Clasificación de Bianchi

Clasificación del álgebra de Lie

En matemáticas , la clasificación de Bianchi proporciona una lista de todas las álgebras de Lie tridimensionales reales ( hasta el isomorfismo ). La clasificación contiene 11 clases, 9 de las cuales contienen una única álgebra de Lie y dos de las cuales contienen una familia de álgebras de Lie del tamaño de un continuo. (A veces, dos de los grupos se incluyen en las familias infinitas, lo que da 9 clases en lugar de 11). La clasificación es importante en geometría y física, porque los grupos de Lie asociados sirven como grupos de simetría de variedades de Riemann tridimensionales . Recibe su nombre de Luigi Bianchi , quien la elaboró ​​en 1898.

El término "clasificación de Bianchi" también se utiliza para clasificaciones similares en otras dimensiones y para clasificaciones de álgebras de Lie complejas .

Clasificación en dimensión menor a 3

• Dimensión 0: La única álgebra de Lie es el álgebra de Lie abeliana R ⁰ .
• Dimensión 1: La única álgebra de Lie es el álgebra de Lie abeliana R ¹ , con grupo de automorfismos externos, el grupo multiplicativo de números reales distintos de cero.
• Dimensión 2: Hay dos álgebras de Lie:
  • (1) El álgebra de Lie abeliana R ² , con grupo de automorfismos externos GL ₂ ( R ) .
  • (2) El álgebra de Lie resoluble de matrices triangulares superiores de 2×2 con traza 0. Tiene un centro trivial y un grupo de automorfismos externos trivial. El grupo de Lie simplemente conexo asociado es el grupo afín de la línea.

Clasificación en dimensión 3

Todas las álgebras de Lie tridimensionales, excepto los tipos VIII y IX, se pueden construir como un producto semidirecto de R ² y R , con R actuando sobre R ² mediante alguna matriz de 2 por 2 M . Los diferentes tipos corresponden a diferentes tipos de matrices M , como se describe a continuación.

• Tipo I : Se trata del álgebra de Lie abeliana y unimodular R ³ . El grupo simplemente conexo tiene centro R ³ y grupo de automorfismos externo GL ₃ ( R ). Este es el caso cuando M es 0.
• Tipo II : El álgebra de Heisenberg , que es nilpotente y unimodular. El grupo simplemente conexo tiene centro R y grupo de automorfismos externo GL ₂ ( R ). Este es el caso cuando M es nilpotente pero no 0 (todos los valores propios son 0).
• Tipo III : Esta álgebra es un producto de R y el álgebra de Lie no abeliana bidimensional. (Es un caso límite del tipo VI, donde un valor propio se convierte en cero). Es resoluble y no unimodular. El grupo simplemente conexo tiene centro R y grupo de automorfismos externo el grupo de números reales distintos de cero. La matriz M tiene un valor propio cero y uno distinto de cero.
• Tipo IV : El álgebra generada por [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Es resoluble y no unimodular. El grupo simplemente conexo tiene centro trivial y grupo de automorfismos externos el producto de los números reales y un grupo de orden 2. La matriz M tiene dos valores propios iguales distintos de cero, pero no es diagonalizable .
• Tipo V : [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . Resoluble y no unimodular. (Un caso límite del tipo VI donde ambos valores propios son iguales.) El grupo simplemente conexo tiene centro trivial y grupo de automorfismos externos los elementos de GL ₂ ( R ) de determinante +1 o −1. La matriz M tiene dos valores propios iguales y es diagonalizable.
• Tipo VI : Una familia infinita: productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios reales distintos de cero y suma distinta de cero. Las álgebras son resolubles y no unimodulares. El grupo simplemente conexo tiene centro trivial y grupo de automorfismos externos producto de los números reales distintos de cero y un grupo de orden 2.
• Tipo VI ₀ : Esta álgebra de Lie es el producto semidirecto de R ² por R , con R donde la matriz M tiene valores propios reales distintos de cero y de suma cero. Es resoluble y unimodular. Es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré bidimensional , el grupo de isometrías del espacio de Minkowski bidimensional . El grupo simplemente conexo tiene como grupo de automorfismos externos y centro trivial el producto de los números reales positivos con el grupo diedro de orden 8.
• Tipo VII : Familia infinita: productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios no reales ni imaginarios. Resoluble y no unimodular. El grupo simplemente conexo tiene centro trivial y grupo de automorfismos externos los reales no nulos.
• Tipo VII ₀ : Producto semidirecto de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios imaginarios distintos de cero. Resoluble y unimodular. Esta es el álgebra de Lie del grupo de isometrías del plano. El grupo simplemente conexo tiene centro Z y grupo de automorfismos externos producto de los números reales distintos de cero y un grupo de orden 2.
• Tipo VIII : El álgebra de Lie sl ₂ ( R ) de matrices 2 por 2 sin traza, asociada al grupo SL ₂ ( R ) . Es simple y unimodular. El grupo simplemente conexo no es un grupo matricial; se denota por , tiene centro Z y su grupo de automorfismos externo es de orden 2. ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$
• Tipo IX : Álgebra de Lie del grupo ortogonal O ₃ ( R ). Se denota por 𝖘𝖔(3) y es simple y unimodular. El grupo simplemente conexo correspondiente es SU(2) ; tiene centro de orden 2 y grupo de automorfismos externos triviales, y es un grupo de espín .

