Abraham de Moivre nació en Vitry-le-François en Champaña el 26 de mayo de 1667. Su padre, Daniel de Moivre, era un cirujano que creía en el valor de la educación. Aunque los padres de Abraham de Moivre eran protestantes, él primero asistió a la escuela católica de los Hermanos Cristianos en Vitry, que era inusualmente tolerante dadas las tensiones religiosas en Francia en ese momento. Cuando tenía once años, sus padres lo enviaron a la Academia Protestante de Sedan , donde pasó cuatro años estudiando griego con Jacques du Rondel. La Academia Protestante de Sedán fue fundada en 1579 por iniciativa de Françoise de Bourbon, viuda de Henri-Robert de la Marck.
En 1682, la Academia Protestante de Sedan fue suprimida y De Moivre se matriculó para estudiar lógica en Saumur durante dos años. Aunque las matemáticas no formaban parte de su trabajo de curso, de Moivre leyó varias obras sobre matemáticas por su cuenta, entre ellas Éléments des mathématiques del sacerdote oratoriano y matemático francés Jean Prestet y un breve tratado sobre juegos de azar, De Ratiociniis in Ludo Aleae , de Christiaan Huygens , físico, matemático, astrónomo e inventor holandés. En 1684, de Moivre se mudó a París para estudiar física y, por primera vez, recibió una formación formal en matemáticas con lecciones privadas de Jacques Ozanam .
La persecución religiosa en Francia se agravó cuando el rey Luis XIV emitió el Edicto de Fontainebleau en 1685, que revocó el Edicto de Nantes , que había otorgado derechos sustanciales a los protestantes franceses. Prohibió el culto protestante y exigió que todos los niños fueran bautizados por sacerdotes católicos. De Moivre fue enviado a Prieuré Saint-Martin-des-Champs, una escuela a la que las autoridades enviaban a niños protestantes para adoctrinarlos en el catolicismo.
No está claro cuándo De Moivre dejó la Prieuré de Saint-Martin y se mudó a Inglaterra, ya que los registros de la Prieuré de Saint-Martin indican que dejó la escuela en 1688, pero de Moivre y su hermano se presentaron como hugonotes admitidos en la Iglesia de Saboya en Londres el 28 de agosto de 1687.
años intermedios
Cuando llegó a Londres, de Moivre era un matemático competente con un buen conocimiento de muchos de los textos estándar. [1] Para ganarse la vida, de Moivre se convirtió en profesor privado de matemáticas , visitando a sus alumnos o enseñando en los cafés de Londres. De Moivre continuó sus estudios de matemáticas después de visitar al conde de Devonshire y ver el reciente libro de Newton, Principia Mathematica . Al leer el libro, se dio cuenta de que era mucho más profundo que los libros que había estudiado anteriormente y decidió leerlo y comprenderlo. Sin embargo, como tenía que dar largos paseos por Londres para viajar entre sus alumnos, de Moivre tenía poco tiempo para estudiar, por lo que arrancó páginas del libro y las llevaba en el bolsillo para leer entre lecciones.
Según una historia posiblemente apócrifa, Newton, en los últimos años de su vida, solía remitir a De Moivre a las personas que le planteaban preguntas matemáticas, diciendo: "Él sabe todas estas cosas mejor que yo". [2]
En 1692, de Moivre se hizo amigo de Edmond Halley y poco después del propio Isaac Newton . En 1695, Halley comunicó a la Royal Society el primer artículo matemático de De Moivre, que surgió de su estudio de las fluxiones en los Principia Mathematica . Este artículo fue publicado en Philosophical Transactions ese mismo año. Poco después de publicar este artículo, de Moivre también generalizó el notable teorema binomial de Newton en el teorema multinomial . La Royal Society se enteró de este método en 1697 y eligió a De Moivre como miembro el 30 de noviembre de 1697.
