Teoría omega-categórica

Teoría de la lógica matemática con exactamente un modelo infinito numerable hasta el isomorfismo

En lógica matemática , una teoría omega-categórica es una teoría que tiene exactamente un modelo infinito numerable hasta el isomorfismo . La omega-categoricidad es el caso especial κ =   = ω de la κ-categoricidad , y las teorías omega-categóricas también se denominan ω-categóricas . La noción es más importante para las teorías numerables de primer orden . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Condiciones equivalentes para la categoricidad omega

Muchas condiciones de una teoría son equivalentes a la propiedad de la categoricidad omega. En 1959 Erwin Engeler , Czesław Ryll-Nardzewski y Lars Svenonius demostraron varias de ellas de forma independiente. ^[1] A pesar de ello, la literatura todavía hace referencia ampliamente al teorema de Ryll-Nardzewski como nombre para estas condiciones. Las condiciones incluidas con el teorema varían entre los autores. ^{[2] [3]}

Dada una teoría T completa contable de primer orden con modelos infinitos, las siguientes son equivalentes:

• La teoría T es omega-categórica.
• Cada modelo contable de T tiene un grupo de automorfismo oligomórfico (es decir, hay un número finito de órbitas en M ⁿ para cada n ).
• Algunos modelos contables de T tienen un grupo de automorfismo oligomórfico. ^[4]
• La teoría T tiene un modelo que, para cada número natural n , realiza sólo un número finito de n -tipos, es decir, el espacio de Stone S _n ( T ) es finito.
• Para cada número natural n , T tiene sólo un número finito de n -tipos.
• Para cada número natural n , cada n -tipo está aislado .
• Para cada número natural n , hasta la equivalencia módulo T sólo hay un número finito de fórmulas con n variables libres, es decir, para cada n , el n -ésimo álgebra de Lindenbaum–Tarski de T es finita.
• Cada modelo de T es atómico .
• Todo modelo contable de T es atómico.
• La teoría T tiene un modelo atómico contable y saturado .
• La teoría T tiene un modelo primo saturado .

Ejemplos

La teoría de cualquier estructura infinita numerable que sea homogénea en un lenguaje relacional finito es omega-categórica. ^[5] De manera más general, la teoría del límite de Fraïssé de cualquier clase de Fraïssé finita localmente uniforme es omega-categórica. ^[6] Por lo tanto, las siguientes teorías son omega-categóricas:

• La teoría de órdenes lineales densos sin puntos finales ( teorema de isomorfismo de Cantor )
• La teoría del gráfico de Rado
• La teoría de espacios lineales infinitos sobre cualquier campo finito
• La teoría de las álgebras de Boole sin átomos

Notas

1. Rami Grossberg, José Iovino y Olivier Lessmann, Una introducción a las teorías simples
2. Hodges, Teoría de modelos, pág. 341.
3. Rothmaler, pág. 200.
4. Cameron (1990) pág. 30
5. Macpherson, pág. 1607.
6. Hodges, Teoría de modelos, Teo. 7.4.1.

Referencias

• Cameron, Peter J. (1990), Grupos de permutación oligomórfica , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 152, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38836-8, Zbl  0813.20002
• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1989) [1973], Teoría de modelos , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
• Hodges, Wilfrid (1993), Teoría de modelos , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
• Macpherson, Dugald (2011), "Un estudio de estructuras homogéneas", Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , MR  2800979
• Poizat, Bruno (2000), Un curso de teoría de modelos: Introducción a la lógica matemática contemporánea , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98655-5
• Rothmaler, Philipp (2000), Introducción a la teoría de modelos , Nueva York: Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-313-9