La clasificación de las álgebras de Lie complejas tridimensionales es similar, excepto que los tipos VIII y IX se vuelven isomorfos y los tipos VI y VII pasan a formar parte de una única familia de álgebras de Lie.

Los grupos de Lie tridimensionales conexos se pueden clasificar de la siguiente manera: son un cociente del grupo de Lie simplemente conexo correspondiente por un subgrupo discreto del centro, por lo que se puede leer en la tabla anterior.

Los grupos están relacionados con las 8 geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston . Más precisamente, siete de las 8 geometrías pueden realizarse como una métrica invariante por la izquierda en el grupo simplemente conexo (a veces de más de una manera). La geometría de Thurston de tipo S ² × R no puede realizarse de esta manera.

Constantes de estructura

Los espacios tridimensionales de Bianchi admiten cada uno un conjunto de tres campos vectoriales de Killing que obedecen a la siguiente propiedad: ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \xi _{i}^{(c)}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \xi _{k}^{(c)}}{\partial x^{i}}}\right)\xi _{(a)}^{i}\xi _{(b)}^{k}=C_{\ ab}^{c}}$

donde , las "constantes de estructura" del grupo, forman un tensor de orden tres constante antisimétrico en sus dos índices inferiores. Para cualquier espacio de Bianchi tridimensional, viene dada por la relación ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$ ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$

${\displaystyle C_{\ ab}^{c}=\varepsilon _{abd}n^{cd}-\delta _{a}^{c}a_{b}+\delta _{b}^{c}a_{a}}$

donde es el símbolo de Levi-Civita , es el delta de Kronecker , y el tensor vectorial y diagonal se describen en la siguiente tabla, donde da el i -ésimo valor propio de ; ^[1] el parámetro a se ejecuta sobre todos los números reales positivos : ${\displaystyle \varepsilon _{abd}}$ ${\displaystyle \delta _{a}^{c}}$ ${\displaystyle a_{a}=(a,0,0)}$ ${\displaystyle n^{cd}}$ ${\displaystyle n^{(i)}}$ ${\displaystyle n^{cd}}$

Figura 1. El espacio de parámetros como un 3-plano (clase A) y un semi-3-plano ortogonal (clase B) en R ⁴ con coordenadas ( n ⁽¹⁾ , n ⁽²⁾ , n ⁽³⁾ , a ), mostrando los representantes canónicos de cada tipo Bianchi.

La clasificación estándar de Bianchi se puede derivar de las constantes estructurales en los siguientes seis pasos:

1. Debido a la antisimetría , hay nueve constantes independientes . Estas pueden representarse de manera equivalente por los nueve componentes de una matriz constante arbitraria C ^ab : donde ε _abd es el símbolo tridimensional totalmente antisimétrico de Levi-Civita (ε ₁₂₃ = 1). La sustitución de esta expresión por en la identidad de Jacobi da como resultado ${\displaystyle C_{ab}^{c}=-C_{ba}^{c}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$
   ${\displaystyle C_{ab}^{c}=\varepsilon _{abd}C^{dc},}$
   ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$
   ${\displaystyle \varepsilon _{abd}C^{bd}C^{ac}=0.}$
2. Las constantes de estructura se pueden transformar como: La aparición de det A en esta fórmula se debe al hecho de que el símbolo ε _abd se transforma como densidad tensorial: , donde έ _mnd ≡ ε _mnd . Mediante esta transformación siempre es posible reducir la matriz C ^ab a la forma: Después de tal elección, uno todavía tiene la libertad de hacer transformaciones de tríada pero con las restricciones y
   ${\displaystyle C^{ab}=\left(\det {A}\right)^{-1}A_{m}^{a}A_{n}^{b}{\acute {C}}^{mn}.}$
   ${\displaystyle \varepsilon _{abc}=\left(\det {A}\right)D_{a}^{m}D_{b}^{n}D_{c}^{d}{\acute {\varepsilon }}_{mnd}}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}n_{1}&0&0\\0&C^{22}&C^{23}\\0&C^{32}&C^{33}\end{bmatrix}}.}$
   ${\displaystyle A_{2}^{1}=A_{3}^{1}=0}$ ${\displaystyle A_{1}^{2}=A_{1}^{3}=0.}$
3. Ahora bien, las identidades de Jacobi sólo dan una restricción:
   ${\displaystyle \left(C^{23}-C^{32}\right)n_{1}=0.}$
4. Si n ₁ ≠ 0 entonces C ²³ – C ³² = 0 y por las transformaciones restantes con , la matriz 2 × 2 en C ^ab puede hacerse diagonal. Entonces La condición de diagonalidad para C ^ab se conserva bajo las transformaciones con diagonal . Bajo estas transformaciones, los tres parámetros n ₁ , n ₂ , n ₃ cambian de la siguiente manera: Por estas transformaciones diagonales, el módulo de cualquier n _a (si no es cero) puede hacerse igual a la unidad. Teniendo en cuenta que el cambio simultáneo de signo de todos los n _a no produce nada nuevo, se llega a los siguientes conjuntos invariantemente diferentes para los números n ₁ , n ₂ , n ₃ (invariantemente diferentes en el sentido de que no hay manera de pasar de uno a otro por alguna transformación de la tríada ), es decir a los siguientes tipos diferentes de espacios homogéneos con matriz diagonal C ^ab : ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}\neq 0,\quad {\bar {a}},{\bar {b}}={\bar {2}},{\bar {3}}}$ ${\displaystyle C^{{\bar {a}}{\bar {b}}}}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}n_{1}&0&0\\0&n_{2}&0\\0&0&n_{3}\end{bmatrix}}.}$
   ${\displaystyle A_{b}^{a}}$
   ${\displaystyle n_{a}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)\left(A_{a}^{a}\right)^{2}{\acute {n}}_{a},{\text{no summation over}}\ a.}$
   ${\displaystyle e_{a}^{\bar {a}}=A_{\bar {b}}^{\bar {a}}e_{a}^{\bar {b}}}$
   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ IX&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,1),\\Bianchi\ VIII&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VII_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,0),\\Bianchi\ VI_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,-1,0),\\Bianchi\ II&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,0,0).\end{matrix}}}$
5. Consideremos ahora el caso n ₁ = 0. También puede ocurrir en ese caso que C ²³ – C ³² = 0. Esto vuelve a la situación ya analizada en el paso anterior pero con la condición adicional n ₁ = 0. Ahora, todos los tipos esencialmente diferentes para los conjuntos n ₁ , n ₂ , n ₃ son (0, 1, 1), (0, 1, −1), (0, 0, 1) y (0, 0, 0). Los tres primeros repiten los tipos VII ₀ , VI ₀ , II . En consecuencia, sólo surge un nuevo tipo:
   ${\displaystyle Bianchi\ I\ :\ (n_{1},n_{2},n_{3})\ =\ (0,0,0).}$
6. El único caso que queda es n ₁ = 0 y C ²³ – C ³² ≠ 0. Ahora la matriz 2 × 2 no es simétrica y no se puede hacer diagonal mediante transformaciones usando . Sin embargo, su parte simétrica se puede diagonalizar, es decir, la matriz 3 × 3 C ^ab se puede reducir a la forma: donde a es un número arbitrario. Después de esto, aún queda la posibilidad de realizar transformaciones con diagonal , bajo las cuales las cantidades n ₂ , n ₃ y a cambian de la siguiente manera: Estas fórmulas muestran que para n ₂ , n ₃ , a distinto de cero , la combinación a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ es una cantidad invariante. Mediante la elección de , se puede imponer la condición a > 0 y después de esto, la elección del signo de permite cambiar ambos signos de n ₂ y n ₃ simultáneamente, es decir, el conjunto ( n ₂ , n ₃ ) es equivalente al conjunto (− n ₂ ,− n ₃ ). De ello se deduce que existen las siguientes cuatro posibilidades diferentes: Para las dos primeras, el número a se puede transformar en la unidad mediante la elección de los parámetros y . Para las dos segundas posibilidades, ambos parámetros ya están fijos y a sigue siendo un número positivo invariante y arbitrario. Históricamente, estos cuatro tipos de espacios homogéneos se han clasificado como: El tipo III es solo un caso particular del tipo VI correspondiente a a = 1. Los tipos VII y VI contienen una infinidad de tipos de álgebras invariantemente diferentes correspondientes a la arbitrariedad del parámetro continuo a . El tipo VII ₀ es un caso particular de VII correspondiente a a = 0 mientras que el tipo VI ₀ es un caso particular de VI correspondiente también a a = 0. ${\displaystyle C^{{\bar {a}}{\bar {b}}}({\bar {a}},{\bar {b}}=2,3)}$ ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}\neq 0}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&n_{2}&a\\0&-a&n_{3}\end{bmatrix}},}$
   ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}}$
   ${\displaystyle n_{2}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)^{-1}\left(A_{2}^{2}\right)^{2}{\acute {n}}_{2},\quad n_{3}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)^{-1}\left(A_{3}^{3}\right)^{2}{\acute {n}}_{3},\quad a=\left(A_{1}^{1}\right)^{-1}{\acute {a}}.}$
   ${\displaystyle A_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A_{3}^{3}\left(A_{2}^{2}\right)^{-1}}$
   ${\displaystyle (a,n_{2},n_{3})=(a,0,0),(a,0,1),(a,1,1),(a,1,-1).}$
   
