Diferencial de una función

Noción en cálculo

En cálculo , el diferencial representa la parte principal del cambio en una función con respecto a los cambios en la variable independiente. El diferencial está definido por ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$$

derivadafvariable ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$$

se cumple, donde la derivada se representa en la notación de Leibniz , y esto es consistente con considerar la derivada como el cociente de las diferenciales. Uno también escribe ${\displaystyle dy/dx}$

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$$

El significado preciso de las variables depende del contexto de la aplicación y del nivel requerido de rigor matemático. El dominio de estas variables puede adquirir un significado geométrico particular si el diferencial se considera como una forma diferencial particular , o un significado analítico si el diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. Tradicionalmente, las variables y se consideran muy pequeñas ( infinitésimos ), y esta interpretación se hace rigurosa en análisis no estándar . ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$

Historia y uso

El diferencial fue introducido por primera vez a través de una definición intuitiva o heurística por Isaac Newton y promovido por Gottfried Leibniz , quien pensó en el diferencial  dy como un cambio infinitamente pequeño (o infinitesimal ) en el valor  y de la función, correspondiente a un cambio infinitamente pequeño  dx. en el argumento de la función  x . Por esa razón, la tasa de cambio instantánea de y con respecto a x , que es el valor de la derivada de la función, se denota por la fracción

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$

notación de Leibniznúmero real ${\displaystyle dy/dx}$

El uso de infinitesimales en esta forma fue ampliamente criticado, por ejemplo en el famoso folleto The Analyst del obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) definió el diferencial sin apelar al atomismo de los infinitesimales de Leibniz. ^{[1] [2]} En cambio, Cauchy, siguiendo a d'Alembert , invirtió el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: la derivada misma se convirtió en el objeto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferencias, y las diferenciales se definieron entonces en términos de él. Es decir, uno era libre de definir el diferencial mediante una expresión ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$$

^[3][4] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$

Según Boyer (1959, p. 12), el enfoque de Cauchy fue una mejora lógica significativa con respecto al enfoque infinitesimal de Leibniz porque, en lugar de invocar la noción metafísica de infinitesimales, las cantidades y ahora podían manipularse exactamente de la misma manera que cualquier otra cantidades reales de manera significativa. El enfoque conceptual general de Cauchy hacia los diferenciales sigue siendo el estándar en los tratamientos analíticos modernos, ^[5] aunque la última palabra sobre el rigor, una noción completamente moderna del límite, se debió en última instancia a Karl Weierstrass . ^[6] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$

En tratamientos físicos, como los aplicados a la teoría de la termodinámica , aún prevalece la visión infinitesimal. Courant y John (1999, p. 184) concilian el uso físico de diferenciales infinitesimales con la imposibilidad matemática de los mismos de la siguiente manera. Los diferenciales representan valores finitos distintos de cero que son menores que el grado de precisión requerido para el propósito particular para el que están destinados. Por lo tanto, los "infinitésimos físicos" no necesitan apelar a un infinitesimal matemático correspondiente para tener un sentido preciso.

Tras los avances del siglo XX en el análisis matemático y la geometría diferencial , quedó claro que la noción de diferencial de una función podía ampliarse de diversas maneras. En el análisis real , es más deseable tratar directamente con el diferencial como parte principal del incremento de una función. Esto lleva directamente a la noción de que el diferencial de una función en un punto es un funcional lineal de un incremento . Este enfoque permite que el diferencial (como un mapa lineal) se desarrolle para una variedad de espacios más sofisticados, dando lugar en última instancia a nociones como el derivado de Fréchet o Gateaux . Asimismo, en geometría diferencial , el diferencial de una función en un punto es una función lineal de un vector tangente (un "desplazamiento infinitamente pequeño"), que lo exhibe como una especie de forma única: la derivada exterior de la función. En el cálculo no estándar , los diferenciales se consideran infinitesimales, que a su vez pueden situarse en una base rigurosa (ver diferencial (infinitesimal) ). ${\displaystyle \Delta x}$

Definición

El diferencial de una función en un punto . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

El diferencial se define en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. ^[7] El diferencial de una función de una sola variable real es la función de dos variables reales independientes y está dado por ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$

$${\displaystyle df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.}$$

Uno o ambos argumentos pueden suprimirse, es decir, uno puede ver o simplemente . Si , el diferencial también se puede escribir como . Dado que , es convencional escribir de modo que se cumpla la siguiente igualdad: ${\displaystyle df(x)}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx(x,\Delta x)=\Delta x}$ ${\displaystyle dx=\Delta x}$

