clasificación ADE

Los sencillos diagramas de Dynkin clasifican diversos objetos matemáticos.

En matemáticas , la clasificación ADE (originalmente clasificaciones ADE ) es una situación en la que ciertos tipos de objetos están en correspondencia con diagramas de Dynkin simplemente entrelazados . La cuestión de dar un origen común a estas clasificaciones, en lugar de una verificación a posteriori de un paralelismo, se planteó en (Arnold 1976). La lista completa de diagramas de Dynkin simplemente entrelazados comprende

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.}$

Aquí, "simplemente entrelazado" significa que no hay múltiples aristas, lo que corresponde a todas las raíces simples en el sistema de raíces que forman ángulos de (sin arista entre los vértices) o (un solo borde entre los vértices). Estos son dos de las cuatro familias de diagramas de Dynkin (omitiendo y ), y tres de los cinco diagramas de Dynkin excepcionales (omitiendo y ). ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Esta lista no es redundante si se toma por Si se extienden las familias para incluir términos redundantes, se obtienen los isomorfismos excepcionales ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n}.}$

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

y los correspondientes isomorfismos de objetos clasificados.

La nomenclatura A , D , E también produce los grupos finitos de Coxeter simplemente entrelazados , mediante los mismos diagramas: en este caso los diagramas de Dynkin coinciden exactamente con los diagramas de Coxeter, ya que no hay aristas múltiples.

Álgebras de mentira

En términos de álgebras de Lie complejas semisimples:

• ${\displaystyle A_{n}}$corresponde al álgebra lineal especial de Lie de operadores sin rastro , ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$
• ${\displaystyle D_{n}}$corresponde al álgebra de Lie ortogonal especial par de operadores sesgados-simétricos de dimensión par , y ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$son tres de las cinco álgebras de Lie excepcionales.

En términos de álgebras de Lie compactas y sus correspondientes grupos de Lie simplemente entrelazados :

• ${\displaystyle A_{n}}$corresponde al álgebra del grupo unitario especial ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ ${\displaystyle SU(n+1);}$
• ${\displaystyle D_{n}}$corresponde al álgebra del grupo ortogonal especial proyectivo par , mientras que ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ ${\displaystyle PSO(2n)}$
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$son tres de cinco álgebras de Lie compactas excepcionales .

Grupos poliédricos binarios

La misma clasificación se aplica a los subgrupos discretos de los grupos poliédricos binarios ; propiamente, los grupos poliédricos binarios corresponden a los diagramas afines de Dynkin simplemente entrelazados y las representaciones de estos grupos pueden entenderse en términos de estos diagramas. Esta conexión se conoce como ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},}$Correspondencia de McKay después deJohn McKay. La conexión conlos sólidos platónicosse describe en (Dickson 1959). La correspondencia utiliza la construcción delgráfico de McKay.

Tenga en cuenta que la correspondencia ADE no es la correspondencia de los sólidos platónicos con su grupo de simetrías de reflexión: por ejemplo, en la correspondencia ADE el tetraedro , cubo / octaedro y dodecaedro / icosaedro corresponden mientras que los grupos de reflexión del tetraedro, cubo/octaedro , y el dodecaedro/icosaedro son en cambio representaciones de los grupos de Coxeter y ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},}$ ${\displaystyle A_{3},BC_{3},}$ ${\displaystyle H_{3}.}$

El orbifold construido utilizando cada subgrupo discreto conduce a una singularidad de tipo ADE en el origen, denominada singularidad du Val . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

La correspondencia de McKay se puede ampliar a diagramas de Dynkin entrelazados múltiples, utilizando un par de grupos poliédricos binarios. Esto se conoce como la correspondencia de Slodowy , que lleva el nombre de Peter Slodowy (ver (Stekolshchik 2008).

Gráficos etiquetados

Los gráficos ADE y los gráficos ADE extendidos (afines) también se pueden caracterizar en términos de etiquetado con ciertas propiedades, ^[1] que se pueden expresar en términos de operadores discretos de Laplace ^[2] o matrices de Cartan . Se pueden encontrar pruebas en términos de matrices de Cartan en (Kac 1990, págs. 47-54).