   ${\displaystyle A_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A_{3}^{3}\left(A_{2}^{2}\right)^{-1}}$
   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ V&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,0,0),\\Bianchi\ IV&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,0,1),\\Bianchi\ VII&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(a,1,1),\\Bianchi\ III&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VI&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(a,1,-1).\end{matrix}}}$
   

Curvatura de los espacios de Bianchi

Los espacios de Bianchi tienen la propiedad de que sus tensores de Ricci pueden separarse en un producto de los vectores base asociados al espacio y un tensor independiente de coordenadas.

Para una métrica dada :

${\displaystyle ds^{2}=\gamma _{ab}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}dx^{i}dx^{k}}$

(donde 　son 1-formas ), el tensor de curvatura de Ricci viene dado por: ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}dx^{i}}$ ${\displaystyle R_{ik}}$

${\displaystyle R_{ik}=R_{(a)(b)}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}={\frac {1}{2}}\left[C_{\ \ b}^{cd}\left(C_{cda}+C_{dca}\right)+C_{\ cd}^{c}\left(C_{ab}^{\ \ d}+C_{ba}^{\ \ d}\right)-{\frac {1}{2}}C_{b}^{\ cd}C_{acd}\right]}$

donde los índices de las constantes de estructura se elevan y bajan con lo cual no es una función de . ${\displaystyle \gamma _{ab}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Aplicación cosmológica