Después de que aceptaron a De Moivre, Halley lo animó a dedicar su atención a la astronomía. En 1705, de Moivre descubrió, intuitivamente, que "la fuerza centrípeta de cualquier planeta está directamente relacionada con su distancia al centro de las fuerzas y recíprocamente relacionada con el producto del diámetro de la evoluta por el cubo de la perpendicular a la tangente". ". En otras palabras, si un planeta, M, sigue una órbita elíptica alrededor de un foco F y tiene un punto P donde PM es tangente a la curva y FPM es un ángulo recto de modo que FP es la perpendicular a la tangente, entonces la fuerza centrípeta en el punto P es proporcional a FM/(R*(FP) 3 ) donde R es el radio de curvatura en M. El matemático Johann Bernoulli demostró esta fórmula en 1710.
A pesar de estos éxitos, de Moivre no pudo obtener un nombramiento para una cátedra de matemáticas en ninguna universidad, lo que lo habría liberado de su dependencia de una tutoría que le consumía mucho tiempo y que lo agobiaba más que a la mayoría de los otros matemáticos de la época. Al menos parte de la razón fue un prejuicio contra sus orígenes franceses. [3] [4] [5]
En noviembre de 1697 fue elegido miembro de la Royal Society [1] y en 1712 fue nombrado miembro de una comisión creada por la sociedad, junto con MM. Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston y Taylor para revisar las afirmaciones de Newton y Leibniz sobre quién descubrió el cálculo. Los detalles completos de la controversia se pueden encontrar en el artículo sobre la controversia sobre el cálculo de Leibniz y Newton .
A lo largo de su vida, De Moivre siguió siendo pobre. Se informa que era un cliente habitual del antiguo Slaughter's Coffee House , St. Martin's Lane en Cranbourn Street, donde ganaba un poco de dinero jugando al ajedrez.
Años despues
De Moivre continuó estudiando los campos de la probabilidad y las matemáticas hasta su muerte en 1754 y después de su muerte se publicaron varios artículos adicionales. A medida que crecía, se volvió cada vez más letárgico y necesitaba dormir más horas. Es una afirmación común que De Moivre notó que dormía 15 minutos adicionales cada noche y calculó correctamente la fecha de su muerte como el día en que el tiempo de sueño alcanzó las 24 horas, el 27 de noviembre de 1754. [6] Ese día lo hizo en De hecho murió, en Londres y su cuerpo fue enterrado en St Martin-in-the-Fields , aunque su cuerpo fue trasladado posteriormente. Sin embargo, se ha cuestionado la afirmación de que predijo su propia muerte por no haber sido documentada en ninguna parte en el momento de su ocurrencia. [7]
Probabilidad
De Moivre fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica y la teoría de la probabilidad ampliando el trabajo de sus predecesores, en particular Christiaan Huygens y varios miembros de la familia Bernoulli. También produjo el segundo libro de texto sobre teoría de la probabilidad, La doctrina de las posibilidades: un método para calcular las probabilidades de eventos en juego . (El primer libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae ( Sobre echar la suerte ), fue escrito por Girolamo Cardano en la década de 1560, pero no se publicó hasta 1663.) Este libro se publicó en cuatro ediciones, 1711 en latín, y en inglés en 1718, 1738 y 1756. En las ediciones posteriores de su libro, de Moivre incluyó su resultado inédito de 1733, que es la primera declaración de una aproximación a la distribución binomial en términos de lo que ahora llamamos normal o normal. Función gaussiana . [8] Este fue el primer método para encontrar la probabilidad de que ocurra un error de un tamaño determinado cuando ese error se expresa en términos de la variabilidad de la distribución como una unidad, y la primera identificación del cálculo del error probable . Además, aplicó estas teorías a los problemas del juego y a las tablas actuariales .
Una expresión que se encuentra comúnmente en probabilidad es n ! ¡pero antes de los días en que las calculadoras calculaban n ! para una n grande consumía mucho tiempo. En 1733, de Moivre propuso la fórmula para estimar un factorial como n ! = cn ( norte +1/2 ) mi − norte . Obtuvo una expresión aproximada para la constante c pero fue James Stirling quien encontró que c era √ 2 π . [9]
De Moivre también publicó un artículo titulado "Annuities upon Lives" en el que reveló la distribución normal de la tasa de mortalidad según la edad de una persona. A partir de esto produjo una fórmula simple para aproximar los ingresos producidos por los pagos anuales basados en la edad de una persona. Esto es similar a los tipos de fórmulas que utilizan las compañías de seguros en la actualidad.