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$$

Esta noción de diferencial es ampliamente aplicable cuando se busca una aproximación lineal a una función, en la que el valor del incremento es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, si es una función diferenciable en , entonces la diferencia en valores ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)}$$

satisface

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$$

donde el error en la aproximación satisface como . En otras palabras, se tiene la identidad aproximada ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon /\Delta x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$

$${\displaystyle \Delta y\approx dy}$$

en el que el error puede hacerse tan pequeño como se desee restringiendo que sea suficientemente pequeño; es decir, ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$$

parte principal (lineal)función lineal ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta x}$

Diferenciales en varias variables

Siguiendo a Goursat (1904, I, §15), para funciones de más de una variable independiente,

$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$

el diferencial parcial de y con respecto a cualquiera de las variables  x ₁ es la parte principal del cambio en y resultante de un cambio  dx ₁ en esa variable. Por tanto, el diferencial parcial es

$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$$

involucrando la derivada parcial de y con respecto a  x ₁ . La suma de los diferenciales parciales con respecto a todas las variables independientes es el diferencial total.

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$$

que es la parte principal del cambio en y resultante de cambios en las variables independientes  x _i .

Más precisamente, en el contexto del cálculo multivariable, siguiendo a Courant (1937b), si f es una función diferenciable, entonces, según la definición de diferenciabilidad , el incremento

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$$

donde los términos de error ε _i  tienden a cero a medida que los incrementos Δ x _i tienden conjuntamente a cero. El diferencial total se define entonces rigurosamente como

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$$

Dado que, con esta definición,

$${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$$

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

Como en el caso de una variable, la identidad aproximada se cumple

$${\displaystyle dy\approx \Delta y}$$

en el que el error total puede hacerse tan pequeño como se desee limitando la atención a incrementos suficientemente pequeños. ${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$

Aplicación del diferencial total a la estimación del error.

En medición, el diferencial total se utiliza para estimar el error de una función en función de los errores de los parámetros . Suponiendo que el intervalo es lo suficientemente corto como para que el cambio sea aproximadamente lineal: ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$ ${\displaystyle x,y,\ldots }$

$${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)\Delta x}$$

y que todas las variables son independientes, entonces para todas las variables,

$${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$$

Esto se debe a que la derivada con respecto al parámetro particular da la sensibilidad de la función a un cambio en , en particular, el error . Como se supone que son independientes, el análisis describe el peor de los casos. Se utilizan los valores absolutos de los errores de los componentes porque, después de un cálculo simple, la derivada puede tener un signo negativo. De este principio se derivan las reglas de error de suma, multiplicación, etc., por ejemplo: ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Dejar . Entonces, el error finito se puede aproximar como ${\displaystyle f(a,b)=ab}$

$${\displaystyle \Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.}$$

Evaluación de las derivadas:

$${\displaystyle \Delta f=b\Delta a+a\Delta b.}$$

Dividiendo por f , que es a × b

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}}$$

Es decir, en la multiplicación, el error relativo total es la suma de los errores relativos de los parámetros.

Para ilustrar cómo esto depende de la función considerada, considere el caso en el que la función es . Entonces, se puede calcular que la estimación del error es ${\displaystyle f(a,b)=a\ln b}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}}$$

ln bln bb

Diferenciales de orden superior

Los diferenciales de orden superior de una función y = f ( x ) de una sola variable x se pueden definir mediante: ^[8]

$${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$$

$${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$$

$${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$$

xx

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$$

Se aplican consideraciones similares a la definición de diferenciales de orden superior de funciones de varias variables. Por ejemplo, si f es una función de dos variables x e y , entonces

$${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$$

coeficiente binomialmultinomial^[9] ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$

Los diferenciales de orden superior en varias variables también se vuelven más complicados cuando se permite que las variables independientes dependan de otras variables. Por ejemplo, para una función f de x e y a las que se les permite depender de variables auxiliares, se tiene

$${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$$

Debido a esta torpeza en la notación, Hadamard (1935) criticó rotundamente el uso de diferenciales de orden superior y concluyó:

En fin, que significa o que representa la igualdad

$${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$$

A mon avis, rien du tout.