En cosmología , esta clasificación se utiliza para un espacio-tiempo homogéneo de dimensión 3+1. El grupo de Lie tridimensional es el grupo de simetría de la porción tridimensional similar al espacio, y la métrica de Lorentz que satisface la ecuación de Einstein se genera variando los componentes métricos en función de t. Las métricas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker son isotrópicas, que son casos particulares de los tipos I, V y IX. Los modelos de tipo I de Bianchi incluyen la métrica de Kasner como un caso especial. Las cosmologías de Bianchi IX incluyen la métrica de Taub . ^[2] Sin embargo, la dinámica cerca de la singularidad está gobernada aproximadamente por una serie de períodos sucesivos de Kasner (Bianchi I). La dinámica complicada, que esencialmente equivale a un movimiento de billar en una porción del espacio hiperbólico, exhibe un comportamiento caótico y se llama Mixmaster ; su análisis se conoce como el análisis BKL en honor a Belinskii, Khalatnikov y Lifshitz. ^{[3] [4]} Trabajos más recientes han establecido una relación de las teorías de (super)gravedad cerca de una singularidad espacial (límite BKL) con álgebras de Kac–Moody de Lorentz , grupos de Weyl y grupos hiperbólicos de Coxeter . ^{[5] [6] [7]} Otros trabajos más recientes se ocupan de la naturaleza discreta del mapa de Kasner y una generalización continua. ^{[8] [9] [10]} En un espacio que es a la vez homogéneo e isótropo, la métrica se determina completamente, dejando libre solo el signo de la curvatura. Asumir solo homogeneidad espacial sin simetría adicional como la isotropía deja considerablemente más libertad para elegir la métrica. Lo siguiente se refiere a la parte espacial de la métrica en un instante dado de tiempo t asumiendo un marco sincrónico de modo que t sea el mismo tiempo sincronizado para todo el espacio. ${\displaystyle \scriptstyle {\text{VII}}_{h}}$

La homogeneidad implica propiedades métricas idénticas en todos los puntos del espacio. Una definición exacta de este concepto implica considerar conjuntos de transformaciones de coordenadas que transforman el espacio en sí mismo, es decir, dejan su métrica inalterada: si el elemento de línea antes de la transformación es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\left(x^{1},x^{2},x^{3}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta },}$

Luego, después de la transformación, el mismo elemento de línea es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\left(x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}\right)dx^{\prime \alpha }dx^{\prime \beta },}$

con la misma dependencia funcional de γ _αβ en las nuevas coordenadas. (Para una definición más teórica e independiente de las coordenadas del espacio homogéneo, véase espacio homogéneo ). Un espacio es homogéneo si admite un conjunto de transformaciones ( un grupo de movimientos ) que lleva cualquier punto dado a la posición de cualquier otro punto. Como el espacio es tridimensional, las diferentes transformaciones del grupo están etiquetadas por tres parámetros independientes.

Figura 2. La tríada e ^{( a )} ( e ⁽¹⁾ , e ⁽²⁾ , e ⁽³⁾ ) es un sistema de coordenadas afín (incluyendo como caso especial el sistema de coordenadas cartesianas) cuyas coordenadas son funciones de las coordenadas curvilíneas x _α (x ₁ , x ₂ , x ₃ ).

En el espacio euclidiano, la homogeneidad del espacio se expresa por la invariancia de la métrica bajo desplazamientos paralelos ( traslaciones ) del sistema de coordenadas cartesianas . Cada traslación está determinada por tres parámetros: los componentes del vector de desplazamiento del origen de coordenadas. Todas estas transformaciones dejan invariantes las tres diferenciales independientes ( dx , dy , dz ) a partir de las cuales se construye el elemento de línea. En el caso general de un espacio homogéneo no euclidiano, las transformaciones de su grupo de movimientos dejan nuevamente invariantes tres formas diferenciales lineales independientes , que, sin embargo, no se reducen a diferenciales totales de ninguna función de coordenadas. Estas formas se escriben como donde el índice latino ( a ) etiqueta tres vectores independientes (funciones de coordenadas); estos vectores se denominan campo de marco o tríada. Las letras griegas etiquetan las tres coordenadas curvilíneas similares al espacio . Un invariante métrico espacial se construye bajo el grupo de movimientos dado con el uso de las formas anteriores: ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}dx^{\alpha }}$

es decir el tensor métrico es

donde los coeficientes η _ab , que son simétricos en los índices a y b , son funciones del tiempo. La elección de los vectores base está dictada por las propiedades de simetría del espacio y, en general, estos vectores base no son ortogonales (de modo que la matriz η _ab no es diagonal).

