constante de Boltzmann

Constante física que relaciona la energía cinética de las partículas con la temperatura.

La constante de Boltzmann ( k _B o k ) es el factor de proporcionalidad que relaciona la energía térmica relativa promedio de las partículas en un gas con la temperatura termodinámica del gas. ^[2] Ocurre en las definiciones de kelvin y la constante de los gases , y en la ley de radiación de cuerpo negro de Planck y la fórmula de entropía de Boltzmann , y se utiliza para calcular el ruido térmico en resistencias . La constante de Boltzmann tiene dimensiones de energía dividida por la temperatura, al igual que la entropía . Lleva el nombre del científico austriaco Ludwig Boltzmann .

Como parte de la redefinición de las unidades básicas del SI de 2019 , la constante de Boltzmann es una de las siete " constantes definitorias " a las que se les han dado definiciones exactas. Se utilizan en varias combinaciones para definir las siete unidades básicas del SI. La constante de Boltzmann se define como exactamente1.380 649 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ . ^[1]

Funciones de la constante de Boltzmann

Relaciones entre las leyes de Boyle , Charles , Gay-Lussac , Avogadro , combinada y de los gases ideales , con la constante de Boltzmann k=R/N / _A=norte  r/norte(en cada ley, las propiedades encerradas en un círculo son variables y las propiedades no encerradas en un círculo se mantienen constantes)

Macroscópicamente, la ley de los gases ideales establece que, para un gas ideal , el producto de la presión p y el volumen V es proporcional al producto de la cantidad de sustancia n y la temperatura absoluta T :

$${\displaystyle pV=nRT,}$$

donde R es la constante molar de los gases (8,314 462 618 153 24  J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ). ^[3] Introduciendo la constante de Boltzmann como la constante de los gases por molécula ^[4] k = R / N _A transforma la ley de los gases ideales en una forma alternativa:

$${\displaystyle pV=NkT,}$$

donde N es el número de moléculas de gas.

Papel en la equipartición de la energía.

Dado un sistema termodinámico a una temperatura absoluta T , la energía térmica promedio transportada por cada grado microscópico de libertad en el sistema es1/2 k T (es decir, aproximadamente2,07 × 10 ⁻²¹  J , o0,013  eV , a temperatura ambiente). En general, esto sólo es cierto para los sistemas clásicos con un gran número de partículas y en los que los efectos cuánticos son insignificantes.

En la mecánica estadística clásica , se predice que este promedio se mantendrá exactamente para gases ideales homogéneos . Los gases ideales monoatómicos (los seis gases nobles) poseen tres grados de libertad por átomo, correspondientes a las tres direcciones espaciales. Según la equipartición de energía esto significa que existe una energía térmica de3/2 k T por átomo. Esto se corresponde muy bien con los datos experimentales. La energía térmica se puede utilizar para calcular la velocidad cuadrática media de los átomos, que resulta ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica . Las velocidades cuadráticas medias encontradas a temperatura ambiente reflejan esto con precisión, y van desde1370 m/s para el helio , hasta240 m/s para xenón .

La teoría cinética da la presión promedio p para un gas ideal como

$${\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}$$

Combinación con la ley de los gases ideales.

$${\displaystyle pV=NkT}$$

muestra que la energía cinética de traslación promedio es

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.}$$

Considerando que el vector de velocidad de movimiento traslacional v tiene tres grados de libertad (uno para cada dimensión), se obtiene una energía promedio por grado de libertad igual a un tercio de eso, es decir1/2 kT .​

La ecuación de los gases ideales también la obedecen estrechamente los gases moleculares; pero la forma de la capacidad calorífica es más complicada, porque las moléculas poseen grados de libertad internos adicionales, así como los tres grados de libertad para el movimiento de la molécula en su conjunto. Los gases diatómicos, por ejemplo, poseen un total de seis grados de libertad simple por molécula que están relacionados con el movimiento atómico (tres traslacionales, dos rotacionales y uno vibratorio). A temperaturas más bajas, no todos estos grados de libertad pueden participar plenamente en la capacidad calorífica del gas, debido a los límites de la mecánica cuántica en la disponibilidad de estados excitados a la energía térmica relevante por molécula.

Papel en los factores de Boltzmann

De manera más general, los sistemas en equilibrio a una temperatura T tienen la probabilidad _Pi de ocupar un estado i con energía E ponderada por el correspondiente factor de Boltzmann :

$${\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},}$$

donde Z es la función de partición . Nuevamente, es la cantidad similar a la energía k T la que adquiere una importancia central.

Las consecuencias de esto incluyen (además de los resultados anteriores para gases ideales) la ecuación de Arrhenius en cinética química .

Papel en la definición estadística de entropía.

Tumba de Boltzmann en el Zentralfriedhof de Viena, con busto y fórmula de entropía.

