En matemáticas , el grupo de automorfismos externos de un grupo , G , es el cociente , Aut( G ) / Inn( G ) , donde Aut( G ) es el grupo de automorfismos de G e Inn( G ) es el subgrupo que consiste en automorfismos internos . El grupo de automorfismos externos se denota generalmente Out( G ) . Si Out( G ) es trivial y G tiene un centro trivial , entonces se dice que G es completo .
Un automorfismo de un grupo que no es interno se llama automorfismo externo . [1] Las clases laterales de Inn( G ) con respecto a los automorfismos externos son entonces los elementos de Out( G ) ; esto es un ejemplo del hecho de que los cocientes de grupos no son, en general, (isomorfos a) subgrupos. Si el grupo de automorfismos internos es trivial (cuando un grupo es abeliano), el grupo de automorfismos y el grupo de automorfismos externos se identifican naturalmente; es decir, el grupo de automorfismos externos actúa sobre el grupo.
Por ejemplo, para el grupo alternante A n , el grupo de automorfismo externo suele ser el grupo de orden 2, con las excepciones que se indican a continuación. Considerando A n como un subgrupo del grupo simétrico S n , la conjugación por cualquier permutación impar es un automorfismo externo de A n o, más precisamente, "representa la clase del automorfismo externo (no trivial) de A n ", pero el automorfismo externo no corresponde a la conjugación por ningún elemento impar en particular , y todas las conjugaciones por elementos impares son equivalentes hasta la conjugación por un elemento par.
La conjetura de Schreier afirma que Out( G ) es siempre un grupo resoluble cuando G es un grupo simple finito . Ahora se sabe que este resultado es cierto como corolario de la clasificación de grupos simples finitos , aunque no se conoce una prueba más simple.
El grupo de automorfismos externos es dual con el centro en el siguiente sentido: la conjugación por un elemento de G es un automorfismo, lo que produce una función σ : G → Aut( G ) . El núcleo de la función de conjugación es el centro, mientras que el conúcleo es el grupo de automorfismos externos (y la imagen es el grupo de automorfismos internos ). Esto se puede resumir mediante la secuencia exacta
El grupo de automorfismos externos de un grupo actúa sobre las clases de conjugación y, en consecuencia, sobre la tabla de caracteres . Ver detalles en tabla de caracteres: automorfismos externos .
El grupo de automorfismos externos es importante en la topología de superficies porque existe una conexión proporcionada por el teorema de Dehn-Nielsen : el grupo de clases de aplicación extendida de la superficie es el grupo de automorfismos externos de su grupo fundamental .
Para los grupos de automorfismos externos de todos los grupos finitos simples, véase la lista de grupos finitos simples . Los grupos simples esporádicos y los grupos alternantes (distintos del grupo alternante, A 6 ; véase más abajo) tienen todos grupos de automorfismos externos de orden 1 o 2. El grupo de automorfismos externos de un grupo simple finito de tipo Lie es una extensión de un grupo de "automorfismos diagonales" (cíclicos excepto para D n ( q ) , cuando tiene orden 4), un grupo de "automorfismos de cuerpo" (siempre cíclicos), y un grupo de "automorfismos de grafo" (de orden 1 o 2 excepto para D 4 ( q ) , cuando es el grupo simétrico en 3 puntos). Estas extensiones no son siempre productos semidirectos , como lo muestra el caso del grupo alternante A 6 ; en 2003 se dio un criterio preciso para que esto sucediera. [2]
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El grupo de automorfismo externo de un grupo simple finito en alguna familia infinita de grupos simples finitos casi siempre se puede dar mediante una fórmula uniforme que funcione para todos los elementos de la familia. Solo hay una excepción a esto: [3] el grupo alternado A 6 tiene un grupo de automorfismo externo de orden 4, en lugar de 2 como los otros grupos alternados simples (dados por conjugación por una permutación impar ). Equivalentemente, el grupo simétrico S 6 es el único grupo simétrico con un grupo de automorfismo externo no trivial.
Nótese que, en el caso de G = A 6 = PSL(2, 9) , la secuencia 1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 no se divide. Un resultado similar se cumple para cualquier PSL(2, q 2 ) , q impar.
Sea G ahora un grupo reductivo conexo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . Entonces, dos subgrupos de Borel cualesquiera son conjugados por un automorfismo interno, por lo que para estudiar los automorfismos externos es suficiente considerar automorfismos que fijan un subgrupo de Borel dado. Asociado al subgrupo de Borel hay un conjunto de raíces simples , y el automorfismo externo puede permutarlas, mientras se preserva la estructura del diagrama de Dynkin asociado . De esta manera, se puede identificar el grupo de automorfismos del diagrama de Dynkin de G con un subgrupo de Out( G ) .
D 4 tiene un diagrama de Dynkin muy simétrico, que produce un gran grupo de automorfismo externo de Spin(8) , es decir, Out(Spin(8)) = S 3 ; esto se llama trialidad .
La interpretación precedente de los automorfismos externos como simetrías de un diagrama de Dynkin se desprende del hecho general de que, para un álgebra de Lie compleja o realmente simple, 𝔤 , el grupo de automorfismos Aut( 𝔤 ) es un producto semidirecto de Inn( 𝔤 ) y Out( 𝔤 ) ; es decir, la secuencia exacta corta
En el caso complejo y simple, este es un resultado clásico, [4] mientras que para las álgebras de Lie realmente simples, este hecho fue demostrado tan recientemente como en 2010. [5]
El término automorfismo externo se presta a juegos de palabras : el término externalmorfismo se utiliza a veces para automorfismo externo , y una geometría particular sobre la que actúa Out( F n ) se llama espacio exterior .
