Este artículo enumera los politopos regulares en espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos .
Esta tabla muestra un resumen de los recuentos de politopos regulares por rango.
No existen teselaciones de estrellas regulares euclidianas en ningún número de dimensiones.
Sólo existe un politopo de rango 1 (1-politopo), el segmento de línea cerrado limitado por sus dos puntos finales. Toda realización de este 1-politopo es regular. Tiene el símbolo de Schläfli { }, [2] [3] o un diagrama de Coxeter con un solo nodo en anillo,
Norman Johnson lo llama dion [4] y le da el símbolo Schläfli { }.
Aunque es trivial como politopo, aparece como los bordes de polígonos y otros politopos de dimensiones superiores. [5] Se utiliza en la definición de prismas uniformes como el símbolo de Schläfli { }×{p} o el diagrama de Coxeter.
como un producto cartesiano de un segmento de línea y un polígono regular. [6]
Los politopos de rango 2 (2-politopos) se denominan polígonos . Los polígonos regulares son equiláteros y cíclicos . Un polígono regular p -gonal se representa mediante el símbolo de Schläfli {p}.
Muchas fuentes solo consideran polígonos convexos , pero los polígonos estrellados , como el pentagrama , cuando se consideran, también pueden ser regulares. Utilizan los mismos vértices que las formas convexas, pero se conectan en una conectividad alternada que pasa alrededor del círculo más de una vez para completarse.
El símbolo de Schläfli {p} representa un p -gono regular .
El dígono regular {2} puede considerarse un polígono regular degenerado . Puede realizarse de forma no degenerada en algunos espacios no euclidianos, como en la superficie de una esfera o un toro . Por ejemplo, el dígono puede realizarse de forma no degenerada como una luna esférica . Un monógono {1} también podría realizarse en la esfera como un único punto con un círculo máximo que lo atraviese. [7] Sin embargo, un monógono no es un politopo abstracto válido porque su única arista incide solo en un vértice en lugar de dos.
Existen infinitos politopos regulares en forma de estrella en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales { n / m } . Se denominan polígonos en forma de estrella y comparten la misma disposición de vértices de los polígonos regulares convexos.
En general, para cualquier número natural n , existen estrellas regulares de n puntas con símbolos de Schläfli { n / m } para todo m tales que m < n /2 (estrictamente hablando { n / m } = { n /( n − m )} ) y m y n son coprimos (por lo tanto, todas las estelaciones de un polígono con un número primo de lados serán estrellas regulares). Los símbolos donde m y n no son coprimos se pueden usar para representar polígonos compuestos.
Pueden existir polígonos estrellados que solo pueden existir como teselas esféricas, de manera similar al monógono y al dígono (por ejemplo: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/5}), sin embargo, estos no han sido estudiados en detalle.
También existen polígonos estrellados fallidos, como el piangle , que no cubren la superficie de un círculo un número finito de veces. [8]
Además de los polígonos regulares planos, existen infinitos polígonos oblicuos regulares . Los polígonos oblicuos se pueden crear mediante la operación de combinación.
La combinación de dos polígonos P y Q , escrita P # Q , se puede construir de la siguiente manera:
Alternativamente, la mezcla es el polígono ⟨ ρ 0 σ 0 , ρ 1 σ 1 ⟩ donde ρ y σ son los espejos generadores de P y Q colocados en subespacios ortogonales. [9] La operación de mezcla es conmutativa, asociativa e idempotente.
Cada polígono oblicuo regular se puede expresar como la mezcla de un conjunto único [i] de polígonos planos. [9] Si P y Q no comparten factores, entonces Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q ) .
Los polígonos finitos regulares en 3 dimensiones son exactamente las fusiones de los polígonos planos (dimensión 2) con el dígono (dimensión 1). Tienen vértices correspondientes a un prisma ( { n / m }#{} donde n es impar) o un antiprisma ( { n / m }#{} donde n es par). Todos los polígonos en el espacio tridimensional tienen un número par de vértices y aristas.