En mecánica estadística, la entropía S de un sistema aislado en equilibrio termodinámico se define como el logaritmo natural de W , el número de estados microscópicos distintos disponibles para el sistema dadas las restricciones macroscópicas (como una energía total fija E ):

$${\displaystyle S=k\,\ln W.}$$

Esta ecuación, que relaciona los detalles microscópicos, o microestados, del sistema (a través de W ) con su estado macroscópico (a través de la entropía S ), es la idea central de la mecánica estadística. Su importancia es tal que está inscrito en la lápida de Boltzmann.

La constante de proporcionalidad k sirve para igualar la entropía mecánica estadística a la entropía termodinámica clásica de Clausius :

$${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}$$

En su lugar, se podría elegir una entropía adimensional reescalada en términos microscópicos, de modo que

$${\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}$$

Esta es una forma más natural y esta entropía reescalada corresponde exactamente a la entropía de información posterior de Shannon .

La energía característica kT es, por tanto, la energía necesaria para aumentar la entropía reescalada en un nat .

El voltaje térmico

En los semiconductores , la ecuación del diodo de Shockley (la relación entre el flujo de corriente eléctrica y el potencial electrostático a través de una unión p-n ) depende de un voltaje característico llamado voltaje térmico , denotado por V _T. El voltaje térmico depende de la temperatura absoluta T como

$${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},}$$

donde q es la magnitud de la carga eléctrica del electrón con un valor1,602 176 634 × 10 ⁻¹⁹  C . ^[5] De manera equivalente,

$${\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}$$

A temperatura ambiente de 300 K (27 °C; 80 °F), V _T es aproximadamente25,85 mV ^{[6] [7]} que se puede derivar ingresando los valores de la siguiente manera:

$${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV} }$$

A la temperatura del estado estándar de 298,15 K (25,00 °C; 77,00 °F), es aproximadamente25,69 mV . La tensión térmica también es importante en plasmas y soluciones electrolíticas (p. ej., la ecuación de Nernst ); en ambos casos proporciona una medida de cuánto se ve afectada la distribución espacial de electrones o iones por un límite mantenido a un voltaje fijo. ^{[8] [9]}

Historia

La constante de Boltzmann lleva el nombre de su descubridor austríaco del siglo XIX, Ludwig Boltzmann . Aunque Boltzmann vinculó por primera vez la entropía y la probabilidad en 1877, la relación nunca se expresó con una constante específica hasta que Max Planck introdujo por primera vez k y le dio un valor más preciso (1,346 × 10 ⁻²³  J/K , aproximadamente un 2,5% menos que la cifra actual), en su derivación de la ley de la radiación del cuerpo negro en 1900-1901. ^[10] Antes de 1900, las ecuaciones que involucraban factores de Boltzmann no se escribían usando las energías por molécula y la constante de Boltzmann, sino más bien usando una forma de la constante del gas R y energías macroscópicas para cantidades macroscópicas de la sustancia. La forma icónica y concisa de la ecuación S = k ln W en la lápida de Boltzmann se debe de hecho a Planck, no a Boltzmann. De hecho, Planck lo introdujo en la misma obra que su homónimo h . ^[11]

En 1920, Planck escribió en su conferencia sobre el Premio Nobel : ^[12]

A esta constante se la suele denominar constante de Boltzmann, aunque, que yo sepa, el propio Boltzmann nunca la introdujo; situación peculiar que puede explicarse por el hecho de que Boltzmann, como se desprende de sus declaraciones ocasionales, nunca pensó en la Posibilidad de realizar una medida exacta de la constante.

Esta "peculiar situación" se ilustra con referencia a uno de los grandes debates científicos de la época. En la segunda mitad del siglo XIX hubo un considerable desacuerdo sobre si los átomos y las moléculas eran reales o si eran simplemente una herramienta heurística para resolver problemas. No hubo acuerdo sobre si las moléculas químicas , medidas por pesos atómicos , eran las mismas que las moléculas físicas , medidas por la teoría cinética . La conferencia de Planck de 1920 continuó: ^[12]

Nada puede ilustrar mejor el ritmo positivo y frenético de progreso que ha logrado el arte de los experimentadores durante los últimos veinte años, que el hecho de que desde entonces se han descubierto no sólo uno, sino un gran número de métodos para medir la masa de una molécula con prácticamente la misma precisión que la alcanzada para un planeta.

En las versiones del SI anteriores a la redefinición de las unidades básicas del SI en 2019 , la constante de Boltzmann era una cantidad medida en lugar de un valor fijo. Su definición exacta también varió a lo largo de los años debido a las redefiniciones del kelvin (ver Kelvin § Historia ) y otras unidades básicas del SI (ver Joule § Historia ).

En 2017, las medidas más precisas de la constante de Boltzmann se obtuvieron mediante termometría acústica de gases, que determina la velocidad del sonido de un gas monoatómico en una cámara elipsoide triaxial mediante resonancias acústicas y de microondas. ^{[13] [14]} Este esfuerzo de una década se llevó a cabo con diferentes técnicas por varios laboratorios; ^[a] es una de las piedras angulares de la redefinición de las unidades básicas del SI de 2019. Con base en estas mediciones, CODATA recomendó1,380 649 × 10 ⁻²³  J/K será el valor fijo final de la constante de Boltzmann que se utilizará para el Sistema Internacional de Unidades . ^[15]

Valor en diferentes unidades

†El valor es exacto pero no expresable como un decimal finito; aproximado a 9 decimales únicamente.