Prioridad respecto a la distribución de Poisson
Algunos resultados sobre la distribución de Poisson fueron introducidos por primera vez por De Moivre en De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus en Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. [10] Como resultado, algunos autores han argumentado que la distribución de Poisson debería llevar el nombre de de Moivre. [11] [12]
La fórmula de De Moivre
En 1707, de Moivre derivó una ecuación de la que se puede deducir:
En 1749, Euler demostró esta fórmula para cualquier n real utilizando la fórmula de Euler , lo que hace que la prueba sea bastante sencilla. [17] Esta fórmula es importante porque relaciona números complejos y trigonometría . Además, esta fórmula permite derivar expresiones útiles para cos( nx ) y sin( nx ) en términos de cos( x ) y sin( x ).
La aproximación de Stirling
De Moivre había estado estudiando la probabilidad y sus investigaciones le exigieron calcular coeficientes binomiales, que a su vez le exigieron calcular factoriales. [18] [19] En 1730 de Moivre publicó su libro Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Miscelánea analítica de series e integrales], que incluía tablas de log ( n !). [20] Para valores grandes de n , de Moivre aproxima los coeficientes de los términos en una expansión binomial. Específicamente, dado un número entero positivo n , donde n es par y grande, entonces el coeficiente del término medio de (1 + 1) n se aproxima mediante la ecuación: [21] [22]
El 19 de junio de 1729, James Stirling envió a de Moivre una carta que ilustraba cómo calculaba el coeficiente del término medio de una expansión binomial (a + b) n para valores grandes de n. [23] [24] En 1730, Stirling publicó su libro Methodus Differentialis [El método diferencial], en el que incluía sus series para log( n !): [25]
de modo que para grandes , .
El 12 de noviembre de 1733, de Moivre publicó y distribuyó de forma privada un folleto: Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) n in Seriem expansiva [Aproximación de la suma de los términos del binomio (a + b) n ampliada en una serie ] – en el que reconoció la carta de Stirling y propuso una expresión alternativa para el término central de una expansión binomial. [26]
Celebraciones
El 25 de noviembre de 2017, el Dr. Conor Maguire organizó un coloquio en Saumur, con el patrocinio de la Comisión Nacional Francesa para la UNESCO, para celebrar el 350 aniversario del nacimiento de De Moivre y el hecho de que estudió durante dos años en la Academia. de Saumur . El coloquio se tituló Abraham de Moivre: le Mathématicien, sa vie et son œuvre y cubrió las importantes contribuciones de De Moivre al desarrollo de números complejos, ver la fórmula de De Moivre , y a la teoría de la probabilidad, ver el teorema de De Moivre-Laplace . El coloquio trazó la vida de De Moivre y su exilio en Londres, donde se convirtió en un amigo muy respetado de Isaac Newton. Sin embargo, vivió con medios modestos que generó en parte gracias a sus sesiones asesorando a los jugadores en Old Slaughter's Coffee House sobre las probabilidades asociadas con sus esfuerzos. El 27 de noviembre de 2016, el profesor Christian Genest de la Universidad McGill (Montreal) celebró el 262.º aniversario de la muerte de De Moivre con un coloquio en Limoges titulado Abraham de Moivre: Génie en exil, en el que se discutió la famosa aproximación de De Moivre a la ley binomial que inspiró el teorema del límite central.
^ Bellhouse, David R. (2011). Abraham De Moivre: preparando el escenario para la probabilidad clásica y sus aplicaciones . Londres: Taylor y Francis. pag. 99.ISBN978-1-56881-349-3.
^ Coughlin, Raymond F.; Zitarelli, David E. (1984). El ascenso de las matemáticas . McGraw-Hill. pag. 437.ISBN0-07-013215-1. Desafortunadamente, debido a que no era británico, De Moivre nunca pudo obtener un puesto de profesor universitario.
