Después de asistir al internado Mount School en York, en donde su madre trabajaba, Drabble obtuvo una beca para el Newnham College, Cambridge, en donde estudió inglés.
La pareja tuvo tres hijos, uno de los cuales es la personalidad televisiva Joe Swift.
Drabble fue nombrada dama comendadora de la Orden del Imperio Británico en 1980.
En 2008, fue ascendida a Dama Comandante de la Orden del Imperio Británico.
Así mismo, editó dos versiones de The Oxford Companion to English Literature.