que si una línea pasa por un foco interno de una elipse, su reflexión en la superficie interna de la elipse pasará por el otro foco interno. Aunque algunas de estas propiedades ya se habían observado anteriormente, Cavalieri dio la primera prueba de muchas. [5]
Lo Specchio Ustorio también incluyó una tabla de superficies reflectantes y modos de reflexión para uso práctico. [5]
El trabajo de Cavalieri también contenía diseños teóricos para un nuevo tipo de telescopio que utilizaba espejos, un telescopio reflector , desarrollado inicialmente para responder a la pregunta del Espejo de Arquímedes y luego aplicado a una escala mucho más pequeña como telescopios. [5] [10] Ilustró tres conceptos diferentes para incorporar espejos reflectores dentro de su modelo de telescopio. El plan uno consistía en un espejo cóncavo grande dirigido hacia el sol para reflejar la luz en un segundo espejo convexo más pequeño. El segundo concepto de Cavalieri consistía en un espejo paraboloide principal truncado y un segundo espejo convexo. Su tercera opción ilustró una fuerte semejanza con su concepto anterior, reemplazando la lente secundaria convexa con una lente cóncava. [5]
Inspirado por trabajos anteriores de Galileo, Cavalieri desarrolló un nuevo enfoque geométrico llamado el método de los indivisibles para el cálculo y publicó un tratado sobre el tema, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , o Geometría, desarrollada por un nuevo método a través de los indivisibles de los continuos . Este fue escrito en 1627, pero no fue publicado hasta 1635. En este trabajo, Cavalieri considera una entidad a la que se hace referencia en el texto como 'todas las líneas' o 'todos los planos' de una figura, un número indefinido de líneas paralelas o planos dentro de los límites de una figura que son comparables al área y al volumen, respectivamente, de la figura. Matemáticos posteriores, mejorando su método, tratarían 'todas las líneas' y 'todos los planos' como equivalentes o iguales al área y al volumen, pero Cavalieri, en un intento de evitar la cuestión de la composición del continuo, insistió en que los dos eran comparables pero no iguales. [1]
Estos elementos paralelos se denominan indivisibles de área y volumen respectivamente y constituyen los elementos básicos del método de Cavalieri, y también son características fundamentales del cálculo integral . También utilizó el método de indivisibles para calcular el resultado que ahora se escribe , en el proceso de calcular el área encerrada en una espiral de Arquímedes , que luego generalizó a otras figuras, mostrando, por ejemplo, que el volumen de un cono es un tercio del volumen de su cilindro circunscrito. [11]
Una aplicación inmediata del método de los indivisibles es el principio de Cavalieri , que establece que los volúmenes de dos objetos son iguales si las áreas de sus secciones transversales correspondientes son en todos los casos iguales. Dos secciones transversales se corresponden si son intersecciones del cuerpo con planos equidistantes de un plano base elegido. (El mismo principio había sido utilizado previamente por Zu Gengzhi (480–525) de China , en el caso específico del cálculo del volumen de la esfera. [12] )
El método de los indivisibles tal como lo propuso Cavalieri era poderoso, pero su utilidad estaba limitada en dos aspectos. En primer lugar, si bien las pruebas de Cavalieri eran intuitivas y más tarde se demostró que eran correctas, no eran rigurosas; en segundo lugar, su escritura era densa y opaca. Si bien muchos matemáticos contemporáneos promovieron el método de los indivisibles, la recepción crítica de Geometria indivisibilibus fue severa. André Taquet y Paul Guldin publicaron respuestas a Geometria indivisibilibus. La crítica particularmente profunda de Guldin sugirió que el método de Cavalieri se derivaba del trabajo de Johannes Kepler y Bartolomeo Sovero , atacó su método por falta de rigurosidad y luego argumentó que no puede haber una relación significativa entre dos infinitos y, por lo tanto, no tiene sentido comparar uno con otro. [4] [1]
Las Exercitationes geométricae sex o Seis ejercicios geométricos (1647) de Cavalieri fueron escritas como respuesta directa a las críticas de Guldin. Inicialmente fueron redactadas como un diálogo al estilo de Galileo, pero los corresponsales desaconsejaron el formato por ser innecesariamente provocativo. Las acusaciones de plagio carecían de fundamento, pero gran parte de las Exercitationes abordaban la sustancia matemática de los argumentos de Guldin. Argumentó, de manera hipócrita, que su obra consideraba «todas las líneas» como una entidad separada del área de una figura, y luego argumentó que «todas las líneas» y «todos los planos» no abordaban el infinito absoluto sino el relativo y, por lo tanto, podían compararse. Estos argumentos no convencieron a sus contemporáneos. [1] No obstante, las Exercitationes representaron una mejora significativa del método de los indivisibles. Aplicando transformaciones a sus variables, generalizó su resultado integral anterior, mostrando que para n=3 a n=9, lo que ahora se conoce como fórmula de cuadratura de Cavalieri . [4] [11]
Hacia el final de su vida, Cavalieri publicó dos libros sobre astronomía . Si bien utilizan el lenguaje de la astrología , en el texto afirma que no creía en la astrología ni la practicaba . Esos libros fueron la Nuova pratica astrologica (1639) y el Trattato della ruota planetaria perpetua (1646).
Publicó tablas de logaritmos , enfatizando su uso práctico en los campos de la astronomía y la geografía . [4] [1] [6]
Cavalieri también construyó una bomba hidráulica para un monasterio que él dirigía. El duque de Mantua obtuvo una similar. [6]
Según Gilles-Gaston Granger , Cavalieri pertenece junto a Newton , Leibniz , Pascal , Wallis y MacLaurin al grupo de aquellos que en los siglos XVII y XVIII "redefinieron el objeto matemático". [13]
El cráter lunar Cavalerius lleva el nombre de Cavalieri.
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