En lógica , un conectivo lógico (también llamado operador lógico , conectivo oracional u operador oracional ) es una constante lógica . Los conectivos se pueden utilizar para conectar fórmulas lógicas. Por ejemplo, en la sintaxis de la lógica proposicional , el conectivo binario se puede utilizar para unir las dos fórmulas atómicas y , generando la fórmula compleja .
Los conectivos comunes incluyen negación , disyunción , conjunción , implicación y equivalencia . En los sistemas estándar de lógica clásica , estos conectivos se interpretan como funciones de verdad , aunque reciben una variedad de interpretaciones alternativas en lógicas no clásicas . Sus interpretaciones clásicas son similares a los significados de expresiones del lenguaje natural como "not", "or", "and" y "if" en inglés , pero no idénticas. Las discrepancias entre los conectivos del lenguaje natural y los de la lógica clásica han motivado enfoques no clásicos del significado del lenguaje natural, así como enfoques que combinan una semántica compositiva clásica con una pragmática sólida .
En los lenguajes formales , las funciones de verdad se representan mediante símbolos inequívocos. Esto permite que las declaraciones lógicas no se entiendan de forma ambigua. Estos símbolos se denominan conectivos lógicos , operadores lógicos , operadores proposicionales o, en lógica clásica , conectivos veritativos . Para conocer las reglas que permiten construir nuevas fórmulas bien formadas uniendo otras fórmulas bien formadas utilizando conectivos funcionales de verdad, consulte fórmula bien formada .
Los conectivos lógicos se pueden usar para vincular cero o más declaraciones, por lo que se puede hablar de conectivos lógicos n -arios . Las constantes booleanas Verdadero y Falso pueden considerarse operadores ceroarios. La negación es un conectivo 1-ario, y así sucesivamente.
Lista de conectivos lógicos comunes
Los conectivos lógicos de uso común incluyen los siguientes. [2]
Negación (no) : , , (prefijo) en el cual es el más moderno y usado, y es usado por mucha gente también;
Conjunción (y) : , , (prefijo) en la que es la más moderna y utilizada;
Disyunción (o) : , (prefijo) en la que es la más moderna y utilizada;
Implicación (si...entonces) : , , , (prefijo) en el cual es el más moderno y más utilizado, y también lo utilizan muchas personas;
Equivalencia (si y solo si) : , , , , (prefijo) en el cual es el más moderno y ampliamente utilizado, y también puede ser una buena opción en comparación con denotar implicación como to .
Por ejemplo, el significado de las afirmaciones está lloviendo (denotado por ) y estoy dentro (denotado por ) se transforma cuando los dos se combinan con conectivos lógicos:
No está lloviendo ( );
Está lloviendo y estoy adentro ( );
Está lloviendo o estoy dentro de casa ( );
Si llueve, entonces estoy adentro ();
Si estoy adentro, entonces está lloviendo ();
Estoy adentro si y solo si está lloviendo ( ).
También es común considerar conectivas la fórmula siempre verdadera y la fórmula siempre falsa .
Negación: el símbolo apareció en Heyting en 1930 [3] [4] (compárese con el símbolo ⫟ de Frege en su Begriffsschrift [5] ); el símbolo apareció en Russell en 1908; [6] una notación alternativa es agregar una línea horizontal encima de la fórmula, como en ; Otra notación alternativa es utilizar un símbolo primo como en .
Conjunción: el símbolo apareció en Heyting en 1930 [3] (compárese con el uso que hace Peano de la notación de intersección teórica de conjuntos [7] ); el símbolo apareció al menos en Schönfinkel en 1924; [8] el símbolo proviene de la interpretación de Boole de la lógica como un álgebra elemental .
Implicación: el símbolo apareció en Hilbert en 1918; [10] : 76 fue utilizado por Russell en 1908 [6] (compárese con el de Peano Ɔ la C invertida); apareció en Bourbaki en 1954. [11]
Equivalencia: el símbolo en Frege en 1879; [12] en Becker en 1933 (no es la primera vez y para ello véase lo siguiente); [13] apareció en Bourbaki en 1954; [14] otros símbolos aparecieron puntualmente en la historia, como en Gentzen , [15] en Schönfinkel [8] o en Chazal, [16]
Falso: el símbolo proviene también de la interpretación que hace Boole de la lógica como un anillo; otras notaciones incluyen (rotado ) que se encuentra en Peano en 1889.
