En lógica matemática , una teoría es categórica si tiene exactamente un modelo ( salvo isomorfismo ). [a] Se puede considerar que dicha teoría define su modelo y caracteriza de manera única la estructura del modelo.
En la lógica de primer orden , sólo las teorías con un modelo finito pueden ser categóricas. La lógica de orden superior contiene teorías categóricas con un modelo infinito . Por ejemplo, los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos, ya que tienen un modelo único cuyo dominio es el conjunto de números naturales.
En la teoría de modelos , la noción de teoría categórica se refina con respecto a la cardinalidad . Una teoría es κ - categórica (o categórica en κ ) si tiene exactamente un modelo de cardinalidad κ hasta el isomorfismo. El teorema de categoricidad de Morley es un teorema de Michael D. Morley (1965) que establece que si una teoría de primer orden en un lenguaje contable es categórica en alguna cardinalidad incontable , entonces es categórica en todas las cardinalidades incontables.
Saharon Shelah (1974) extendió el teorema de Morley a idiomas incontables: si el idioma tiene cardinalidad κ y una teoría es categórica en algún cardinal incontable mayor o igual a κ, entonces es categórica en todas las cardinalidades mayores que κ .
En 1904, Oswald Veblen definió que una teoría es categórica si todos sus modelos son isomorfos. De la definición anterior y del teorema de Löwenheim-Skolem se desprende que cualquier teoría de primer orden con un modelo de cardinalidad infinita no puede ser categórica. De este modo, se llega inmediatamente a la noción más sutil de κ -categoricidad, que plantea la pregunta: ¿para qué cardinales κ hay exactamente un modelo de cardinalidad κ de la teoría dada T, salvo isomorfismo? Esta es una pregunta profunda y recién en 1954 se produjo un avance significativo, cuando Jerzy Łoś se dio cuenta de que, al menos para las teorías completas T sobre lenguajes numerables con al menos un modelo infinito, solo podía encontrar tres formas de que T fuera κ -categórica en algún κ :
En otras palabras, observó que, en todos los casos que podía pensar, la κ -categoricidad en cualquier cardinal incontable implicaba κ -categoricidad en todos los demás cardinales incontables. Esta observación estimuló una gran cantidad de investigación en la década de 1960, que finalmente culminó en el famoso resultado de Michael Morley de que estas son de hecho las únicas posibilidades. La teoría fue posteriormente ampliada y refinada por Saharon Shelah en la década de 1970 y más allá, lo que condujo a la teoría de la estabilidad y al programa más general de Shelah de teoría de la clasificación .
No hay muchos ejemplos naturales de teorías que sean categóricas en algún cardinal incontable. Los ejemplos conocidos incluyen:
También hay ejemplos de teorías que son categóricas en ω pero no categóricas en cardinales incontables. El ejemplo más simple es la teoría de una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia , ambas infinitas. Otro ejemplo es la teoría de órdenes lineales densos sin puntos finales; Cantor demostró que cualquier orden lineal contable de este tipo es isomorfo a los números racionales: véase el teorema de isomorfismo de Cantor .
Toda teoría categórica es completa . [1] Sin embargo, lo inverso no se cumple. [2]
Cualquier teoría T categórica en algún cardinal infinito κ está muy cerca de ser completa. Más precisamente, la prueba de Łoś–Vaught establece que si una teoría satisfacible no tiene modelos finitos y es categórica en algún cardinal infinito κ al menos igual a la cardinalidad de su lenguaje, entonces la teoría es completa. La razón es que todos los modelos infinitos son equivalentes de primer orden a algún modelo del cardinal κ por el teorema de Löwenheim–Skolem , y por lo tanto son todos equivalentes ya que la teoría es categórica en κ . Por lo tanto, la teoría es completa ya que todos los modelos son equivalentes. La suposición de que la teoría no tiene modelos finitos es necesaria. [3]