Varios de estos aparecen como polígonos de Petrie de poliedros regulares.
Los polígonos finitos regulares en 4 dimensiones son exactamente los polígonos formados como una mezcla de dos polígonos planos distintos. Tienen vértices que se encuentran en un toro de Clifford y están relacionados por un desplazamiento de Clifford . A diferencia de los polígonos tridimensionales, los polígonos oblicuos en rotaciones dobles pueden incluir un número impar de lados.
Los politopos de rango 3 se llaman poliedros :
Un poliedro regular con símbolo de Schläfli { p , q } , diagramas de Coxeter
, tiene un tipo de cara regular { p } y una figura de vértice regular { q } .
Una figura de vértice (de un poliedro) es un polígono, que se ve al conectar los vértices que están a una arista de distancia de un vértice dado. Para los poliedros regulares , esta figura de vértice es siempre un polígono regular (y plano).
La existencia de un poliedro regular { p , q } está restringida por una desigualdad, relacionada con el defecto del ángulo de la figura del vértice :
Al enumerar las permutaciones , encontramos cinco formas convexas, cuatro formas de estrella y tres teselas planas, todas con polígonos { p } y { q } limitados a: {3}, {4}, {5}, {5/2} y {6}.
Más allá del espacio euclidiano, hay un conjunto infinito de teselas hiperbólicas regulares.
Los cinco poliedros regulares convexos se denominan sólidos platónicos . La cifra de vértices se indica con el recuento de cada vértice. Todos estos poliedros tienen una característica de Euler (χ) de 2.
En geometría esférica existen poliedros esféricos regulares ( teselados de la esfera ) que de otro modo se degenerarían como politopos. Se trata de los hosoedros {2,n} y sus diedros duales {n,2}. Coxeter llama a estos casos teselados "impropios". [10]
A continuación se enumeran los primeros casos (n del 2 al 6).
También existen diedros y hosoedros estelares { p / q , 2} y {2, p / q } para cualquier polígono estrellado { p / q } .
Los poliedros estrellados regulares se denominan poliedros de Kepler-Poinsot y son cuatro, basados en las disposiciones de los vértices del dodecaedro {5,3} y el icosaedro {3,5}:
Como teselación esférica , estas formas estelares se superponen a la esfera varias veces, lo que se denomina densidad , siendo 3 o 7 para estas formas. Las imágenes de teselación muestran una única cara de polígono esférico en amarillo.
Hay una cantidad infinita de poliedros estrellados fallidos. También son teselas esféricas con polígonos estrellados en sus símbolos de Schläfli, pero no cubren una esfera un número finito de veces. Algunos ejemplos son {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4,5/2} y {3,7/3}.
Los poliedros oblicuos regulares son generalizaciones del conjunto de poliedros regulares que incluyen la posibilidad de figuras de vértices no planas .
Para los poliedros oblicuos de cuatro dimensiones, Coxeter propuso un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n} para estas figuras, donde {l,m} implica la figura del vértice , m l-gonos alrededor de un vértice y n agujeros en el gonal. Sus figuras de vértice son polígonos oblicuos que zigzaguean entre dos planos.
Los poliedros oblicuos regulares, representados por {l,m|n}, siguen esta ecuación:
Cuatro de ellos pueden verse en 4 dimensiones como un subconjunto de caras de cuatro 4-politopos regulares , que comparten la misma disposición de vértices y disposición de aristas :
Los 4-politopos regulares con símbolo Schläfli tienen celdas de tipo , caras de tipo , figuras de arista y figuras de vértice .
La existencia de un 4-politopo regular está limitada por la existencia de los poliedros regulares . Un nombre sugerido para los 4-politopos es "policoronte". [11]
Cada uno existirá en un espacio dependiente de esta expresión:
Estas restricciones permiten 21 formas: 6 son convexas, 10 son no convexas, una es un panal euclidiano de 3 espacios y 4 son panales hiperbólicos.