Algunos autores utilizaron letras para conectivos: para conjunción ("und" en alemán para "y") y para disyunción ("oder" en alemán para "o") en las primeras obras de Hilbert (1904); [17] por negación, por conjunción, por negación alternativa, por disyunción, por implicación, por bicondicional en Łukasiewicz en 1929.
Redundancia
Un conectivo lógico como la implicación inversa " " es en realidad lo mismo que el condicional material con argumentos intercambiados; por tanto, el símbolo de implicación inversa es redundante. En algunos cálculos lógicos (en particular, en la lógica clásica ), ciertos enunciados compuestos esencialmente diferentes son lógicamente equivalentes . Un ejemplo menos trivial de redundancia es la equivalencia clásica entre y . Por lo tanto, un sistema lógico de base clásica no necesita el operador condicional " " si " " (no) y " " (o) ya están en uso, o puede usar " " sólo como azúcar sintáctico para un compuesto que tiene una negación. y una disyunción.
Hay dieciséis funciones booleanas que asocian los valores de verdad de entrada y con salidas binarias de cuatro dígitos . [18] Estos corresponden a posibles elecciones de conectivos lógicos binarios para la lógica clásica . Diferentes implementaciones de la lógica clásica pueden elegir diferentes subconjuntos de conectivos funcionalmente completos .
Un enfoque es elegir un conjunto mínimo y definir otros conectivos mediante alguna forma lógica, como en el ejemplo del condicional material anterior. Los siguientes son los conjuntos mínimos funcionalmente completos de operadores en lógica clásica cuyas aridades no exceden 2:
un elemento
, .
Dos elementos
, , , , , , , , , , , , , , , , .
Tres elementos
, , , , , .
Otro enfoque es utilizar con igualdad de derechos conectivos de un determinado conjunto conveniente y funcionalmente completo, pero no mínimo . Este enfoque requiere más axiomas proposicionales , y cada equivalencia entre formas lógicas debe ser un axioma o demostrable como un teorema.
La situación, sin embargo, es más complicada en la lógica intuicionista . De sus cinco conectivos, {∧, ∨, →, ¬, ⊥}, sólo la negación "¬" puede reducirse a otros conectivos (ver Falso (lógica) § Falso, negación y contradicción para obtener más información). Ni la conjunción, ni la disyunción ni el condicional material tienen una forma equivalente construida a partir de los otros cuatro conectivos lógicos.
Lenguaje natural
Los conectivos lógicos estándar de la lógica clásica tienen equivalentes aproximados en las gramáticas de los lenguajes naturales. En inglés , como en muchos idiomas, este tipo de expresiones suelen ser conjunciones gramaticales . Sin embargo, también pueden tomar la forma de complementadores , sufijos verbales y partículas . Las denotaciones de los conectivos del lenguaje natural es un tema importante de investigación en semántica formal , campo que estudia la estructura lógica de los lenguajes naturales.
Los significados de los conectivos del lenguaje natural no son exactamente idénticos a sus equivalentes más cercanos en la lógica clásica. En particular, la disyunción puede recibir una interpretación exclusiva en muchos idiomas. Algunos investigadores han tomado este hecho como evidencia de que la semántica del lenguaje natural no es clásica . Sin embargo, otros mantienen la semántica clásica al postular explicaciones pragmáticas de exclusividad que crean la ilusión de no clasicismo. En tales explicaciones, la exclusividad suele tratarse como una implicatura escalar . Los acertijos relacionados que involucran disyunción incluyen inferencias de libre elección , la restricción de Hurford y la contribución de la disyunción en preguntas alternativas .
La siguiente tabla muestra las aproximaciones estándar definibles clásicamente para los conectivos ingleses.
Propiedades
Algunos conectivos lógicos poseen propiedades que pueden expresarse en los teoremas que contienen el conectivo. Algunas de esas propiedades que puede tener un conectivo lógico son:
Dentro de una expresión que contiene dos o más conectivos asociativos iguales en una fila, el orden de las operaciones no importa siempre que no se cambie la secuencia de los operandos.