Es decir: Finalmente, ¿qué se entiende, o representa, por la igualdad [...]? En mi opinión, nada de nada. A pesar de este escepticismo, los diferenciales de orden superior surgieron como una herramienta importante en el análisis. ^[10]

En estos contextos, el diferencial de orden n de la función f aplicado a un incremento Δ x se define por

$${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$$

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$$

n-diferencia directat Δ x ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$

Esta definición también tiene sentido si f es una función de varias variables (para simplificar, se toma aquí como un argumento vectorial). Entonces el n -ésimo diferencial definido de esta manera es una función homogénea de grado n en el incremento vectorial Δ x . Además, la serie de Taylor de f en el punto x viene dada por

$${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$$

La derivada de Gateaux

Propiedades

Varias propiedades del diferencial se derivan de manera directa de las propiedades correspondientes de la derivada, la derivada parcial y la derivada total. Estos incluyen: ^[11]

• Linealidad : para constantes a y b y funciones diferenciables f y g ,
  $${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$$
• Regla del producto : Para dos funciones diferenciables f y g ,
  $${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$$

Una operación d con estas dos propiedades se conoce en álgebra abstracta como derivación . Implican la regla del poder.

$${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$$

regla de la cadena^[12]

• Si y = f ( u ) es una función diferenciable de la variable u y u = g ( x ) es una función diferenciable de x , entonces
  $${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$$
• Si y = f ( x ₁ , ..., x _n ) y todas las variables  x ₁ , ..., x _n dependen de otra variable  t , entonces por la regla de la cadena para derivadas parciales , se tiene
  $${\displaystyle {\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$$
  Heurísticamente, la regla de la cadena para varias variables puede entenderse dividiendo ambos lados de esta ecuación por la cantidad infinitamente pequeña dt .
• Se mantienen expresiones análogas más generales, en las que las variables intermedias x _i dependen de más de una variable.

formulación general

Se puede desarrollar una noción consistente de diferencial para una función f  : R ⁿ → R ^m entre dos espacios euclidianos . Sea x ,Δ x ∈ R ⁿ un par de vectores euclidianos . El incremento en la función f es

$${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$$

matriz A m × n

$${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$

ε → 0Δ x → 0fxAmatriz jacobianatransformación linealΔ x ∈ R ⁿA Δ x ∈ R ^mdf ( x )fxderivada de Fréchetespacio de Banach

Otro punto de vista fructífero es definir el diferencial directamente como una especie de derivada direccional :

$${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$$

txhespacio tangentedfforma diferencialfderivada exteriorgeometría diferencialvariedad diferenciablefdfempuje hacia adelante

Otros enfoques

Aunque la noción de tener un incremento infinitesimal dx no está bien definida en el análisis matemático moderno , existe una variedad de técnicas para definir el diferencial infinitesimal de modo que el diferencial de una función pueda manejarse de una manera que no entre en conflicto con la notación de Leibniz. . Éstas incluyen:

• Definir la diferencial como una especie de forma diferencial , específicamente la derivada exterior de una función. Los incrementos infinitesimales se identifican luego con vectores en el espacio tangente en un punto. Este enfoque es popular en geometría diferencial y campos relacionados, porque se generaliza fácilmente a asignaciones entre variedades diferenciables .
• Diferenciales como elementos nilpotentes de anillos conmutativos . Este enfoque es popular en geometría algebraica . ^[13]
• Diferenciales en modelos suaves de teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que las ideas de la teoría del topos se utilizan para ocultar los mecanismos mediante los cuales se introducen los infinitesimales nilpotentes. ^[14]
• Diferenciales como infinitesimales en sistemas numéricos hiperreales , que son extensiones de los números reales que contienen infinitesimales invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque del análisis no estándar iniciado por Abraham Robinson . ^[15]

Ejemplos y aplicaciones

Los diferenciales pueden utilizarse eficazmente en el análisis numérico para estudiar la propagación de errores experimentales en un cálculo y, por tanto, la estabilidad numérica general de un problema (Courant 1937a). Supongamos que la variable x representa el resultado de un experimento y y es el resultado de un cálculo numérico aplicado a x . La pregunta es hasta qué punto los errores en la medición de x influyen en el resultado del cálculo de y . Si se conoce que x está dentro de Δ x de su valor verdadero, entonces el teorema de Taylor da la siguiente estimación del error Δ y en el cálculo de y :

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$$

ξ = x + θ Δ x0 < θ < 1Δ xydy = f' ( x ) Δ x

El diferencial suele ser útil para reescribir una ecuación diferencial.