El triple recíproco de vectores se introduce con la ayuda del delta de Kronecker. ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$

En el caso tridimensional, la relación entre las dos tripletas vectoriales se puede escribir explícitamente

donde el volumen v es

${\displaystyle v=\left\vert e_{\alpha }^{(a)}\right\vert =\mathbf {e} ^{(1)}\cdot \mathbf {e} ^{(2)}\times \mathbf {e} ^{(3)},}$

con e _{( a )} y e ^{( a )} considerados como vectores cartesianos con componentes y , respectivamente. El determinante del tensor métrico ecuación 6b es γ = η v ² donde η es el determinante de la matriz η _ab . ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}}$

Las condiciones requeridas para la homogeneidad del espacio son

Las constantes se denominan constantes de estructura del grupo. ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$

Multiplicando por , la ecuación 6e se puede reescribir en la forma ${\displaystyle e_{(c)}^{\gamma }}$

La ecuación 6e se puede escribir en forma vectorial como

${\displaystyle \mathbf {e} _{(a)}\times \mathbf {e} _{(b)}{\text{curl }}\mathbf {e} ^{(c)}=-C_{ab}^{c},}$

donde nuevamente las operaciones vectoriales se realizan como si las coordenadas x ^α fueran cartesianas. Utilizando la ecuación 6d , se obtiene

y seis ecuaciones más obtenidas por una permutación cíclica de los índices 1, 2, 3.

Las constantes de estructura son antisimétricas en sus índices inferiores como se ve en su definición en la ecuación 6e : Otra condición sobre las constantes de estructura se puede obtener observando que la ecuación 6f se puede escribir en forma de relaciones de conmutación . ${\displaystyle C_{ab}^{c}=-C_{ba}^{c}}$

para los operadores diferenciales lineales

En la teoría matemática de los grupos continuos ( grupos de Lie ) los operadores X _a que satisfacen las condiciones de la ecuación 6h se denominan generadores del grupo . La teoría de los grupos de Lie utiliza operadores definidos utilizando los vectores de Killing en lugar de tríadas . Dado que en la métrica sincrónica ninguno de los componentes γ _αβ depende del tiempo, los vectores de Killing (tríadas) son temporales. ${\displaystyle \xi _{(a)}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$

Las condiciones de la ecuación 6h se derivan de la identidad de Jacobi

${\displaystyle [[X_{a},X_{b}],X_{c}]+[[X_{b},X_{c}],X_{a}]+[[X_{c},X_{a}],X_{b}]=0}$

y tener la forma

Es una ventaja definitiva utilizar, en lugar de las constantes de tres índices , un conjunto de cantidades de dos índices, obtenidas por la transformación dual ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$

donde e _abc = e ^abc es el símbolo antisimétrico unitario (con e ₁₂₃ = +1). Con estas constantes las relaciones de conmutación ecuación 6h se escriben como

La propiedad de antisimetría ya se tiene en cuenta en la definición de la ecuación 6k , mientras que la propiedad de la ecuación 6j toma la forma

La elección de los tres vectores de referencia en las formas diferenciales (y con ellos los operadores X _a ) no es única. Pueden ser sometidos a cualquier transformación lineal con coeficientes constantes: ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}dx^{\alpha }}$

Las cantidades η _ab y C ^ab se comportan como tensores (son invariantes) con respecto a tales transformaciones.

Las condiciones eq. 6m son las únicas que deben satisfacer las constantes de estructura. Pero entre las constantes admisibles por estas condiciones, hay conjuntos equivalentes, en el sentido de que su diferencia está relacionada con una transformación del tipo eq. 6n . La cuestión de la clasificación de los espacios homogéneos se reduce a determinar todos los conjuntos no equivalentes de constantes de estructura. Esto puede hacerse, utilizando las propiedades "tensoriales" de las cantidades C ^ab , mediante el siguiente método simple (CG Behr, 1962).

El tensor asimétrico C ^ab se puede descomponer en una parte simétrica y otra antisimétrica. La primera se denota por n ^ab y la segunda se expresa en términos de su vector dual a _c :

La sustitución de esta expresión en la ecuación 6m conduce a la condición

Mediante las transformaciones de la ecuación 6n, el tensor simétrico n ^ab puede ser llevado a la forma diagonal con valores propios n ₁ , n ₂ , n ₃ . La ecuación 6p muestra que el vector a _b (si existe) se encuentra a lo largo de una de las direcciones principales del tensor n ^ab , la que corresponde al valor propio cero. Sin pérdida de generalidad, por lo tanto, se puede establecer a _b = ( a , 0, 0). Entonces, la ecuación 6p se reduce a an ₁ = 0, es decir, una de las cantidades a o n ₁ debe ser cero. Las identidades de Jacobi toman la forma:

Las únicas libertades restantes son los cambios de signo de los operadores X _a y su multiplicación por constantes arbitrarias. Esto permite cambiar simultáneamente el signo de todos los n _a y también hacer que la cantidad a sea positiva (si es diferente de cero). También todas las constantes de estructura pueden hacerse iguales a ±1, si al menos una de las cantidades a , n ₂ , n ₃ se anula. Pero si las tres cantidades difieren de cero, las transformaciones de escala dejan invariante la razón h = a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ .

Así se llega a la clasificación de Bianchi que enumera los posibles tipos de espacios homogéneos clasificados por los valores de a , n ₁ , n ₂ , n ₃ que se presenta gráficamente en la Fig. 3. En el caso de la clase A ( a = 0), el tipo IX ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³ ) =1) está representado por el octante 2, el tipo VIII ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =–1) está representado por el octante 6, mientras que el tipo VII ₀ ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =0) está representado por el primer cuadrante del plano horizontal y el tipo VI ₀ ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =–1, n ⁽³⁾ =0) está representado por el cuarto cuadrante de este plano; El tipo II (( n ⁽¹⁾ = 1, n ⁽²⁾ = 0, n ⁽³⁾ = 0) está representado por el intervalo [0,1] a lo largo de n ⁽¹⁾ y el tipo I ( n ⁽¹⁾ = 0, n ⁽²⁾ = 0, n ⁽³⁾ = 0) está en el origen. De manera similar, en el caso de la clase B (con n ⁽³⁾ = 0), el tipo VI de Bianchi _h ( a = h , n ⁽¹⁾ = 1, n ⁽²⁾ = –1) se proyecta al cuarto cuadrante del plano horizontal y el tipo VII _h ( a = h , n ⁽¹⁾ = 1, n ⁽²⁾ = 1) se proyecta al primer cuadrante del plano horizontal; estos dos últimos tipos son una única clase de isomorfismo correspondiente a una superficie de valor constante de la función h = a ² ( n ⁽¹⁾ n ⁽²⁾ ) ⁻¹ . Una superficie típica de este tipo se ilustra en un octante, el ángulo θ dado por tan  θ = | h /2| ^1/2 ; los de los octantes restantes se obtienen por rotación a través de múltiplos de π /2, halternando en signo para una magnitud dada | h |. El tipo III es un subtipo de VI _h con a = 1. El tipo V ( a = 1, n ⁽¹⁾ = 0, n ⁽²⁾ = 0) es el intervalo (0,1] a lo largo del eje a y el tipo IV ( a = 1, n ⁽¹⁾ = 1, n ⁽²⁾ = 0) es la cara abierta vertical entre el primer y el cuarto cuadrantes del plano a = 0, siendo este último el límite de clase A de cada tipo.

Las ecuaciones de Einstein para un universo con un espacio homogéneo pueden reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que contienen sólo funciones del tiempo con la ayuda de un campo de referencia. Para ello, es necesario resolver los componentes espaciales de los cuatro vectores y los cuatro tensores a lo largo de la tríada de vectores base del espacio:

${\displaystyle R_{(a)(b)}=R_{\alpha \beta }e_{(a)}^{\alpha }e_{(b)}^{\beta },\quad R_{0(a)}=R_{0\alpha }e_{(a)}^{\alpha },\quad u^{(a)}=u^{\alpha }e_{\alpha }^{(a)},}$

donde todas estas cantidades son ahora funciones únicamente de t ; las cantidades escalares, la densidad de energía ε y la presión de la materia p , también son funciones del tiempo.

Las ecuaciones de Einstein en el vacío en el marco de referencia sincrónico son ^{[11] [12] [nota 1]}

donde es el tensor tridimensional , y P _{αβ es el} tensor de Ricci tridimensional , que se expresa mediante el tensor métrico tridimensional γ _αβ de la misma manera que R _ik se expresa mediante g _ik ; P _αβ contiene solo las derivadas espaciales (pero no temporales) de γ _αβ . Usando tríadas, para la ecuación 11 simplemente se tiene ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha }^{\beta }}{\partial t}}}$

${\displaystyle \varkappa _{(a)(b)}={\frac {\partial \eta _{ab}}{\partial t}},\quad \varkappa _{(a)}^{(b)}={\frac {\partial \eta _{ac}}{\partial t}}\eta ^{cb}.}$