La característica de Euler para 4-politopos convexos es cero:
En la siguiente tabla se muestran los 6 4-politopos regulares convexos. Todos estos 4-politopos tienen una característica de Euler (χ) de 0.
Los di-4-topos y hoso-4-topos existen como teselaciones regulares de la 3-esfera .
Los di-4-topos regulares (2 facetas) incluyen: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}, y sus duales hoso-4-topos (2 vértices): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. Los 4-politopos de la forma {2, p ,2} son los mismos que {2,2, p }. También existen los casos { p ,2, q } que tienen celdas diedras y figuras de vértice hosoédricas.
Hay diez politopos de cuatro estrellas regulares , que se denominan politopos de cuatro estrellas de Schläfli–Hess . Sus vértices se basan en los politopos convexos de 120 celdas {5,3,3} y 600 celdas {3,3,5} .
Ludwig Schläfli encontró cuatro de ellos y se saltó los últimos seis porque no permitiría formas que no cumplieran la característica de Euler en celdas o figuras de vértices (para toros de agujero cero: F+V−E=2). Edmund Hess (1843-1903) completó la lista completa de diez en su libro alemán Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883)[1].
Hay 4 disposiciones de aristas únicas y 7 disposiciones de caras únicas de estos 10 4-politopos de estrella regulares, que se muestran como proyecciones ortogonales :
Existen 4 posibles permutaciones fallidas de 4 politopos de estrellas regulares: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Sus celdas y figuras de vértices existen, pero no cubren una hiperesfera con un número finito de repeticiones.
Además de los 16 4-politopos planares anteriores, hay 18 politopos oblicuos finitos. [12] Uno de ellos se obtiene como el Petrial del teseracto, y los otros 17 se pueden formar aplicando la operación kappa a los politopos planares y al Petrial del teseracto.
A los 5 politopos se les puede dar el símbolo donde es el tipo de 4 caras, es el tipo de celda, es el tipo de cara y es la figura de la cara, es la figura del borde y es la figura del vértice.
Un 5-politopo regular existe solo si y son 4-politopos regulares.
El espacio en el que encaja se basa en la expresión:
La enumeración de estas restricciones produce 3 politopos convexos, ningún politopo estrella, 3 teselaciones de 4-espacios euclidianos y 5 teselaciones de 4-espacios hiperbólicos paracompactos. Los únicos politopos regulares no convexos para los rangos 5 y superiores son los sesgados.
En dimensiones 5 y superiores, solo hay tres tipos de politopos regulares convexos. [13]
También hay casos impropios en los que algunos números en el símbolo de Schläfli son 2. Por ejemplo, {p,q,r,...2} es un politopo esférico regular impropio siempre que {p,q,r...} sea un politopo esférico regular, y {2,...p,q,r} es un politopo esférico regular impropio siempre que {...p,q,r} sea un politopo esférico regular. Dichos politopos también pueden usarse como facetas, dando lugar a formas como {p,q,...2...y,z}.
No hay politopos estelares regulares de rango 5 o superior, con la excepción de politopos degenerados creados por el producto estelar de politopos estelares de rango inferior, por ejemplo, hosótopos y dítopos.
Existe un politopo proyectivo regular ( n +1) cuando una teselación n -esférica regular original, {p,q,...}, es simétrica centralmente . Un politopo de este tipo se denomina hemi-{p,q,...} y contiene la mitad de elementos. Coxeter da un símbolo {p,q,...}/2, mientras que McMullen escribe {p,q,...} h/2 con h como el número de Coxeter . [14]
Los polígonos regulares de lados pares tienen polígonos proyectivos de hemi- 2n -ágonos, {2p}/2.
Hay 4 poliedros proyectivos regulares relacionados con 4 de los 5 sólidos platónicos .
El hemicubo y el hemioctaedro se generalizan como hemi- n -cubos y hemi -n - ortoplexos a cualquier rango.