Dado que k es un factor de proporcionalidad entre temperatura y energía, su valor numérico depende de la elección de las unidades para energía y temperatura. El pequeño valor numérico de la constante de Boltzmann en unidades SI significa que un cambio de temperatura de 1 K sólo cambia la energía de una partícula en una pequeña cantidad. un cambio de1  °C se define como lo mismo que un cambio de1K . La energía característica kT es un término que se encuentra en muchas relaciones físicas.

La constante de Boltzmann establece una relación entre la longitud de onda y la temperatura (dividir hc / k por una longitud de onda da una temperatura) con un micrómetro relacionado con14 387 , 777 K , y también una relación entre voltaje y temperatura ( kT en unidades de eV corresponde a un voltaje) con un voltio relacionado con11 604 ,518 K . La relación de estas dos temperaturas,14 387 , 777 mil  / 11 604 .518 K  ≈ 1.239842, es el valor numérico de hc en unidades de eV⋅μm.

Unidades naturales

La constante de Boltzmann proporciona un mapeo de la energía microscópica característica E a la escala de temperatura macroscópica T =mi/k. En física fundamental, este mapeo a menudo se simplifica usando las unidades naturales estableciendo k en la unidad. Esta convención significa que las cantidades de temperatura y energía tienen las mismas dimensiones . ^{[17] [18]} En particular, la unidad SI kelvin se vuelve superflua, ya que se define en términos de julios como 1 K =1,380 649 × 10 ⁻²³  J . ^[19] Con esta convención, la temperatura siempre se da en unidades de energía y la constante de Boltzmann no se necesita explícitamente en las fórmulas. ^[17]

Esta convención simplifica muchas relaciones y fórmulas físicas. Por ejemplo, la fórmula de equipartición para la energía asociada con cada grado de libertad clásico ( arriba) se convierte en ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kT}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T}$$

Como otro ejemplo, la definición de entropía termodinámica coincide con la forma de entropía de la información :

$${\displaystyle S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.}$$

donde Pi es _la probabilidad de cada microestado .

Ver también

• Comité de Datos del Consejo Científico Internacional
• Beta termodinámica
• Lista de científicos cuyos nombres se utilizan en constantes físicas

Notas

1. Técnicas independientes explotadas: termometría acústica de gases, termometría de gases constante dieléctrica, termometría de ruido Johnson. Laboratorios implicados citados por CODATA en 2017: LNE - Cnam (Francia), NPL (Reino Unido), INRIM (Italia), PTB (Alemania), NIST (EE.UU.), NIM (China).

Referencias

1. Newell, David B.; Tiesinga, Eite (2019). El Sistema Internacional de Unidades (SI). Publicación especial 330 del NIST. Gaithersburg, Maryland: Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. doi : 10.6028/nist.sp.330-2019. S2CID  242934226.
2. Richard Feynman (1970). Las conferencias Feynman sobre física Vol I. Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-02115-8.
3. "Actas de la 106ª reunión" (PDF) . 16 a 20 de octubre de 2017.
4. Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Arenque, F. Geoffrey (2002). Química general: principios y aplicaciones modernas (8ª ed.). Prentice Hall. pag. 785.ISBN​ 0-13-014329-4.
5. "Valor CODATA 2018: carga elemental". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
6. Rashid, Muhammad H. (2016). Circuitos microelectrónicos: análisis y diseño (3ª ed.). Aprendizaje Cengage. págs. 183-184. ISBN 9781305635166.
7. Cataldo, Enrico; Di Lieto, Alberto; Maccarrone, Francesco; Paffuti, Giampiero (18 de agosto de 2016). "Medidas y análisis de la característica corriente-tensión de un diodo pn para un laboratorio de pregrado en física". arXiv : 1608.05638v1 [física.ed-ph].
8. Kirby, Brian J. (2009). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos (PDF) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-11903-0.
9. Tabeling, Patrick (2006). Introducción a la Microfluídica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-856864-3.
10. Planck, Max (1901), "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum", Ann. Física. , 309 (3): 553–63, Bibcode :1901AnP...309..553P, doi : 10.1002/andp.19013090310. Traducción al inglés: "Sobre la Ley de Distribución de Energía en el Espectro Normal". Archivado desde el original el 17 de diciembre de 2008.
11. Gearhart, Clayton A. (2002). "Planck, lo cuántico y los historiadores". Física en perspectiva . 4 (2): 177. Código bibliográfico : 2002PhP.....4..170G. doi :10.1007/s00016-002-8363-7. ISSN  1422-6944. S2CID  26918826.
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enlaces externos

• Borrador del Capítulo 2 del Folleto SI, tras las redefiniciones de las unidades básicas (preparado por el Comité Consultivo de Unidades)
• Gran paso hacia la redefinición del kelvin: los científicos encuentran una nueva forma de determinar la constante de Boltzmann