Símbolo de Levi-Civita

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , análisis tensorial y geometría diferencial , el símbolo de Levi-Civita o épsilon de Levi-Civita representa una colección de números definidos a partir del signo de una permutación de los números naturales $1, 2, ..., n$ , para algún entero positivo $n$ . Recibe su nombre del matemático y físico italiano Tullio Levi-Civita . Otros nombres incluyen símbolo de permutación , símbolo antisimétrico o símbolo alternante , que hacen referencia a su propiedad antisimétrica y definición en términos de permutaciones.

Las letras estándar para denotar el símbolo de Levi-Civita son la épsilon griega minúscula $ε$ o $ϵ$ , o menos comúnmente la $e$ latina minúscula . La notación de índice permite mostrar permutaciones de una manera compatible con el análisis tensorial: donde cada índice $i$ $1$ $,$ $i$ $2$ $, ...,$ $i$ $n$ toma los valores $1, 2, ...,$ $n$ . Hay $n$ $n$ valores indexados de $ε$ $i$ $1$ $i$ $2$ $...$ $i$ $n$ , que se pueden organizar en una matriz $n$ -dimensional. La propiedad definitoria clave del símbolo es la antisimetría total en los índices. Cuando se intercambian dos índices cualesquiera, sean iguales o no, el símbolo se niega: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\puntos i_{n}}$ $\varepsilon _{\puntos i_{p}\puntos i_{q}\puntos }=-\varepsilon _{\puntos i_{q}\puntos i_{p}\puntos }.$

Si dos índices cualesquiera son iguales, el símbolo es cero. Cuando todos los índices son desiguales, tenemos: donde $p$ (llamada la paridad de la permutación) es el número de intercambios de índices por pares necesarios para descifrar $i$ $1$ $,$ $i$ $2$ $, ...,$ $i$ $n$ en el orden $1, 2, ...,$ $n$ , y el factor $(-1)$ $p$ se llama el signo o firma de la permutación. El valor $ε$ $1 2 ...$ $n$ debe definirse, de lo contrario los valores particulares del símbolo para todas las permutaciones son indeterminados. La mayoría de los autores eligen $ε$ $1 2 ...$ $n$ $= +1$ , lo que significa que el símbolo de Levi-Civita es igual al signo de una permutación cuando todos los índices son desiguales. Esta opción se utiliza en todo este artículo. $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\puntos i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\puntos n},$

El término " símbolo de Levi-Civita $n$ -dimensional" se refiere al hecho de que el número de índices en el símbolo $n$ coincide con la dimensionalidad del espacio vectorial en cuestión, que puede ser euclidiano o no euclidiano , por ejemplo, o el espacio de Minkowski . Los valores del símbolo de Levi-Civita son independientes de cualquier tensor métrico y sistema de coordenadas . Además, el término específico "símbolo" enfatiza que no es un tensor debido a cómo se transforma entre sistemas de coordenadas; sin embargo, puede interpretarse como una densidad de tensores . $\mathbb {R} ^{3}$

El símbolo de Levi-Civita permite expresar el determinante de una matriz cuadrada y el producto vectorial de dos vectores en el espacio euclidiano tridimensional en notación de índice de Einstein .

Definición

El símbolo de Levi-Civita se utiliza con mayor frecuencia en tres y cuatro dimensiones, y hasta cierto punto en dos dimensiones, por lo que se dan aquí antes de definir el caso general.

Dos dimensiones

En dos dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: Los valores se pueden organizar en una matriz antisimétrica de 2 × 2 : $\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j\end{cases}}$ ${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatriz}}$

El uso del símbolo bidimensional es común en materia condensada y en ciertos temas especializados de alta energía como la supersimetría ^[1] y la teoría de twistores ^[2] , donde aparece en el contexto de espinores de 2 .

Tres dimensiones

En tres dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: ^[3] $\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j,k){\text{ es }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ o }}(3,1,2),\\-1&{\text{si }}(i,j,k){\text{ es }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ o }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j,{\text{ o }}j=k,{\text{ o }}k=i\end{cases}}$

Es decir, $ε ijk$ es $1$ si $(i, j, k)$ es una permutación par de $(1, 2, 3)$ , $-1$ si es una permutación impar y 0 si se repite algún índice. Solo en tres dimensiones, las permutaciones cíclicas de $(1, 2, 3)$ son todas permutaciones pares, de manera similar, las permutaciones anticíclicas son todas permutaciones impares. Esto significa que en 3d es suficiente tomar permutaciones cíclicas o anticíclicas de $(1, 2, 3)$ y obtener fácilmente todas las permutaciones pares o impares.

