En matemáticas , un 4-politopo regular o policorono regular es un politopo regular de cuatro dimensiones . Son los análogos de cuatro dimensiones de los poliedros regulares en tres dimensiones y de los polígonos regulares en dos dimensiones.
Hay seis politopos cuatripartitos convexos y diez politopos regulares en forma de estrella , lo que da un total de dieciséis.
Los 4-politopos regulares convexos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. [1] Descubrió que existen exactamente seis de esas figuras.
Schläfli también encontró cuatro de los 4-politopos estelares regulares: el gran politopo de 120 celdas , el gran politopo estelado de 120 celdas , el gran politopo estelado de 600 celdas y el gran politopo estelado de 120 celdas . Se saltó los seis restantes porque no permitiría formas que no cumplieran con la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de cero agujeros: F − E + V = 2). Eso excluye celdas y figuras de vértice como el gran dodecaedro {5, 5/2 } y pequeño dodecaedro estrellado { 5/2, 5}.
Edmund Hess (1843-1903) publicó la lista completa en su libro alemán de 1883 Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .
La existencia de un 4-politopo regular está restringida por la existencia de los poliedros regulares que forman sus celdas y una restricción de ángulo diedro.
para garantizar que las células se junten para formar una superficie cerrada de 3 superficies.
Los seis politopos convexos y diez estelares descritos son las únicas soluciones a estas restricciones.
Hay cuatro símbolos de Schläfli no convexos {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r}, y pasan la prueba diedral, pero no producen figuras finitas: {3, 5/2 ,3}, {4,3, 5/2 }, { 5/2 ,3,4}, { 5/2 ,3, 5/2 }.
Los 4-politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos en tres dimensiones y los polígonos regulares convexos en dos dimensiones.
Cada 4-politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todas sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Estas están encajadas entre sí a lo largo de sus respectivas caras (cara con cara) de manera regular, formando la superficie del 4-politopo, que es un espacio tridimensional cerrado y curvo (de manera análoga a la forma en que la superficie de la Tierra es un espacio bidimensional cerrado y curvo).
Al igual que sus análogos tridimensionales, los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar naturalmente por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido dentro del mismo radio. [2] El 4-símplex (de 5 celdas) tiene el contenido más pequeño, y el de 120 celdas tiene el más grande.
La siguiente tabla enumera algunas propiedades de los seis 4-politopos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos 4-politopos son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del grupo.
John Conway defendió los nombres de símplex, ortoplex, teseracto, octaplex o polioctaedro (pO), tetraplex o politetraedro (pT) y dodecaplex o polidodecaedro (pD). [3]
Norman Johnson defendió los nombres n-célula, o pentachoron, hexadecachoron, teseracto u octachoron, icositetrachoron, hexacosichoron y hecatonicosachoron (o dodecacontachoron), acuñando el término polichoron como una analogía 4D del poliedro 3D y polígono 2D, expresado a partir de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). [4] [5]
La característica de Euler para todos los 4-politopos es cero, tenemos el análogo 4-dimensional de la fórmula poliédrica de Euler:
donde N k denota el número de k -caras en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).
La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [6]
Un politopo cuatripartito regular puede describirse completamente como una matriz de configuración que contiene los recuentos de sus elementos componentes. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales (de la parte superior izquierda a la inferior derecha) indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en el politopo cuatripartito completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. Por ejemplo, hay 2 vértices en cada arista (cada arista tiene 2 vértices) y 2 celdas se encuentran en cada cara (cada cara pertenece a 2 celdas), en cualquier politopo cuatripartito regular. La configuración del politopo dual puede obtenerse rotando la matriz 180 grados. [7] [8]
La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos 4-politopos. Se pueden encontrar otras visualizaciones en los enlaces externos que aparecen a continuación. Los gráficos del diagrama de Coxeter-Dynkin también se muestran debajo del símbolo de Schläfli .
Los 4-politopos de Schläfli–Hess son el conjunto completo de 10 policoros estelares autointersecantes regulares ( politopos cuatridimensionales ). [10] Se denominan así en honor a sus descubridores: Ludwig Schläfli y Edmund Hess . Cada uno está representado por un símbolo de Schläfli { p , q , r } en el que uno de los números es 5/2 . Son, pues, análogos a los poliedros regulares no convexos de Kepler-Poinsot , que a su vez son análogos al pentagrama.
Los nombres que se dan aquí fueron dados por John Conway , ampliando los nombres de Cayley para los poliedros de Kepler-Poinsot : junto con estrellado y grande , agrega un modificador grande . Conway ofreció estas definiciones operativas:
John Conway nombra las 10 formas de 3 politopos de 4 celdas regulares: pT = politetraedro {3,3,5} (un tetraédrico de 600 celdas ), pI = poliicosaedro {3,5, 5/2} (un icosaédrico de 120 celdas ), y pD=polidodecaedro {5,3,3} (un dodecaédrico de 120 celdas ), con modificadores de prefijo: g , a y s para grande, (ag)grand y estrellado. La estelación final, el gran gran polidodecaedro estrellado, los contiene a todos como gaspD .
Los diez policoros tienen simetría hexacosicórica [3,3,5] ( H 4 ) . Se generan a partir de seis grupos de simetría de orden racional de tetraedros de Goursat relacionados : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] y [3,3,5/2].
Cada grupo tiene dos policoras estelares regulares, excepto dos grupos que son autoduales y tienen solo una. Por lo tanto, hay cuatro pares duales y dos formas autoduales entre las diez policoras estelares regulares.
Nota:
Las celdas (poliedros), sus caras (polígonos), las figuras de aristas poligonales y las figuras de vértices poliédricos se identifican mediante sus símbolos Schläfli .