Los gráficos ADE afines son los únicos que admiten un etiquetado positivo (etiquetado de los nodos mediante números reales positivos) con la siguiente propiedad:

El doble de cualquier etiqueta es la suma de las etiquetas en los vértices adyacentes.

Es decir, son las únicas funciones positivas con valor propio 1 para el laplaciano discreto (suma de vértices adyacentes menos valor del vértice): las soluciones positivas de la ecuación homogénea:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

De manera equivalente, las funciones positivas en el núcleo de La numeración resultante es única hasta la escala y, si se normaliza de modo que el número más pequeño sea 1, consta de números enteros pequeños (del 1 al 6, según el gráfico). ${\displaystyle \Delta -I.}$

Los gráficos ADE ordinarios son los únicos que admiten un etiquetado positivo con la siguiente propiedad:

El doble de cualquier etiqueta menos dos es la suma de las etiquetas en los vértices adyacentes.

En términos del Laplaciano, las soluciones positivas de la ecuación no homogénea:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

La numeración resultante es única (la escala se especifica con el "2") y consta de números enteros; para E ₈ varían de 58 a 270 y ya se han observado (Bourbaki 1968).

Otras clasificaciones

Las catástrofes elementales también se clasifican según la clasificación ADE.

Los diagramas ADE son exactamente carcaj de tipo finito, según el teorema de Gabriel .

También existe un vínculo con los cuadriláteros generalizados , ya que los tres GQ no degenerados con tres puntos en cada línea corresponden a los tres sistemas de raíces excepcionales E ₆ , E ₇ y E ₈ . ^[3] Las clases A y D corresponden a casos degenerados donde el conjunto de líneas está vacío o tenemos todas las líneas pasando por un punto fijo, respectivamente. ^[4]

Existen profundas conexiones entre estos objetos, que se insinúan en la clasificación; ^{[ cita necesaria ]} algunas de estas conexiones pueden entenderse a través de la teoría de cuerdas y la mecánica cuántica .

Se sugirió que las simetrías de pequeños grupos de gotas pueden estar sujetas a una clasificación ADE. ^[5]

Los modelos mínimos de la teoría de campos conformes bidimensionales tienen una clasificación ADE.

Las teorías de carcaj de calibre superconformal de cuatro dimensiones con grupos de calibre unitarios tienen una clasificación ADE. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Trinidades

Arnold propuso posteriormente muchas otras conexiones en este ^{[ ¿cuál? ]} , bajo la rúbrica de "trinidades matemáticas", ^{[6] [7]} y McKay ha extendido su correspondencia a lo largo de líneas paralelas y a veces superpuestas. Arnold denomina a estas " trinidades " para evocar la religión y sugiere que (actualmente) estos paralelos se basan más en la fe que en pruebas rigurosas, aunque algunos paralelos están elaborados. Otros autores han sugerido otras trinidades. ^{[8] [9] [10]} Las trinidades de Arnold comienzan con R / C / H (los números reales, los números complejos y los cuaterniones), que, según él, "todos conocen", y procede a imaginar las otras trinidades como "complejidades" y "cuaternionificaciones" de las matemáticas clásicas (reales), por analogía con la búsqueda de análogos simplécticos de la geometría riemanniana clásica, que había propuesto previamente en la década de 1970. Además de los ejemplos de topología diferencial (como las clases características ), Arnold considera que las tres simetrías platónicas (tetraédrica, octaédrica, icosaédrica) corresponden a los reales, complejos y cuaterniones, lo que luego se conecta con las correspondencias más algebraicas de McKay, a continuación.