De manera análoga a las matrices bidimensionales, los valores del símbolo tridimensional de Levi-Civita se pueden organizar en una matriz de 3 × 3 × 3 :

donde $i$ es la profundidad ( azul : $i = 1$ ; rojo : $i$ $= 2$ ; verde : $i$ $= 3$ ), $j$ es la fila y $k$ es la columna.

Algunos ejemplos: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {LadrilloRojo}{1}\color {Violeta}{3}\color {Naranja}{2}}=-\varepsilon _{\color {LadrilloRojo}{1}\color {Naranja}{2}\color {Violeta}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violeta}{3}\color {LadrilloRojo}{1}\color {Naranja}{2}}=-\varepsilon _{\color {Naranja}{2}\color {LadrilloRojo}{1}\color {Violeta}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {LadrilloRojo}{1}\color {Naranja}{2}\color {Violeta}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Naranja}{2}\color {Violeta}{3}\color {LadrilloRojo}{1}}=-\varepsilon _{\color {Ladrillo}{1}\color {Violeta}{3}\color {Naranja}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {Ladrillo}{1}\color {Naranja}{2}\color {Violeta}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Naranja}{2}\color {Violeta}{3}\color {Naranja}{2}}=-\varepsilon _{\color {Naranja}{2}\color {Violeta}{3}\color {Naranja}{2}}&=0\end{aligned}}$

Cuatro dimensiones

En cuatro dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: $\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j,k,l){\text{ es una permutación par de }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{si }}(i,j,k,l){\text{ es una permutación impar de }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{en caso contrario}}\end{cases}}$

Estos valores se pueden organizar en una matriz de 4 × 4 × 4 × 4 , aunque en 4 dimensiones y superiores esto es difícil de dibujar.

Algunos ejemplos: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$

Generalización anortedimensiones

De manera más general, en $n$ dimensiones , el símbolo de Levi-Civita se define por: ^[4] $\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Por lo tanto, es el signo de la permutación en el caso de una permutación, y cero en caso contrario.

Usando la notación pi mayúscula $Π$ para la multiplicación ordinaria de números, una expresión explícita para el símbolo es: ^{[ cita requerida ]} donde la función signum (denotada $sgn$ ) devuelve el signo de su argumento mientras descarta el valor absoluto si no es cero. La fórmula es válida para todos los valores de índice, y para cualquier $n$ (cuando $n$ $= 0$ o $n$ $= 1$ , este es el producto vacío ). Sin embargo, calcular la fórmula anterior ingenuamente tiene una complejidad temporal de $O($ $n$ $2$ $)$ , mientras que el signo puede calcularse a partir de la paridad de la permutación a partir de sus ciclos disjuntos en solo $O($ $n$ $log($ $n$ $))$ costo. ${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$

Propiedades

Un tensor cuyos componentes en una base ortonormal están dados por el símbolo de Levi-Civita (un tensor de rango covariante $n$ ) a veces se denomina tensor de permutación .

Según las reglas de transformación ordinarias para tensores, el símbolo de Levi-Civita no cambia bajo rotaciones puras, lo que es coherente con el hecho de que (por definición) es el mismo en todos los sistemas de coordenadas relacionados por transformaciones ortogonales. Sin embargo, el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor porque bajo una transformación ortogonal del determinante jacobiano −1, por ejemplo, una reflexión en un número impar de dimensiones, debería adquirir un signo menos si fuera un tensor. Como no cambia en absoluto, el símbolo de Levi-Civita es, por definición, un pseudotensor.

Como el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor, el resultado de tomar un producto vectorial es un pseudovector , no un vector. ^[5]

En un cambio general de coordenadas , las componentes del tensor de permutación se multiplican por el jacobiano de la matriz de transformación . Esto implica que en sistemas de coordenadas diferentes de aquel en el que se definió el tensor, sus componentes pueden diferir de las del símbolo de Levi-Civita en un factor global. Si el sistema es ortonormal, el factor será ±1 dependiendo de si la orientación del sistema es la misma o no. ^[5]

En la notación tensorial sin índice, el símbolo de Levi-Civita se reemplaza por el concepto de dual de Hodge . ^{[ cita requerida ]}

Los símbolos de suma se pueden eliminar utilizando la notación de Einstein , donde un índice repetido entre dos o más términos indica una suma sobre ese índice. Por ejemplo,

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}

En los siguientes ejemplos, se utiliza la notación de Einstein.

Dos dimensiones

En dos dimensiones, cuando todos los $i, j, m, n$ toman cada uno los valores 1 y 2: ^[3]

Tres dimensiones

Valores de índice y símbolo

En tres dimensiones, cuando todos los $i, j, k, m, n$ toman valores 1, 2 y 3: ^[3]

Producto

El símbolo de Levi-Civita está relacionado con el delta de Kronecker . En tres dimensiones, la relación está dada por las siguientes ecuaciones (las líneas verticales indican el determinante): ^[4]

{\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}

Un caso especial de este resultado ocurre cuando uno de los índices se repite y se suma:

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

En la notación de Einstein, la duplicación del índice $i$ implica la suma en $i$ . Lo anterior se denota entonces $ε ijk ε imn = δ jm δ kn - δ jn δ km$ .

