Divisor excepcional

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un divisor excepcional para una aplicación regular

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

de variedades es una especie de subvariedad "grande" de la cual es "aplastada" por , en un cierto sentido definido. Más estrictamente, f tiene un lugar excepcional asociado que describe cómo identifica puntos cercanos en la codimensión uno, y el divisor excepcional es una construcción algebraica apropiada cuyo soporte es el lugar excepcional. Las mismas ideas se pueden encontrar en la teoría de las asignaciones holomorfas de variedades complejas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Más precisamente, supongamos que

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

es un mapa regular de variedades que es biracional (es decir, es un isomorfismo entre subconjuntos abiertos de y ). Se dice que una subvariedad de codimensión 1 es excepcional si tiene al menos una codimensión 2 como subvariedad de . Entonces se puede definir el divisor excepcional de como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle f(Z)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{i}Z_{i}\in Div(X),}$

donde la suma abarca todas las subvariedades excepcionales de , y es un elemento del grupo de divisores de Weil en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

La consideración de divisores excepcionales es crucial en geometría biracional : un resultado elemental (ver, por ejemplo, Shafarevich, II.4.4) muestra (bajo supuestos adecuados) que cualquier aplicación regular biracional que no sea un isomorfismo tiene un divisor excepcional. Un ejemplo particularmente importante es la explosión

${\displaystyle \sigma :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

de una subvariedad

${\displaystyle W\subset X}$:

en este caso el divisor excepcional es exactamente la preimagen de . ${\displaystyle W}$

Referencias

• Shafarevich, Igor (1994). Geometría algebraica básica, vol. 1 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-54812-2.