Las correspondencias de McKay son más fáciles de describir. En primer lugar, los diagramas de Dynkin extendidos (correspondientes a la simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica) tienen grupos de simetría respectivamente, y los pliegues asociados son los diagramas (tenga en cuenta que en escritos menos cuidadosos, el calificador extendido (tilde) a menudo se omite). Más significativamente, McKay sugiere una correspondencia entre los nodos del diagrama y ciertas clases de conjugación del grupo de monstruos , lo que se conoce como observación E ₈ de McKay ; ^{[11] [12]} ver también alcohol ilegal monstruoso . McKay relaciona además los nodos de con las clases de conjugación en 2. B (una extensión de orden 2 del grupo de monstruos bebés ), y los nodos de con las clases de conjugación en 3. Fi ₂₄ ' (una extensión de orden 3 del grupo de Fischer ) ^{[12 ]} – observe que estos son los tres grupos esporádicos más grandes , y que el orden de la extensión corresponde a las simetrías del diagrama. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$

Pasando de grupos grandes simples a pequeños, los grupos platónicos correspondientes tienen conexiones con los grupos lineales proyectivos especiales PSL(2,5), PSL(2,7) y PSL(2,11) (órdenes 60, 168 y 660). ), ^{[13] [14]} que se considera una "correspondencia McKay". ^[15] Estos grupos son los únicos valores (simples) para p tales que PSL(2, p ) actúa de manera no trivial en p puntos , un hecho que se remonta a Évariste Galois en la década de 1830. De hecho, los grupos se descomponen como productos de conjuntos (no como productos de grupos) como: y Estos grupos también están relacionados con varias geometrías, que data de Felix Klein en la década de 1870; ver simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para una discusión histórica y (Kostant 1995) para una exposición más reciente. Las geometrías asociadas (mosaicos sobre superficies de Riemann ) en las que se puede ver la acción sobre p puntos son las siguientes: PSL(2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0) con el compuesto de cinco tetraedros como un conjunto de 5 elementos , PSL(2,7) del cuartico de Klein (género 3) con un plano de Fano incrustado (complementario) como un conjunto de 7 elementos (biplano de orden 2), y PSL(2,11) el ${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$ ${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$ ${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$Superficie de buckminsterfullereno (género 70) conbiplano de Paleycomo un conjunto de 11 elementos (biplano).^[16]De estos, el icosaedro data de la antigüedad, el cuártico de Klein de Klein en la década de 1870 y la superficie de buckyball de Pablo Martin y David Singerman en 2008.

Algebro-geométricamente, McKay también asocia E ₆ , E ₇ , E ₈ respectivamente con: las 27 líneas en una superficie cúbica , las 28 bitangentes de una curva cuártica plana y los 120 planos tritangentes de una curva sextica canónica de género 4 ^{. 17] [18]} El primero de ellos es bien conocido, mientras que el segundo está relacionado de la siguiente manera: proyectando la cúbica desde cualquier punto que no esté en una línea se obtiene una doble cobertura del plano, ramificada a lo largo de una curva cuártica, con las 27 líneas mapeando a 27 de los 28 bitangentes, y la línea 28 es la imagen de la curva excepcional de la explosión. Tenga en cuenta que las representaciones fundamentales de E ₆ , E ₇ , E ₈ tienen dimensiones 27, 56 (28·2) y 248 (120+128), mientras que el número de raíces es 27+45 = 72, 56+70 = 126. , y 112+128 = 240. Esto también debería encajar en el esquema ^[19] de relacionar E _8,7,6 con los tres mayores de los grupos simples esporádicos, Monster, Baby y Fischer 24', cf. luz de luna monstruosa .