Un conectivo denotado por · se distribuye sobre otro conectivo denotado por +, si a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) para todos los operandos a , b , c .
Si f ( a 1 , ..., an ) ≤ f ( b 1 , ..., b n ) para todo a 1 , ..., an , b 1 , ..., b n ∈ {0 ,1} tal que a 1 ≤ b 1 , a 2 ≤ b 2 , ..., a n ≤ b n . Por ejemplo, ∨, ∧, ⊤, ⊥.
Leer las asignaciones de valores de verdad para la operación de arriba a abajo en su tabla de verdad es lo mismo que tomar el complemento de leer la tabla del mismo u otro conectivo de abajo hacia arriba. Sin recurrir a tablas de verdad se puede formular como g̃ (¬ a 1 , ..., ¬ a n ) = ¬ g ( a 1 , ..., a n ) . Por ejemplo, ¬.
Preservar la verdad
El compuesto de todos esos argumentos son tautologías es una tautología en sí misma. Ej., ∨, ∧, ⊤, →, ↔, ⊂ (ver validez ).
Preservación de la falsedad
El compuesto de todos esos argumentos son contradicciones es una contradicción en sí misma. Ej., ∨, ∧, , ⊥, ⊄, ⊅ (ver validez ).
f ( f ( a )) = a . Por ejemplo, la negación en la lógica clásica.
Para la lógica clásica e intuicionista, el símbolo "=" significa que las implicaciones correspondientes "...→..." y "...←..." para compuestos lógicos pueden demostrarse como teoremas, y el símbolo "≤" significa que "...→..." para compuestos lógicos es una consecuencia de los correspondientes conectivos "...→..." para variables proposicionales. Algunas lógicas multivaluadas pueden tener definiciones incompatibles de equivalencia y orden (vinculación).
Tanto la conjunción como la disyunción son asociativas, conmutativas e idempotentes en la lógica clásica, la mayoría de las variedades de lógica multivaluada y lógica intuicionista. Lo mismo ocurre con la distributividad de la conjunción sobre la disyunción y la disyunción sobre la conjunción, así como con la ley de absorción.
En la lógica clásica y algunas variedades de lógica multivaluada, la conjunción y la disyunción son duales, y la negación es autodual; esta última también es autodual en la lógica intuicionista.
Orden de precedencia
Como forma de reducir el número de paréntesis necesarios, se pueden introducir reglas de precedencia : ¬ tiene mayor precedencia que ∧, ∧ es mayor que ∨ y ∨ es mayor que →. Así, por ejemplo, es la abreviatura de .
A continuación se muestra una tabla que muestra la precedencia de operadores lógicos comúnmente utilizada. [19]
Sin embargo, no todos los compiladores utilizan el mismo orden; por ejemplo, también se ha utilizado un orden en el que la disyunción tiene menor prioridad que la implicación o la bi-implicación. [20] A veces, la precedencia entre conjunción y disyunción no se especifica, lo que requiere proporcionarla explícitamente en una fórmula determinada entre paréntesis. El orden de precedencia determina qué conectivo es el "conectivo principal" al interpretar una fórmula no atómica.
Pero no todos los usos de un conectivo lógico en la programación informática tienen una semántica booleana. Por ejemplo, a veces se implementa una evaluación diferida para P ∧ Q y P ∨ Q , por lo que estos conectivos no son conmutativos si una o ambas expresiones P , Q tienen efectos secundarios . Además, un condicional , que en cierto sentido corresponde al conectivo condicional material , es esencialmente no booleano porque, para if (P) then Q;, el consecuente Q no se ejecuta si el antecedente P es falso (aunque un compuesto en su conjunto tiene éxito ≈ "verdadero" en tal caso). Esto está más cerca de los puntos de vista intuicionistas y constructivistas sobre el condicional material, que de los puntos de vista de la lógica clásica.
Tabla y diagrama de Hasse.
Los 16 conectivos lógicos se pueden ordenar parcialmente para producir el siguiente diagrama de Hasse . El orden parcial se define declarando que si y sólo si siempre se cumple entonces también se cumple
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Fuentes
Bocheński, Józef Maria (1959), A Précis of Mathematical Logic , traducido de las ediciones francesa y alemana por Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, Holanda Meridional.
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