Si se repiten dos índices (y se suman), esto se reduce a:

\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}

nortedimensiones

Valores de índice y símbolo

En $n$ dimensiones, cuando todos $los i 1, ..., i n, j 1, ..., j n$ toman los valores $1, 2, ..., n$ : ^{[ cita requerida ]}

donde el signo de exclamación ( $!$ ) denota el factorial , y $δ ... $ es el delta de Kronecker generalizado . Para cualquier $n$ , la propiedad

\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!

De los hechos se desprende que

Cada permutación es par o impar,
$(+1) 2 = (-1) 2 = 1$ , y
¡ el número de permutaciones de cualquier conjunto $de n elementos es exactamente$ $n!.$

El caso particular de ( 8 ) con es ${\textstyle k=n-2}$ $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{l})\,.$

Producto

En general, para $n$ dimensiones, se puede escribir el producto de dos símbolos de Levi-Civita como: Demostración: Ambos lados cambian de signo al intercambiar dos índices, por lo que sin pérdida de generalidad supongamos que . Si algunos entonces el lado izquierdo es cero, y el lado derecho también es cero ya que dos de sus filas son iguales. De manera similar para . Finalmente, si , entonces ambos lados son 1. $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.$ $i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}$ $i_{c}=i_{c+1}$ $j_{c}=j_{c+1}$ $i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}$

Pruebas

Para ( 1 ), ambos lados son antisimétricos con respecto a $ij$ y $mn$ . Por lo tanto, solo necesitamos considerar el caso $i \neq j$ y $m \neq n$ . Por sustitución, vemos que la ecuación es válida para $ε 12 ε 12$ , es decir, para $i = m = 1$ y $j = n = 2.$ (Ambos lados son entonces uno). Dado que la ecuación es antisimétrica en $ij$ y $mn$ , cualquier conjunto de valores para estos puede reducirse al caso anterior (que se cumple). La ecuación, por lo tanto, es válida para todos los valores de $ij$ y $mn$ .

Usando ( 1 ), tenemos para ( 2 )

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.

Aquí utilizamos la convención de suma de Einstein con $i$ yendo de 1 a 2. A continuación, ( 3 ) se sigue de manera similar a ( 2 ).

Para establecer ( 5 ), observe que ambos lados se anulan cuando $i \neq j$ . De hecho, si $i \neq j$ , entonces no se pueden elegir $m$ y $n$ de manera que ambos símbolos de permutación de la izquierda sean distintos de cero. Entonces, con $i = j$ fijo, solo hay dos formas de elegir $m$ y $n$ de los dos índices restantes. Para cualquiera de esos índices, tenemos

\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1

(sin suma), y el resultado sigue.

Entonces ( 6 ) se sigue ya que 3! = 6 y para cualquier índice distinto $i, j, k$ que tome valores 1, 2, 3 , tenemos

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1

(sin suma, i, j, k

distintos )

Aplicaciones y ejemplos

Determinantes

En álgebra lineal, el determinante de una matriz cuadrada de 3 × 3 $A$ $= [$ $a$ $ij$ $]$ se puede escribir ^[6]

\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}

De manera similar, el determinante de una matriz $n \times n$ $A = [a ij]$ se puede escribir como ^[5]

\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},

donde cada $i r$ debe sumarse sobre $1, ..., n$ , o equivalentemente:

\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},

donde ahora cada $i r$ y cada $j r$ deben sumarse sobre $1, ..., n$ . De manera más general, tenemos la identidad ^[5]

\sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}

Producto vectorial

Producto vectorial (dos vectores)

Sea una base ortonormal de orientación positiva de un espacio vectorial. Si $($ $a$ $1$ $,$ $a$ $2$ $,$ $a$ $3$ $)$ y $($ $b$ $1$ $,$ $b$ $2$ $,$ $b$ $3$ $)$ son las coordenadas de los vectores $a$ y $b$ en esta base, entonces su producto vectorial puede escribirse como determinante: ^[5] $(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )$

\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}

De ahí que también se utilice el símbolo de Levi-Civita, y más simplemente:

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

En la notación de Einstein, los símbolos de suma pueden omitirse y el componente $i$ de su producto vectorial es igual a ^[4]

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

El primer componente es

(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,

Luego, mediante permutaciones cíclicas de 1, 2, 3, se pueden derivar inmediatamente los demás, sin calcularlos explícitamente a partir de las fórmulas anteriores:

{\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}

Producto escalar triple (tres vectores)

De la expresión anterior para el producto vectorial, tenemos:

\mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a}

Si $c = (c 1, c 2, c 3)$ es un tercer vector, entonces el producto escalar triple es igual

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.