Ver también

• Superficie elíptica

Referencias

1. (Proctor 1993)
2. (Proctor 1993, pág.940)
3. Cameron PJ; Goethals, JM; Seidel, JJ; Shult, EE Gráficos lineales, sistemas de raíces y geometría elíptica.
4. Godsil Chris; Gordon Royle. Teoría de grafos algebraicos , Capítulo 12
5. Fedorets AA, et al. Simetría de pequeños grupos de gotas de agua levitantes. Física. Química. Química. Física. , 2020, https://doi.org/10.1039/D0CP01804J
6. Arnold, Vladimir, 1997, Conferencias de Toronto, Conferencia 2: Simplicización, Complejificación y Trinidades Matemáticas, junio de 1997 (última actualización en agosto de 1998). Texto, PostScript, PDF
7. Polimatemáticas: ¿son las matemáticas una ciencia única o un conjunto de artes? En el servidor desde el 10 de marzo de 1999, Resumen, TeX, PostScript, PDF; ver tabla en la página 8
8. Les trinités remarquables, Frédéric Chapoton (en francés)
9. le Bruyn, Lieven (17 de junio de 2008), Las trinidades de Arnold
10. le Bruyn, Lieven (20 de junio de 2008), Arnold's Trinitys versión 2.0
11. Grupos aritméticos y el diagrama afín E8 Dynkin, por John F. Duncan, en Grupos y simetrías: de los escoceses neolíticos a John McKay
12. le Bruyn, Lieven (22 de abril de 2009), el gráfico del monstruo y la observación de McKay
13. Kostant, Bertram (1995), "La gráfica del icosaedro truncado y la última letra de Galois" (PDF) , Notes Amer. Matemáticas. Soc. , 42 (4): 959–968, ver: La incrustación de PSl(2, 5) en PSl(2, 11) y la carta de Galois a Chevalier.
14. le Bruyn, Lieven (12 de junio de 2008), última carta de Galois, archivada desde el original el 15 de agosto de 2010
15. (Kostant 1995, pág.964)
16. Martín, Pablo; Singerman, David (17 de abril de 2008), De los biplanos al cuartico de Klein y la Buckyball (PDF)
17. Arnold 1997, pag. 13
18. (McKay y Sebbar 2007, pág.11)
19. Yang-Hui He y John McKay , https://arxiv.org/abs/1505.06742

Fuentes

• Bourbaki, Nicolas (1968), "Capítulos 4 a 6", Groupes et algebres de Lie , París: Hermann
• Arnold, Vladimir (1976), "Problemas en las matemáticas actuales", en Felix E. Browder (ed.), Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert , Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 28, Sociedad Matemática Estadounidense , pág. 46Problema VIII. Las clasificaciones ADE (V. Arnold).
• Dickson, Leonard E. (1959), "XIII: Grupos de sólidos regulares; ecuaciones quínticas", Teorías algebraicas , Nueva York: Publicaciones de Dover
• Hazewinkel, Michiel ; Hesseling; Siersma, JD.; Veldkamp, ​​F. (1977), "La ubicuidad de los diagramas de Coxeter Dynkin. (Una introducción al problema ADE)" (PDF) , Nieuw Archief v. Wiskunde , 35 (3): 257–307
• McKay, John (1980), "Gráficos, singularidades y grupos finitos", Proc. Síntoma. Matemática pura. , 37 , americano. Matemáticas. Soc.: 183– y 265–
• McKay, John (1982), "Representaciones y gráficos de Coxeter", "La vena geométrica", Coxeter Festschrift , Berlín: Springer-Verlag , págs.
• Kac, Victor G. (1990), Álgebras de mentiras de dimensión infinita (3.ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46693-8
• McKay, John (1 de enero de 2001), Una rápida introducción a la teoría ADE
• Proctor, RA (diciembre de 1993), "Dos divertidas clasificaciones de gráficos de diagramas de Dynkin", The American Mathematical Monthly , 100 (10): 937–941, doi :10.2307/2324217, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324217
• McKay, J.; Sebbar, Abdellah (2007). "Funciones replicables: una introducción". Fronteras en teoría de números, física y geometría, II . Saltador. págs. 373–386. doi :10.1007/978-3-540-30308-4_10.
• Stekolshchik, R. (2008), Notas sobre las transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay , Monografías de Springer en Matemáticas, doi :10.1007/978-3-540-77398-3, ISBN 978-3-540-77398-6
• van Hoboken, Joris (2002), Sólidos platónicos, grupos poliédricos binarios, singularidades kleinianas y álgebras de Lie de tipo A,D,E (PDF) , tesis de maestría, Universidad de Amsterdam, archivada desde el original (PDF) el 2012-04- 26 , consultado el 23 de noviembre de 2011

enlaces externos

• John Baez , Hallazgos de esta semana en física matemática: semana 62, semana 63, semana 64, semana 65, del 28 de agosto de 1995 al 3 de octubre de 1995 y la semana 230, 4 de mayo de 2006
• La correspondencia McKay, Tony Smith
• Clasificación ADE, correspondencia de McKay y teoría de cuerdas, Luboš Motl , The Reference Frame, 7 de mayo de 2006