^ Jungnickel, Christa ; McCormmach, Russell (1996). Cavendish. Memorias de la Sociedad Filosófica Estadounidense. vol. 220. Sociedad Filosófica Estadounidense. pag. 52.ISBN9780871692207. Bien conectado en los círculos matemáticos y muy apreciado por su trabajo, todavía no pudo conseguir un buen trabajo. Ni siquiera su conversión a la Iglesia de Inglaterra en 1705 pudo alterar el hecho de que era un extranjero.
^ Tanton, James Stuart (2005). Enciclopedia de Matemáticas. Publicación de bases de datos. pag. 122.ISBN9780816051243. Esperaba recibir un puesto docente en matemáticas pero, como extranjero, nunca le ofrecieron ese puesto.
^ "Detalles biográficos: ¿Abraham de Moivre realmente predijo su propia muerte?".
^ Ver:
Abraham De Moivre (12 de noviembre de 1733) "Aproximatio ad summam terminorum binomii (a+b) n in seriem expansi" (folleto autoeditado), 7 páginas.
Traducción al inglés: A. De Moivre, La doctrina de las posibilidades ..., 2ª ed. (Londres, Inglaterra: H. Woodfall, 1738), págs. 235–243.
^ Pearson, Karl (1924). "Nota histórica sobre el origen de la curva normal de errores". Biometrika . 16 (3–4): 402–404. doi :10.1093/biomet/16.3-4.402.
^ Johnson, NL, Kotz, S., Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas (segunda edición). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 , página 157
^ Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson sobre la distribución de Poisson". Cartas de estadística y probabilidad . 1 : 33–35. doi :10.1016/0167-7152(82)90010-4.
^ Hald, Anders; de Moivre, Abraham; McClintock, Bruce (1984). "A. de Moivre: 'De Mensura Sortis' o 'Sobre la medida del azar'". Revista estadística internacional/Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045.
^ Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [De ciertas ecuaciones de la tercera, quinta, séptima, novena, & potencia superior, hasta el infinito, procediendo, en términos finitos, en forma de reglas para cúbicas que Cardano llama resolución por análisis.]. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 25 (309): 2368–2371. doi :10.1098/rstl.1706.0037. S2CID 186209627.
Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009) Archivado el 9 de junio de 2020 en Wayback Machine.
En P. 2370 de Moivre afirmó que si una serie tiene la forma , donde n es cualquier entero impar dado (positivo o negativo) y donde y y a pueden ser funciones, entonces, al resolver y , el resultado es la ecuación (2) en la misma página : . Si y = cos x y a = cos nx, entonces el resultado es
En 1676, Isaac Newton encontró la relación entre dos cuerdas que estaban en la proporción de n a 1; la relación fue expresada por la serie anterior. La serie aparece en una carta: Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — del 13 de junio de 1676 de Isaac Newton a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; Se envió una copia de la carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . Ver pág. 106 de: Biot, J.-B.; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou… (en latín). París, Francia: Mallet-Bachelier. págs. 102-112.
En 1698, de Moivre derivó la misma serie. Véase: de Moivre, A. (1698). "Un método para extraer raíces de una ecuación infinita". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 20 (240): 190-193. doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144.; ver página 192.
En 1730, de Moivre consideró explícitamente el caso en el que las funciones son cos θ y cos nθ. Ver: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (en latín). Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. pag. 1. De la pág. 1: "Lema 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit ". (Si l y x son cosenos de dos arcos A y B, ambos descritos por el mismo radio 1 y de los cuales el primero es múltiplo del segundo en la proporción que tiene el número n con 1, entonces será [ cierto que] .) Entonces, si arco A = n × arco B, entonces l = cos A = cos nB y x = cos B. Por lo tanto
Ver también:
Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Conferencias sobre historia de las matemáticas ]. Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 624.
Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [Sobre la historia del origen del llamado teorema de Moivre]. Biblioteca Matemática . 3ª serie (en alemán). 2 : 97-102.; ver pág. 98.
^ Smith, David Eugene (1959), Un libro de consulta en matemáticas, volumen 3, Publicaciones Courier Dover, p. 444, ISBN9780486646909
^ Moivre, A. de (1722). "De sectione anguli" [Sobre la sección de un ángulo] (PDF) . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 32 (374): 228–230. doi :10.1098/rstl.1722.0039. S2CID 186210081 . Consultado el 6 de junio de 2020 .
Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009) Archivado el 28 de noviembre de 2020 en Wayback Machine.
De la pág. 229: "Sit x sinus versus arcus cujuslibert. [Sit] t sinus versus arcus alterius. [Sit] 1 radio circuli. Sitque arcus prior ad posteriorum ut 1 ad n , tunc, assumptis binis aequationibus quas cognatas appelare licet, 1 – 2 z n + z 2 n = – 2 z n t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . Expunctoque z orietur aequatio qua relatio inter x & t determinatur."
(Sea x el versino de cualquier arco [es decir, x = 1 – cos θ]. [Sea] t el versino de otro arco. [Sea] 1 el radio del círculo. Y sea el primer arco hasta el último [es decir, "otro arco"] sea como 1 an [ de modo que t = 1 – cos nθ ], entonces, con las dos ecuaciones asumidas que pueden llamarse relacionadas, 1 – 2 z n + z 2 n = –2 z n t
1 – 2 z + zz = – 2 zx . Y al eliminar z , surgirá la ecuación mediante la cual se determina la relación entre x y t .)
Es decir, dadas las ecuaciones 1 – 2 z n + z 2 n =. – 2 z n (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ), usa la fórmula cuadrática para resolver z n en la primera ecuación y z en la segunda ecuación. El resultado será: z n = cos n θ ± i sin n θ y z = cos θ ± i sin θ , de donde se sigue inmediatamente que (cos θ ± i sin θ) n = cos n θ ± i sin n θ. Ver también:
Smith, David Eugen (1959). Un libro de consulta en matemáticas. vol. 2. Ciudad de Nueva York, Nueva York, Estados Unidos: Dover Publications Inc. págs. 444–446.ver pág. 445, nota al pie 1.
^ En 1738, de Moivre utilizó la trigonometría para determinar las enésimas raíces de un número real o complejo. Ver: Moivre, A. de (1738). "De reducee radicalium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio , vel . Epistola" [Sobre la reducción de radicales a términos más simples, o sobre la extracción de una raíz dada de un binomio, o . Una carta.]. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 40 (451): 463–478. doi :10.1098/rstl.1737.0081. S2CID 186210174. De la pág. 475: "Problema III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impossibli ... illos autem negativos quorum arcus sunt quadrante majores". (Problema III. Sea una raíz cuyo índice [es decir, grado] es n se extraiga del binomio complejo . Solución. Sea su raíz , luego defino ; también defino [Nota: debería decir: ], dibujo o imagino un círculo , cuyo radio es , y supongamos en este [círculo] algún arco A cuyo coseno es ; sea C toda la circunferencia. Supongamos, [medida] en el mismo radio, los cosenos de los arcos , etc.
hasta la multitud [es decir, número] de ellos [es decir, los arcos] es igual al número n; cuando se hace esto, deténgase allí, entonces habrá tantos cosenos como valores de la cantidad , lo cual está relacionado con la cantidad [es decir, ] siempre ; be .
No se debe descuidar, aunque se mencionó anteriormente, [que] aquellos cosenos cuyos arcos son menores que un ángulo recto deben considerarse positivos pero aquellos cuyos arcos son mayores que un ángulo recto [deben considerarse como] negativos. .)
Ver también:
Braunmühl, A. von (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Conferencias sobre la historia de la trigonometría ] (en alemán). vol. 2. Leipzig, Alemania: BG Teubner. págs. 76–77.
^ Euler (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des ecuaciones" [Investigaciones sobre las raíces complejas de las ecuaciones]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (en francés). 5 : 222–288. Véanse págs. 260-261: " Teorema XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1 " (Teorema XIII. §. 70. Para cualquier potencia, ya sea una cantidad real o una compleja [una] de la forma M + N √−1. , del cual se extrae la raíz, las raíces siempre serán reales o complejas de la misma forma M + N √−1.)
^ De Moivre había estado tratando de determinar el coeficiente del término medio de (1 + 1) n para n grande desde 1721 o antes. En su folleto del 12 de noviembre de 1733 – "Aproximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b ) n in Seriem expansiva" [Aproximación de la suma de los términos del binomio ( a + b ) n ampliada en una serie] – de Moivre dijo que había comenzado a trabajar en el problema hace 12 años o más: "Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram;..." (Han pasado ya una docena de años o más desde que encontré esto [es decir, lo que sigue];... ) .