5 de los 6 politopos cuadripolares convexos regulares son politopos cuadripolares proyectivos generadores simétricos centralmente. Los 3 casos especiales son hemi-24-celdas, hemi-600-celdas y hemi-120-celdas.
Solo 2 de los 3 politopos esféricos regulares son simétricos centralmente para los rangos 5 o superiores. Los politopos proyectivos regulares correspondientes son las versiones hemi del hipercubo y el ortoplex regulares. Se presentan en una tabla a continuación para el rango 5, por ejemplo:
Un apeirótopo o politopo infinito es un politopo que tiene infinitas facetas . Un n -apeirotopo es un n -politopo infinito: un 2-apeirotopo o apeirógono es un polígono infinito, un 3-apeirotopo o apeiroedro es un poliedro infinito, etc.
Hay dos clases geométricas principales de apeirótopos: [15]
El apeirógono recto es una teselación regular de la línea, que la subdivide en infinitos segmentos iguales. Tiene infinitos vértices y aristas. Su símbolo de Schläfli es {∞} y el diagrama de Coxeter
.
...
...
Existe como límite del p -gono cuando p tiende a infinito, de la siguiente manera:
Los apeirógonos en el plano hiperbólico , más notablemente el apeirógono regular , {∞}, pueden tener una curvatura al igual que los polígonos finitos del plano euclidiano, con los vértices circunscritos por horociclos o hiperciclos en lugar de círculos .
Los apeirógonos regulares que están escalados para converger en el infinito tienen el símbolo {∞} y existen en horociclos, mientras que, de manera más general, pueden existir en hiperciclos.
Arriba hay dos apeirógonos hiperbólicos regulares en el modelo de disco de Poincaré , el de la derecha muestra líneas de reflexión perpendiculares de dominios fundamentales divergentes , separadas por una longitud λ.
Un apeirógono oblicuo en dos dimensiones forma una línea en zigzag en el plano. Si el zigzag es parejo y simétrico, entonces el apeirógono es regular.
Los apeirógonos oblicuo se pueden construir en cualquier número de dimensiones. En tres dimensiones, un apeirógono oblicuo regular traza una espiral helicoidal y puede ser levógiro o dextrógiro.
Hay tres teselaciones regulares del plano.
Hay dos teselaciones regulares impropias: {∞,2}, un diedro apeirogonal , formado por dos apeirógonos , cada uno de los cuales llena la mitad del plano; y, en segundo lugar, su dual, {2,∞}, un hosoedro apeirogonal , visto como un conjunto infinito de líneas paralelas.
No existen teselas planas regulares de polígonos estrellados . Hay muchas enumeraciones que caben en el plano (1/ p + 1/ q = 1/2), como {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, etc., pero ninguna se repite periódicamente.
Las teselaciones del 2-espacio hiperbólico son teselas hiperbólicas . Hay infinitas teselas regulares en H 2 . Como se indicó anteriormente, cada par de números enteros positivos { p , q } tal que 1/ p + 1/ q < 1/2 da una tesela hiperbólica. De hecho, para el triángulo de Schwarz general ( p , q , r ) lo mismo es válido para 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.
There are a number of different ways to display the hyperbolic plane, including the Poincaré disc model which maps the plane into a circle, as shown below. It should be recognized that all of the polygon faces in the tilings below are equal-sized and only appear to get smaller near the edges due to the projection applied, very similar to the effect of a camera fisheye lens.
There are infinitely many flat regular 3-apeirotopes (apeirohedra) as regular tilings of the hyperbolic plane, of the form {p,q}, with p+q<pq/2.