De esta expresión se desprende que el producto escalar triple es antisimétrico cuando se intercambia cualquier par de argumentos. Por ejemplo,

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )

Curl (un campo vectorial)

Si $F = (F 1, F 2, F 3)$ es un campo vectorial definido en algún conjunto abierto de como función de la posición $x$ $= ($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $,$ $x$ $3$ $)$ (usando coordenadas cartesianas ). Entonces el componente $i$ del rotacional de $F$ es igual a ^[4] $\mathbb {R} ^{3}$

(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),

que se desprende de la expresión del producto vectorial anterior, sustituyendo los componentes del operador del vector de gradiente (nabla).

Densidad del tensor

En cualquier sistema de coordenadas curvilíneas arbitrario e incluso en ausencia de una métrica en la variedad , el símbolo de Levi-Civita definido anteriormente puede considerarse un campo de densidad tensorial de dos maneras diferentes. Puede considerarse como una densidad tensorial contravariante de peso +1 o como una densidad tensorial covariante de peso −1. En n dimensiones utilizando el delta de Kronecker generalizado, ^[7]^[8]

{\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}

Observe que son numéricamente idénticos. En particular, el signo es el mismo.

Tensores de Levi-Civita

En una variedad pseudo-riemanniana , se puede definir un cuerpo tensorial covariante invariante en cuanto a coordenadas cuya representación de coordenadas concuerda con el símbolo de Levi-Civita siempre que el sistema de coordenadas sea tal que la base del espacio tangente sea ortonormal con respecto a la métrica y coincida con una orientación seleccionada. Este tensor no debe confundirse con el cuerpo de densidad de tensores mencionado anteriormente. La presentación en esta sección sigue de cerca a Carroll 2004.

El tensor covariante de Levi-Civita (también conocido como forma de volumen de Riemann ) en cualquier sistema de coordenadas que coincida con la orientación seleccionada es

E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,

donde $g ab$ es la representación de la métrica en ese sistema de coordenadas. De manera similar, podemos considerar un tensor de Levi-Civita contravariante elevando los índices con la métrica como de costumbre,

E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}\,,

pero observe que si la firma métrica contiene un número impar de valores propios negativos $q$ , entonces el signo de los componentes de este tensor difiere del símbolo estándar de Levi-Civita: ^[9]

E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}},

donde $sgn(det[g ab]) = (-1) q$ , es el símbolo habitual de Levi-Civita que se analiza en el resto de este artículo, y en la derivación usamos la definición del determinante métrico . De manera más explícita, cuando se eligen la orientación del tensor y de la base de manera que , tenemos que . $\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}$ ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ $E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$

De esto podemos inferir la identidad,

E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,

dónde

\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }

es el delta de Kronecker generalizado.

Ejemplo: espacio de Minkowski

En el espacio de Minkowski (el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la relatividad especial ), el tensor covariante de Levi-Civita es

E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,

donde el signo depende de la orientación de la base. El tensor contravariante de Levi-Civita es

E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.

Los siguientes son ejemplos de la identidad general anterior especializada en el espacio de Minkowski (con el signo negativo que surge del número impar de negativos en la firma del tensor métrico en cualquier convención de signos):

{\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}

Véase también

Notas

^ Labelle, P. (2010). Supersimetría . Desmitificada. McGraw-Hill. Págs. 57-58. ISBN. 978-0-07-163641-4.
^ Hadrovich, F. "Twistor Primer" . Consultado el 3 de septiembre de 2013 .
^ abc Tyldesley, J. R. (1973). Introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
^ abcd Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 0-07-033484-6.
^ abcde Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Métodos matemáticos para física e ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Esquemas de Schaum (4.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
^ Murnaghan, F. D. (1925), "El símbolo de Kronecker generalizado y su aplicación a la teoría de determinantes", Amer. Math. Monthly , 32 (5): 233–241, doi :10.2307/2299191, JSTOR 2299191
^ Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Courier Dover Publications. pág. 113. ISBN 0-486-65840-6.
^ Nakahara, Mikio (31 de enero de 2017). Geometría, topología y física (2.ª edición). Boca Raton: CRC Press. doi :10.1201/9781315275826. ISBN 978-1-315-27582-6.

Referencias

Misner, C.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1973). Gravitación . W. H. Freeman & Co. págs. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
Neuenschwander, DE (2015). Cálculo tensorial para física . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs.11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
Carroll, Sean M. (2004), Espacio-tiempo y geometría, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8732-3

Enlaces externos

Este artículo incorpora material del símbolo de permutación de Levi-Civita en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Weisstein, Eric W. "Tensor de permutación". MundoMatemático .