(Archibald, 1926), pág. 677.
(de Moivre, 1738), pág. 235.
De Moivre le dio crédito a Alexander Cuming (ca. 1690 – 1775), un aristócrata escocés y miembro de la Royal Society de Londres, por haber motivado, en 1721, su búsqueda de una aproximación para el término central de una expansión binomial. (de Moivre, 1730), pág. 99.
^ Los roles de de Moivre y Stirling en la búsqueda de la aproximación de Stirling se presentan en:
Gélinas, Jacques (24 de enero de 2017) "Pruebas originales de la serie de Stirling para log (N!)" arxiv.org
Lanier, Denis; Trotoux, Didier (1998). "La formule de Stirling" [Fórmula de Stirling] Comisión inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (ed.). Analyse & démarche analytique : les neveux de Descartes : actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Reims, 10 et 11 mai 1996 [Análisis y razonamiento analítico: los "sobrinos" de Descartes: actas del XI coloquio inter-IREM sobre epistemología e historia de las matemáticas, Reims, 10-11 de mayo de 1996] (en francés). Reims, Francia: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] de Reims. págs. 231–286.
^ Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Miscelánea analítica de series y cuadraturas [es decir, integrales] ]. Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. págs. 103-104.
^ De la pág. 102 de (de Moivre, 1730): "Problema III. Invenire Coficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coficientium.… ad 1 proxime".
(Problema 3. Encuentre el coeficiente del término medio [de una expansión binomial] para una potencia muy grande y par [ n ], o encuentre la relación que tiene el coeficiente del término medio con la suma de todos los coeficientes.
Solución. Sea Sea n el grado de la potencia a la que se eleva el binomio a + b , entonces, estableciendo [tanto] a como b = 1, la relación entre el término medio y su potencia ( a + b ) n o 2 n [Nota: la suma de todos los coeficientes de la expansión binomial de (1 + 1) n es 2 n .] será casi igual a 1.
Pero cuando algunas series para una investigación pudieron determinarse con mayor precisión [pero] se habían descuidado debido a la falta de tiempo, luego calculo por reintegración [y] recupero para usar las cantidades particulares [que] previamente habían sido descuidadas; así sucedió que finalmente pude concluir que la relación [que] se busca es aproximadamente o a 1.)
La aproximación se deriva de las páginas 124-128 de (de Moivre, 1730).
^ De Moivre determinó el valor de la constante aproximando el valor de una serie utilizando sólo sus primeros cuatro términos. De Moivre pensó que la serie convergía, pero el matemático inglés Thomas Bayes (ca. 1701-1761) descubrió que la serie en realidad divergía. De las páginas 127-128 de (de Moivre, 1730): "Cum vero perciperem has Series valde implicatas evadere,... conclusi factorem 2.168 seu " (Pero cuando concebí [cómo] evitar estas series tan complicadas, aunque todas ellas eran perfectamente sumable - creo que [no había] nada más que hacer, que transformarlos al caso infinito, así puesto m al infinito, entonces la suma de la primera serie racional se reducirá a 1/12, la suma de el segundo [se reducirá] a 1/360; así sucede que se logran las sumas de todas las series , etc., se podrán descartar tantos términos como se quiera pero; Decidí [retener] cuatro [términos] de esta [serie], porque eran suficientes [como] una aproximación suficientemente precisa, ahora que cuando esta serie es convergente, entonces sus términos disminuyen con signos alternos positivos y negativos, [y] uno puede; inferir que el primer término 1/12 es mayor [que] la suma de la serie, o el primer término es mayor [que] la diferencia que existe entre todos los términos positivos y todos los términos negativos; pero ese término debe considerarse como un logaritmo hiperbólico [es decir, natural]; Además, el número correspondiente a este logaritmo es casi 1,0869 [es decir, ln (1,0869) ≈ 1/12], que si se multiplica por 2, el producto será 2,1738, y así [en el caso de elevar un binomio] a un potencia infinita, designada por n, la cantidad será mayor que la razón que tiene el término medio del binomio con la suma de todos los términos, y procediendo a los términos restantes, se descubrirá que el factor 2,1676 es justo menor [que la razón del término medio a la suma de todos los términos], y de manera similar que 2.1695 es mayor, a su vez que 2.1682 cae un poco por debajo del verdadero [valor de la razón]; considerando lo cual, concluí que el factor [es] 2.168 o Nota: El factor que buscaba de Moivre era: (Lanier & Trotoux, 1998), p. 237.