A sampling:
The tilings {p, ∞} have ideal vertices, on the edge of the Poincaré disc model. Their duals {∞, p} have ideal apeirogonal faces, meaning that they are inscribed in horocycles. One could go further (as is done in the table above) and find tilings with ultra-ideal vertices, outside the Poincaré disc, which are dual to tiles inscribed in hypercycles; in what is symbolised {p, iπ/λ} above, infinitely many tiles still fit around each ultra-ideal vertex.[16] (Parallel lines in extended hyperbolic space meet at an ideal point; ultraparallel lines meet at an ultra-ideal point.)[17]
There are 2 infinite forms of hyperbolic tilings whose faces or vertex figures are star polygons: {m/2, m} and their duals {m, m/2} with m = 7, 9, 11, ....[18] The {m/2, m} tilings are stellations of the {m, 3} tilings while the {m, m/2} dual tilings are facetings of the {3, m} tilings and greatenings[ii] of the {m, 3} tilings.
The patterns {m/2, m} and {m, m/2} continue for odd m < 7 as polyhedra: when m = 5, we obtain the small stellated dodecahedron and great dodecahedron,[18] and when m = 3, the case degenerates to a tetrahedron. The other two Kepler–Poinsot polyhedra (the great stellated dodecahedron and great icosahedron) do not have regular hyperbolic tiling analogues. If m is even, depending on how we choose to define {m/2}, we can either obtain degenerate double covers of other tilings or compound tilings.
There are three regular skew apeirohedra in Euclidean 3-space, with planar faces.[19][20][21] They share the same vertex arrangement and edge arrangement of 3 convex uniform honeycombs.
Allowing for skew faces, there are 24 regular apeirohedra in Euclidean 3-space.[23] These include 12 apeirhedra created by blends with the Euclidean apeirohedra, and 12 pure apeirohedra, including the 3 above, which cannot be expressed as a non-trivial blend.
Those pure apeirohedra are:
There are 31 regular skew apeirohedra with convex faces in hyperbolic 3-space with compact or paracompact symmetry:[24]
There is only one non-degenerate regular tessellation of 3-space (honeycombs), {4, 3, 4}:[25]
There are six improper regular tessellations, pairs based on the three regular Euclidean tilings. Their cells and vertex figures are all regular hosohedra {2,n}, dihedra, {n,2}, and Euclidean tilings. These improper regular tilings are constructionally related to prismatic uniform honeycombs by truncation operations. They are higher-dimensional analogues of the order-2 apeirogonal tiling and apeirogonal hosohedron.
There are 15 flat regular honeycombs of hyperbolic 3-space:
Tessellations of hyperbolic 3-space can be called hyperbolic honeycombs. There are 15 hyperbolic honeycombs in H3, 4 compact and 11 paracompact.
There are also 11 paracompact H3 honeycombs (those with infinite (Euclidean) cells and/or vertex figures): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
Noncompact solutions exist as Lorentzian Coxeter groups, and can be visualized with open domains in hyperbolic space (the fundamental tetrahedron having ultra-ideal vertices). All honeycombs with hyperbolic cells or vertex figures and do not have 2 in their Schläfli symbol are noncompact.
There are no regular hyperbolic star-honeycombs in H3: all forms with a regular star polyhedron as cell, vertex figure or both end up being spherical.
Ideal vertices now appear when the vertex figure is a Euclidean tiling, becoming inscribable in a horosphere rather than a sphere. They are dual to ideal cells (Euclidean tilings rather than finite polyhedra). As the last number in the Schläfli symbol rises further, the vertex figure becomes hyperbolic, and vertices become ultra-ideal (so the edges do not meet within hyperbolic space). In honeycombs {p, q, ∞} the edges intersect the Poincaré ball only in one ideal point; the rest of the edge has become ultra-ideal. Continuing further would lead to edges that are completely ultra-ideal, both for the honeycomb and for the fundamental simplex (though still infinitely many {p, q} would meet at such edges). In general, when the last number of the Schläfli symbol becomes ∞, faces of codimension two intersect the Poincaré hyperball only in one ideal point.[16]
There are three kinds of infinite regular tessellations (honeycombs) that can tessellate Euclidean four-dimensional space:
There are also the two improper cases {4,3,4,2} and {2,4,3,4}.
