En geometría , un tetraedro de Goursat es un dominio fundamental tetraédrico de una construcción de Wythoff . Cada cara tetraédrica representa un hiperplano de reflexión en superficies tridimensionales: la 3-esfera , el 3-espacio euclidiano y el 3-espacio hiperbólico. Coxeter los nombró así en honor a Édouard Goursat , quien fue el primero en investigar estos dominios. Es una extensión de la teoría de los triángulos de Schwarz para las construcciones de Wythoff en la esfera.
Un tetraedro de Goursat se puede representar gráficamente mediante un grafo tetraédrico, que se encuentra en una configuración dual del tetraedro de dominio fundamental. En el grafo, cada nodo representa una cara (espejo) del tetraedro de Goursat. Cada arista está etiquetada por un valor racional correspondiente al orden de reflexión, siendo π/ ángulo diedro .
Un diagrama de Coxeter-Dynkin de 4 nodos representa este grafo tetraédrico con aristas ocultas de orden 2. Si muchas aristas son de orden 2, el grupo de Coxeter se puede representar mediante una notación de corchetes .
La existencia requiere que cada uno de los subgrafos de 3 nodos de este grafo, (pqr), (pus), (qtu) y (rst), correspondan a un triángulo de Schwarz .
Una simetría extendida del tetraedro de Goursat es un producto semidirecto de la simetría del grupo de Coxeter y la simetría del dominio fundamental (el tetraedro de Goursat en estos casos). La notación de Coxeter admite esta simetría, ya que los corchetes dobles como [Y[X]] significan simetría completa del grupo de Coxeter [X], con Y como una simetría del tetraedro de Goursat. Si Y es una simetría reflexiva pura, el grupo representará otro grupo de espejos de Coxeter. Si solo hay una simetría de duplicación simple, Y puede estar implícita como [[X]] con simetría reflexiva o rotacional según el contexto.
La simetría extendida de cada tetraedro de Goursat también se da a continuación. La simetría más alta posible es la del tetraedro regular como [3,3], y esto ocurre en el grupo puntual prismático [2,2,2] o [2 [3,3] ] y el grupo hiperbólico paracompacto [3 [3,3] ].
Consulte Tetraedro#Isometrías de tetraedros irregulares para ver 7 isometrías de simetría inferior del tetraedro.
Las siguientes secciones muestran todas las soluciones tetraédricas de Goursat de números enteros en la esfera tridimensional, el espacio tridimensional euclidiano y el espacio tridimensional hiperbólico. También se proporciona la simetría extendida de cada tetraedro.
Los diagramas tetraédricos coloreados que aparecen a continuación son figuras de vértices para politopos omnitruncados y panales de abejas de cada familia de simetría. Las etiquetas de las aristas representan órdenes de caras poligonales, que es el doble del orden de ramificación del grafo de Coxeter. El ángulo diedro de una arista etiquetada como 2n es π/ n . Las aristas amarillas etiquetadas como 4 provienen de nodos espejo en ángulo recto (no conectados) en el diagrama de Coxeter.
Las soluciones para las 3-esferas con densidad 1 son: ( Polichora uniforme )
Soluciones de densidad 1: Panales uniformes convexos :
Soluciones de densidad 1: ( Panales convexos uniformes en el espacio hiperbólico ) ( Diagrama de Coxeter#Compacto (Grupos símplex de Lannér) )
Soluciones de densidad 1: (Ver diagrama de Coxeter#Paracompacto (grupos símplex de Koszul) )
Hay cientos de soluciones racionales para la 3-esfera , incluidos estos 6 gráficos lineales que generan la policora de Schläfli-Hess y 11 no lineales de Coxeter:
En total, hay 59 tetraedros esporádicos con ángulos racionales y 2 familias infinitas. [1]