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$$

$${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$$

separar las variables

Notas

1. Para obtener un relato histórico detallado del diferencial, consulte Boyer 1959, especialmente la página 275 para conocer la contribución de Cauchy sobre el tema. Un relato abreviado aparece en Kline 1972, Capítulo 40.
2. Cauchy negó explícitamente la posibilidad de cantidades infinitas y infinitesimales reales (Boyer 1959, págs. 273-275) y adoptó el punto de vista radicalmente diferente de que "una cantidad variable se vuelve infinitamente pequeña cuando su valor numérico disminuye indefinidamente de tal manera que converger a cero" (Cauchy 1823, p. 12; traducción de Boyer 1959, p. 273).
3. Boyer 1959, pag. 275
4. Boyer 1959, pag. 12: "Los diferenciales así definidos son sólo variables nuevas , y no infinitesimales fijos..."
5. Courant 1937a, II, §9: "Aquí observamos simplemente de pasada que es posible utilizar esta representación aproximada del incremento mediante la expresión lineal para construir una definición lógicamente satisfactoria de un" diferencial ", como lo hizo Cauchy en particular." ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle hf(x)}$
6. Boyer 1959, pag. 284
7. Véanse, por ejemplo, los influyentes tratados de Courant 1937a, Kline 1977, Goursat 1904 y Hardy 1908. Las fuentes terciarias para esta definición incluyen también Tolstov 2001 e Itô 1993, §106.
8. Cauchy 1823. Véase también, por ejemplo, Goursat 1904, I, §14.
9. Goursat 1904, I, §14
10. En particular a la holomorfía de dimensión infinita (Hille & Phillips 1974) y al análisis numérico mediante el cálculo de diferencias finitas .
11. Goursat 1904, I, §17
12. Goursat 1904, I, §§14,16
13. Eisenbud y Harris 1998.
14. Véase Kock 2006 y Moerdijk & Reyes 1991.
15. Véase Robinson 1996 y Keisler 1986.

Ver también

• Notación para diferenciación

Referencias

• Boyer, Carl B. (1959), La historia del cálculo y su desarrollo conceptual , Nueva York: Dover Publications , MR  0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les apps du calcul infinitésimal, archivado desde el original el 2007-07-08 , consultado el 19 de agosto de 2009..
• Courant, Richard (1937a), Cálculo diferencial e integral. vol. I , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons (publicado en 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, señor  1009558.
• Courant, Richard (1937b), Cálculo diferencial e integral. vol. II , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons (publicado en 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, señor  1009559.
• Courant, Ricardo ; John, Fritz (1999), Introducción al cálculo y análisis Volumen 1 , Clásicos de las matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-X, señor  1746554
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), La geometría de los esquemas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, doi : 10.24033/asens.766 , ISSN  0012-9593, Señor  1509268.
• Goursat, Édouard (1904), Un curso de análisis matemático: Volumen 1: Derivadas y diferenciales, integrales definidas, expansión en series, aplicaciones a la geometría, ER Hedrick, Nueva York: Dover Publications (publicado en 1959), MR  0106155.
• Hadamard, Jacques (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Gaceta Matemática , XIX (236): 341–342, doi :10.2307/3606323, JSTOR  3606323.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), Un curso de matemáticas puras , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Itô, Kiyosi (1993), Diccionario enciclopédico de matemáticas (2ª ed.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Kline, Morris (1977), "Capítulo 13: Diferenciales y la ley de la media", Cálculo: un enfoque físico e intuitivo , John Wiley and Sons.
• Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos (3.ª ed.), Oxford University Press (publicado en 1990), ISBN 978-0-19-506136-9
• Keisler, H. Jerome (1986), Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal (2ª ed.).
• Kock, Anders (2006), Geometría diferencial sintética (PDF) (2ª ed.), Cambridge University Press.
• Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Modelos para análisis infinitamente suave , Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Tolstov, GP (2001) [1994], "Diferencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.

enlaces externos

• Diferencial de una función en el proyecto de demostraciones Wolfram