There are three flat regular honeycombs of Euclidean 4-space:[25]
There are seven flat regular convex honeycombs of hyperbolic 4-space:[18]
There are four flat regular star honeycombs of hyperbolic 4-space:[18]
There are seven convex regular honeycombs and four star-honeycombs in H4 space.[26] Five convex ones are compact, and two are paracompact.
Five compact regular honeycombs in H4:
The two paracompact regular H4 honeycombs are: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
Noncompact solutions exist as Lorentzian Coxeter groups, and can be visualized with open domains in hyperbolic space (the fundamental 5-cell having some parts inaccessible beyond infinity). All honeycombs which are not shown in the set of tables below and do not have 2 in their Schläfli symbol are noncompact.
There are four regular star-honeycombs in H4 space, all compact:
There is only one flat regular honeycomb of Euclidean 5-space: (previously listed above as tessellations)[25]
There are five flat regular regular honeycombs of hyperbolic 5-space, all paracompact: (previously listed above as tessellations)[18]
The hypercubic honeycomb is the only family of regular honeycombs that can tessellate each dimension, five or higher, formed by hypercube facets, four around every ridge.
In E5, there are also the improper cases {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2}, and {2,3,4,3,3}. In En, {4,3n−3,4,2} and {2,4,3n−3,4} are always improper Euclidean tessellations.
There are 5 regular honeycombs in H5, all paracompact, which include infinite (Euclidean) facets or vertex figures: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4}, and {4,3,3,4,3}.
There are no compact regular tessellations of hyperbolic space of dimension 5 or higher and no paracompact regular tessellations in hyperbolic space of dimension 6 or higher.
Since there are no regular star n-polytopes for n ≥ 5, that could be potential cells or vertex figures, there are no more hyperbolic star honeycombs in Hn for n ≥ 5.
There are no regular compact or paracompact tessellations of hyperbolic space of dimension 6 or higher. However, any Schläfli symbol of the form {p,q,r,s,...} not covered above (p,q,r,s,... natural numbers above 2, or infinity) will form a noncompact tessellation of hyperbolic n-space.[16]
The abstract polytopes arose out of an attempt to study polytopes apart from the geometrical space they are embedded in. They include the tessellations of spherical, Euclidean and hyperbolic space, and of other manifolds. There are infinitely many of every rank greater than 1. See this atlas for a sample. Some notable examples of abstract regular polytopes that do not appear elsewhere in this list are the 11-cell, {3,5,3}, and the 57-cell, {5,3,5}, which have regular projective polyhedra as cells and vertex figures.
The elements of an abstract polyhedron are its body (the maximal element), its faces, edges, vertices and the null polytope or empty set. These abstract elements can be mapped into ordinary space or realised as geometrical figures. Some abstract polyhedra have well-formed or faithful realisations, others do not. A flag is a connected set of elements of each rank - for a polyhedron that is the body, a face, an edge of the face, a vertex of the edge, and the null polytope. An abstract polytope is said to be regular if its combinatorial symmetries are transitive on its flags - that is to say, that any flag can be mapped onto any other under a symmetry of the polyhedron. Abstract regular polytopes remain an active area of research.
Five such regular abstract polyhedra, which can not be realised faithfully and symmetrically, were identified by H. S. M. Coxeter in his book Regular Polytopes (1977) and again by J. M. Wills in his paper "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987).[27] They are all topologically equivalent to toroids. Their construction, by arranging n faces around each vertex, can be repeated indefinitely as tilings of the hyperbolic plane. In the diagrams below, the hyperbolic tiling images have colors corresponding to those of the polyhedra images.
These occur as dual pairs as follows:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Poliedro (existente en el espacio tridimensional euclidiano)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Teselación del plano euclidiano}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Teselación del plano hiperbólico}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3e3112344f5e050eb160928c5170cabb51bcf8)