Los componentes de P _{( a )( b )} se pueden expresar en términos de las cantidades η _ab y las constantes de estructura del grupo utilizando la representación de tétrada del tensor de Ricci en términos de cantidades ^[13] ${\displaystyle \lambda _{abc}=\left(e_{(a)i,k}-e_{(a)k,i}\right)e_{(b)}^{i}e_{(c)}^{k}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}=-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{ab,c}^{c}+\lambda _{ba,c}^{c}+\lambda _{ca,b}^{c}+\lambda _{cb,a}^{c}+\lambda _{b}^{cd}\lambda _{cda}+\lambda _{b}^{cd}\lambda _{dca}-{\frac {1}{2}}\lambda _{b}^{cd}\lambda _{acd}+\lambda _{cd}^{c}\lambda _{ab}^{d}+\lambda _{cd}^{c}\lambda _{ba}^{d}\right).}$

Después de reemplazar los símbolos de tres índices por símbolos de dos índices C ^ab y las transformaciones: ${\displaystyle \lambda _{bc}^{a}=C_{bc}^{a}}$

${\displaystyle \eta _{ad}\eta _{bc}\eta _{cf}e^{def}=\eta e_{abc},\quad e_{abf}e^{cdf}=\delta _{a}^{c}\delta _{b}^{d}-\delta _{a}^{d}\delta _{b}^{c}}$

Se obtiene el tensor de Ricci "homogéneo" expresado en constantes de estructura:

${\displaystyle P_{(a)}^{(b)}={\frac {1}{2\eta }}\left\{2C^{bd}C_{ad}+C^{db}C_{ad}+C^{bd}C_{da}-C_{d}^{d}\left(C_{a}^{b}+C_{a}^{b}\right)+\delta _{a}^{b}\left[\left(C_{d}^{d}\right)^{2}-2C^{df}C_{df}\right]\right\}.}$

Aquí, todos los índices se elevan y bajan con el tensor métrico local η _ab

${\displaystyle C_{a}^{b}=\eta _{ac}C^{cb},\quad C_{ab}=\eta _{ac}\eta _{bd}C^{cd}.}$

Las identidades de Bianchi para el tensor tridimensional P _αβ en el espacio homogéneo toman la forma

${\displaystyle P_{b}^{c}C_{ca}^{b}+P_{a}^{c}C_{cb}^{b}=0.}$

Teniendo en cuenta las transformaciones de derivadas covariantes para cuatro vectores arbitrarios A _i y cuatro tensores A _ik

${\displaystyle A_{i;k}e_{(a)}^{i}e_{(b)}^{k}=A_{(a)(b)}-A^{(d)}\gamma _{dab},}$

${\displaystyle A_{ik;l}e_{(a)}^{i}e_{(b)}^{k}e_{(c)}^{l}=A_{(a)(b)(c)}-A_{(b)}^{(d)}\gamma _{dac}+A_{(a)}^{(d)}\gamma _{dbc},}$

Las expresiones finales para los componentes de la tríada del cuatritensor de Ricci son:

Por tanto, al plantear las ecuaciones de Einstein no es necesario utilizar expresiones explícitas para los vectores base como funciones de las coordenadas.

Véase también

• Portal de física

• Tabla de grupos de Lie
• Lista de grupos de Lie simples
• Singularidad BKL

Notas

1. La convención utilizada por BKL es la misma que en el libro de Landau y Lifshitz (1988). Los índices latinos pasan por los valores 0, 1, 2, 3; los índices griegos pasan por los valores espaciales 1, 2, 3. La métrica g _ik tiene la signatura (+ − − −); γ _αβ = − g _αβ es el tensor métrico espacial tridimensional. BKL utiliza un sistema de unidades en el que la velocidad de la luz y la constante gravitacional de Einstein son iguales a 1.

Referencias

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3. Belinsky, Khalatnikov y Lifshitz 1971.
4. Belinsky, Khalatnikov y Lifshitz 1972.
5. Henneaux, Persson y Spindel 2008.
6. Henneaux, Persson y Wesley 2008.
7. Henneaux 2009.
8. Cornish y Levin 1997a.
9. Cornish y Levin 1997b.
10. Cornish y Levin 1997c.
11. Lifshitz y Khalatnikov 1963
12. Landau y Lifshitz 1988, cap. 97
13. Landau y Lifshitz 1988, ecuación (98.14).

Bibliografía

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