Bayes, Thomas (31 de diciembre de 1763). "Una carta del difunto Reverendo Sr. Bayes, FRS a John Canton, MA y FRS". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 53 : 269–271. doi :10.1098/rstl.1763.0044. S2CID 186214800.
^ (de Moivre, 1730), págs. 170-172.
^ En la carta de Stirling del 19 de junio de 1729 a de Moivre, Stirling declaró que había escrito a Alexander Cuming "quadrienium circiter abhinc" (hace unos cuatro años [es decir, 1725]) sobre (entre otras cosas) aproximarse, utilizando Isaac Newton's método de diferenciales, el coeficiente del término medio de una expansión binomial. Stirling reconoció que De Moivre había resuelto el problema años antes: "...; respondit Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias".
(...; este hombre muy ilustre [Alexander Cuming] respondió que dudaba de que el problema resuelto por usted varios años antes, relativo al comportamiento del término medio de cualquier potencia del binomio, pudiera resolverse mediante diferenciales.) Stirling escribió que entonces había comenzado a investigar el problema, pero que inicialmente sus progresos fueron lentos.
(de Moivre, 1730), pág. 170.
Zabell, SL (2005). La simetría y sus descontentos: ensayos sobre la historia de la probabilidad inductiva. Ciudad de Nueva York, Nueva York, Estados Unidos: Cambridge University Press. pag. 113.ISBN 9780521444705.
^ Ver:
Stirling, James (1730). Methodus Differentialis… (en latín). Londres: G. Strahan. pag. 137. De la pág. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5, &c. pone z–n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei [Nota: l,z = log(z)] additi Logarithmo circumferentiae Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi." (Además, si desea la suma de todos los logaritmos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, etc., establezca z–n como el último número, siendo n ½; y tres o cuatro términos de este La serie sumada a [la mitad de] el logaritmo de la circunferencia de un círculo cuyo radio es la unidad [es decir, ½ log(2 π )] – es decir, [agregado] a esto: 0.39908.99341.79 – dará la suma [es decir] buscado, y cuantos más logaritmos [que] se sumen, menos trabajo [es].) Nota: (Ver pág. 135.) = 1/ln(10).
Traducción al inglés: Stirling, James (1749). El método diferencial. Traducido por Holliday, Francis. Londres, Inglaterra: E. Cave. pag. 121.[Nota: La imprenta numeró incorrectamente las páginas de este libro, de modo que la página 125 está numerada como "121", la página 126 como "122", y así sucesivamente hasta la pág. 129.]
^ Ver:
Archibald, RC (octubre de 1926). "Un folleto poco común de Moivre y algunos de sus descubrimientos". Isis (en inglés y latín). 8 (4): 671–683. doi :10.1086/358439. S2CID 143827655.
Una traducción al inglés del folleto aparece en: Moivre, Abraham de (1738). La doctrina de las posibilidades… (2ª ed.). Londres, Inglaterra: autoeditado. págs. 235-243.
Referencias
Véase Miscellanea Analytica de De Moivre (Londres: 1730), págs. 26-42.
HJR Murray , 1913. Historia del Ajedrez . Prensa de la Universidad de Oxford: página 846.
Schneider, I., 2005, "La doctrina de las posibilidades" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: págs. 105-20
Otras lecturas
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"de Moivre, Abraham". Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2007 . Consultado el 15 de junio de 2002 .
![{\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt [{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e00e33900370cd1603acc07dd2af9559c28250c)
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3059585fa99ce0feebf306b7ec4da490e1e21a0f)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{aa+b}}=m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0315afa9bba9d895ca5fed35bc4cb255cf7e3283)
